第4章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

的復(fù)頻域分析

4.1拉普拉斯變換

4.2單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯變換的MATLAB實現(xiàn)4.4拉普拉斯逆變換4.5部分分式展開及拉普拉斯逆變換MATLAB實現(xiàn)4.6連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

4.1拉普拉斯變換

4.1.1單邊拉普拉斯變換在實際應(yīng)用中，大多數(shù)情況下僅僅涉及因果信號和因果系統(tǒng)，即t<0時輸入信號和輸出信號均為零。為此定義信號的單邊拉普拉斯變換如下：(4-1)其中,s為復(fù)變量,s=σ+jω,σ、ω為實數(shù)。積分下限從0-開始是考慮到信號f(t)在t=0處可能包含有沖激或不連續(xù)點，一般情況下我們將積分下限寫為0，只在必要時(即f(t))在t=0處含有沖激或不連續(xù)時)才將之寫為0-。F(s)的逆變換表示為(4-2)這樣式(4-1)和式(4-2)便構(gòu)成單邊拉氏變換對。這里有表示取正變換，用表示取逆變換。F(s)和f(t)分別稱為象函數(shù)與原函數(shù)。f(t)與F(s)的關(guān)系簡記為。從本節(jié)開始，我們將單邊拉氏變換簡稱為拉氏變換，除非特別指明，所涉及的拉氏變換均指單邊拉氏變換。4.1.2拉普拉斯變換的收斂域

從定義可知，式(4-1)中的積分收斂，信號f(t)的拉氏變換F(s)才存在。這說明，一個信號的拉氏變換由代數(shù)表示式和使該表示式能成立的變量s值的范圍共同確定。一般把使式(4-1)積分收斂的s值的范圍稱為拉氏變換的收斂域(RegionofConvergence),簡記為ROC。也就是說，ROC是由這樣一些s=σ+jω組成，對這些s來說，e-σtf(t)的傅里葉變換收斂。為進(jìn)一步討論ROC，下面先介紹零、極點的概念。

1.s平面與零、極點

借助復(fù)平面(又稱為s平面)可以方便地從圖形上表示復(fù)頻率s。如圖4-1所示，水平軸代表s的實部，記為Re[s]或σ,垂直軸代表s的虛部，記為Im[s]或jω,水平軸與垂直軸通常分別稱為σ軸與jω軸。如果信號f(t)絕對可積，則可從拉氏變換中得到傅里葉變換：F(jω)=F(s)|σ=0或等價寫為F(jω)=F(s)|s=jω在s平面上，σ=0對應(yīng)于虛軸，因此，通過沿虛軸對拉氏變換求值便可得到傅里葉變換。

jω軸把s平面分為兩半，jω軸左邊區(qū)域稱為左半平面，jω軸右邊區(qū)域稱為右半平面。在左半平面上，s的實部為負(fù)，在右半平面上，s的實部為正。圖4-1

s平面在工程上最常遇到的拉氏變換的形式是有理分式，即F(s)為兩個多項式之比，稱為有理拉氏變換。其一般表示式可寫為(4-3)將分子與分母分別進(jìn)行因式分解后，F(xiàn)(s)可寫為(4-4)式中，zk是分子多項式的根，稱之為F(s)的零點；pk是分母多項式的根，稱之為F(s)的極點。在s平面上，用符號“”表示零點的位置，用符號“×”表示極點的位置，如圖4-1所示。該圖稱為F(s)的零極點圖。顯然，除了常數(shù)bm,F(s)由s平面上的零、極點位置唯一確定。

2.單邊拉氏變換收斂域的特性單邊拉氏變換的ROC是s平面上某一條直線Re[s]=σ0的右邊，若變換是有理的，則ROC位于最右邊極點的右邊。也就是說，由單邊拉氏變換的表示式即可唯一確定其ROC。故在討論單邊拉氏變換時，可以不標(biāo)出ROC?！纠?-1】確定指數(shù)信號f(t)=e-atU(t)(a>0,實數(shù))的拉氏變換及其收斂域，并畫出零極點圖。解將f(t)代入式(4-1),得為求e-(s+a)t的極限，利用s=σ+jω,得到現(xiàn)在若σ>-a,則當(dāng)t→∞時,e-(σ+a)t→0,此時若σ≤-a,則F(s)不存在,因為積分不收斂。因此,該信號拉氏變換的ROC是σ>-a,或者等效為Re[s]>-a。圖4-2的陰影部分代表ROC,極點位于s=-a處。圖4-2

【例4-1】的收斂域和零極點圖4.1.3常用信號的拉普拉斯變換1.單位階躍信號U(t)所以(4-5)2.單邊指數(shù)信號eatU(t)(a為任意常數(shù))所以(4-6)3.單位沖激信號δ(t)所以(4-7)4.2單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)

拉氏變換的性質(zhì)與傅里葉變換相似。在下面的討論中，我們假設(shè)4.2.1線性特性(4-8)式中,a1,a2為常數(shù)?！纠?-2】求單邊余弦信號cosω0tU(t)和單邊正弦信號sinω0tU(t)的拉氏變換。解由歐拉公式，得而故由線性特性(4-9)類似地，由可得(4-１0)4.2.2時移特性(4-11)【例4-3】求圖4-3所示的矩形脈沖的象函數(shù)。圖

4-3

【例4-3】圖解f(t)=U(t)-U(t-τ)

因為所以本例中和

的ROC均為Re[s]>0,極點均在s=0處。但有一個s=0的零點，抵消了該處的極點，相應(yīng)地ROC擴(kuò)大為整個s平面。4.2.3復(fù)頻移(s域平移)特性,s0為任意常數(shù)(4-12)【例4-4】求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函數(shù)。解因為由s域平移特性，有和4.2.4尺度變換(時-復(fù)頻展縮)特性(4-13)【例4-5】求U(at),a>0的拉氏變換，并由此說明U(at)=U(t)。解令,則,由尺度變換特性得所以4.2.5時域卷積定理

類似于傅里葉變換的卷積定理，在拉氏變換中也有時域卷積定理與復(fù)頻域卷積定理，時域卷積定理在系統(tǒng)分析中更為重要。若f1(t)和f2(t)為因果信號，即對t<0,f1(t)=f2(t)=0,則(4-14)4.2.6微分定理1.時域微分(4-15)特別地，對因果信號，有(4-16)【例4-6】信號f(t)如圖4-4所示，分別通過直接計算和微分特性求的拉氏變換。圖4-4

【例4-6】圖解由圖4-4可得所以下面用微分特性重推此結(jié)果。記,則,由微分特性得2.復(fù)頻域微分(s[HTH]域微分)推廣至一般情形(4-17)【例4-7】求tU(t)和tnU(t)的拉氏變換。解因為由復(fù)頻域微分特性，得即同理(4-19)4.3拉普拉斯變換的MATLAB實現(xiàn)

MATLAB提供了計算符號函數(shù)正、反拉氏變換的函數(shù)：laplace和ilaplace，其調(diào)用形式為

F=laplace(f)

f=ilaplace(F)上兩式右端的f和F為時間函數(shù)和拉氏變換的數(shù)學(xué)表示式。通常還需要使用函數(shù)sym和syms將一般變量轉(zhuǎn)換為“符號變量”，比如s=sym(str)或symsxyt等，其中str是字符串。

【例4-8】用laplace和ilaplace求：(1)f(t)=e-2tcos(at)u(t)的拉氏變換。(2)的拉氏逆變換。(3)的拉氏逆變換。解求解的代碼如下(1)

%programch4-8-1symsat;F=laplace(exp(-2*t)*cos(a*t)),%orcandoitlikethis:%f=sym(′exp(-2*t)*cos(a*t)′);%F=laplace(f)運行結(jié)果為F=(s+2)/((s+2)2+a^2)(2)

%programch4-8-2symss;F=1/［(s+1)*(s+2)］;f=ilaplace(F);運行結(jié)果為f=exp(-t)-exp(-2*t)(3)%programch4-8-3clear;symss;F=(3*s+4)/［(s+1)*(s+2)^2］;f=ilaplace(F)運行結(jié)果為f=exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)【例4-9】用MATLAB求解【例4-2】。解求解的代碼如下：

%programch4-9symsw0t;F1=laplace(sin(w0*t))F2=laplace(cos(w0*t))運行結(jié)果如下：

F1=

w0/(s^2+w0^2)F2=

s/(s^2+w0^2)【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】,設(shè)τ=1。

解求解的代碼如下：%programch4-10R=0.02;t=-2:R:2;f=stepfun(t,0)-stepfun(t,1);S1=2*pi*5;N=500;k=0:N;S=k*S1/N;L=f*exp(t′*s)*R;L=real(L);S=［-fliplr(S),S(2:501)］;L=［fliplr(L),L(2:501)］;subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel(′t′);ylabel(′f(t)′);axis(［-2,2,-0.5,2］);title(′f(t)=u(t)-u(t-1)′);subplot(2,1,2);plot(S,L);xlabel(′s′);ylabel(′L(s)′);title(′f(t)的拉普拉斯變換′);運行結(jié)果如圖4-5所示。圖4-5

【例4-10】圖【例4-11】用MATLAB求解【例4-4】。解求解的代碼如下：%programch4-11symsaw0t;F1=laplace(exp(-a*t)*sin(w0*t))F2=laplace(exp(-a*t)*cos(w0*t))運行結(jié)果如下：

F1=

w0/((s+a)^2+w0^2)F2=

(s+a)/((s+a)^2+w0^2)【例4-12】用MATLAB求解【例4-7】。解求解的代碼如下：

%program4-12symsat;F1=laplace(t)F2=laplace(t*exp(-a*t))運行結(jié)果如下：

F1=

1/s^2F2=

1/(s+a)^24.4拉普拉斯逆變換

在系統(tǒng)分析中，為了最終求得系統(tǒng)的時域響應(yīng)，常需要求象函數(shù)的拉氏逆變換。直接利用式(4-2)計算逆變換需要復(fù)變函數(shù)理論和圍線積分的知識，這已超出了本書的范圍。實際上，常常遇到的象函數(shù)是有理函數(shù)，對于這種情況，通過部分分式展開，將F(s)表示為各個部分分式之和便可得到逆變換，無需進(jìn)行積分運算。下面我們就討論通過部分分式展開求有理函數(shù)逆變換的方法。假設(shè)式中an-1,an-2,…,a1,a0,bm,…,b0皆為實數(shù)，m和n為正整數(shù)。如果F(s)是非標(biāo)準(zhǔn)有理函數(shù)(即m≥n)，則用長除法把F(s)表示為(4-20)的形式，其中(注意若m<n,則Ck=0,F1(s)=F(s))此時分子多項式N1(s)的階數(shù)低于分母多項式的階數(shù)(即為真分式),可以用部分分式展開法確定F1(s)的逆變換。而對于式(4-20)中的第一項，利用及時域微分特性，可以找出中各項的逆變換為(4-21)其中,δ(k)(t)表示沖激函數(shù)δ(t)的第k階導(dǎo)數(shù)。因此，下面僅需討論真分式F1(s)的部分分式展開。為此，將分母作因式分解，把F1(s)表示為其中pk,k=1,2,…,n為極點按照極點的不同特點，部分分式展開有以下幾種情況。4.4.1極點為實數(shù)且無重根

設(shè)p1,p2,…,pn為F1(s)互不相同的實極點，則F1(s)可分解為以下部分分式之和(4-22)和式中各項的拉氏逆變換可以由下式得到從而可得到F1(s)的逆變換。為了確定式(4-22)中第k個系數(shù)Ak,k=1,2,…,n,將式(4-22)兩邊乘以(s-pk)并令s=pk，則有

(4-23)【例4-13】設(shè)，求其逆變換。解對F(s)進(jìn)行部分分式展開，寫出用式(4-23)求出A1,A2,A3于是故f(t)=e-tU(t)-2etU(t)+e-2tU(t)【例4-14】求的拉氏逆變換f(t)。解F(s)不是真分式，首先用長除法將F(s)表示為真分式與s的多項式之和得到將第三項有理真分式作部分分式展開，得其中所以從而f(t)=δ′(t)+2δ(t)+4e-2tU(t)-2e-3tU(t)4.4.2極點為復(fù)數(shù)且無重根如果D(s)=0有復(fù)根，由于D(s)是實系數(shù)的，因此復(fù)根是成共軛對出現(xiàn)的，即F1(s)有共軛復(fù)數(shù)極點。此時仍可由式(4-23)計算各展開系數(shù)，但計算要麻煩一些。根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的特點可以采取以下方法。不妨設(shè)F1(s)的共軛極點為-α±jβ,則F1(s)可表示為記則于是F1(s)可展開為(4-24)用式(4-23)求得A1,A2由于F2(s)是實系數(shù)的，故不難看出A1與A2呈共軛關(guān)系，假定A1=|A1|ejθ

A2=A*1=|A1|e-jθ

則如果把式(4-24)中共軛復(fù)數(shù)極點有關(guān)部分的逆變換以f0(t)表示，則(4-25)【例4-15】求F(s)=的拉氏逆變換。解利用式(4-25)可以得到在變換式含有復(fù)數(shù)極點時，也可在展開式中將共軛極點組合成具有實系數(shù)的二次項，以避免復(fù)數(shù)運算，我們通過下面的例子說明這種方法。

【例4-16】求的拉氏逆變換。解復(fù)數(shù)共軛極點為s=-1±j,可以將F(s)展開為其中于是將上式通分后，令其分子與F(s)的分子相等，便可求出B1與B2。于是可得

4s2+6=2［(s+1)2+1］+(B1s+B2)(s-1)

=(2+B1)s2+(4-B1+B2)s+(4-B2)由s2系數(shù)相等得出B1=2,由常數(shù)項相等得出B2=-2,因此于是f(t)=(2et+2e-tcost-4e-tsint)U(t)4.4.3極點為多重極點如果分母多項式D(s)=0含有多重根，不失一般性，設(shè)p1為r重根，而其余的為單根。此時F1(s)可表示為可以將F1(s)按如下形式作部分分式展開(4-26)即存在r個關(guān)于該極點的部分展開式，且相應(yīng)的展開式系數(shù)A1k可由下式求得(4-27)利用式(4-29)及復(fù)頻移特性求各項的逆變換，得到(4-28)【例4-17】求的拉氏逆變換。解對F(s)進(jìn)行部分分式展開，寫出用式(4-46)及式(4-50)求A1,A21,A22,得所以從而逆變換為f(t)=(e-t+2te-2t-e-2t)U(t)。4.5部分分式展開及拉普拉斯逆變換的MATLAB實現(xiàn)

MATLAB提供了函數(shù)residue用于將F(s)作部分分式展開或?qū)⒄归_式重新合并為有理函數(shù)。其調(diào)用的一般形式為［r,p,k］=residue(num,den)

(num,den)=residue(r,p,k)

其中，num和den分別為F(s)分子多項式和分母多項式的系數(shù)向量，r為部分分式的系數(shù)，p為極點組成的向量，k為分子與分母多項式相除所得的商多項式的系數(shù)向量，若F(s)為真分式，則k為零。

【例4-18】用部分分式展開法求的逆變換。解求部分分式展開的程序如下：%programch4-18formatratden=poly(［0

-1

-2

-2］);

%由分母多項式的根向量求得其系數(shù)向量num=［10001］;［r,p,k］=residue(num,den)運行結(jié)果為

r=-13/4

17/2

-2

1/4

p=-2

-2

-1

0

k=1由運行結(jié)果可知，F(xiàn)(s)的部分分式展開式為由此可得:【例4-19】用部分分式展開法求的逆變換。解由題可見，F(xiàn)(s)的分母不是多項式，可利用conv函數(shù)將因子相乘的形式轉(zhuǎn)換為多項式的形式，因此將F(s)展開成部分分式的程序可寫為%programch4-19clear;num=［1

-2］;a=conv(［10］,［11］);b=conv(［11］,［11］);den=conv(a,b);［r,p,k］=residue(num,den)運行結(jié)果為r=2.0000

2.0000

3.0000

-2.0000p=-1.0000

-1.0000

-1.0000

0所以：由此可得：f(t)=(2e-t+2te-t+1.5t2e-t-2)U(t)【例4-20】用MATLAB求解的逆變換。解求解的代碼如下：

%programch4-20

clear;

formatrat;

den=poly(［-1

1

-2］);

num=［-5

-7］;

運行結(jié)果為

r=1

-2

1

p=-2

1

-1

k=［］由運行結(jié)果可知，F(xiàn)(s)的部分分式展開式為由此可得

f(t)=(e-2t-2et+e-t)U(t)【例4-21】用MATLAB求解的逆變換。解求解的代碼如下：

%programch4-21

clear;

formatrat;

den=［156］;

num=［171820］;［r,p,k］=residue(num,den)運行結(jié)果為

r=-2

4

p=-3

-2

k=1

2由運行結(jié)果可知，F(xiàn)(s)的部分分式展開式為由此可得f(t)=(-2e-3t+4e-2t)U(t)+δ′(t)+2δ(t)【例4-22】用MATLAB求解的逆變換。解求解的MATLAB代碼如下：

%programch4-22

clear;

symss;

F=(3*s^2+22*s+27)/(s^4+5*s^3+13*s^2+19*2+10);

f=ilaplace(F)運行結(jié)果為

f=

exp(-2*t)+2*exp(-t)-3*exp(-t)*cos(2*t)+2*exp(-t)*sin(2*t)即f(t)=(e-2t+2e-t-3e-tcos2t+2e-tsin2t)U(t)4.6連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

4.6.1微分方程的拉普拉斯變換求解單邊拉氏變換在系統(tǒng)分析中的重要應(yīng)用之一是求解由線性常系數(shù)微分方程描述的因果LTI連續(xù)系統(tǒng)在輸入為因果信號時的響應(yīng)，尤其當(dāng)微分方程帶有非零初始條件時，用單邊拉氏變換求解更為方便。

【例4-23】某因果系統(tǒng)由微分方y(tǒng)″(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)描述，初始條件是y(0-)=2和y′(0-)=-12,輸入信號f(t)=U(t),求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。解設(shè),則。利用時域微分定理和線性特性，取微分方程兩邊的拉氏變換，得s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+5［sY(s)-y(0-)］+6Y(s)=F(s)將F(s)和初始條件代入上式并合并，可以得到(s2+5s+6)Y(s)=(2s2-2s+1)/s于是解出將Y(s)作部分分式展開可得其中所以從而【例4-24】某因果系統(tǒng)的模擬框圖如圖4-6所示。已知f(t)=e-tU(t),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。圖4-6

【例4-24】圖解如圖4-6所示，設(shè)第二個積分器的輸出信號為x(t),則兩個加法器的輸出方程為

x″(t)=f(t)-7x′(t)-12x(t)①y(t)=3x′(t)+x(t)②設(shè),則在零狀態(tài)條件下式①和式②的拉氏變換為s2X(s)=F(s)-7sX(s)-12X(s)③Yf(s)=3sX(s)+X(s)④由式③和式④解得⑤而

,代入式⑤得作部分分式展開，得其中所以從而【例4-25】在【例4-24】中,若y(0-)=1,y′(0-)=-2,求系統(tǒng)的全響應(yīng)。解由【例4-24】中的式⑤可得系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+7y′(t)+12y(t)=3f′(t)+f(t)上式兩邊取拉氏變換并整理，得將y(0-)=1,y′(0-)=-2和F(s)代入，得其中第一項為零輸入響應(yīng)的象函數(shù)Yx(s),第二項即【例4-24】中的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)。Yx(s)的部分分式展開為因此零輸入響應(yīng)為yf(t)如【例4-24】所示，于是全響應(yīng)為4.6.2電路網(wǎng)絡(luò)的復(fù)頻域模型分析法復(fù)頻域模型(又叫s域模型)分析方法是以電路的復(fù)頻域模型為基礎(chǔ)，用類似分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的各種方法編寫復(fù)頻域的代數(shù)方程，求解響應(yīng)的象函數(shù)，最后借助拉氏逆變換得到所需要的時域響應(yīng)。

1.電路元件的復(fù)頻域模型

對于線性時不變二端元件R、L、C，若規(guī)定其端電壓u(t)和電流i(t)為關(guān)聯(lián)參考方向，那么由拉氏變換的線性及微、積分性質(zhì)可得到它們的復(fù)頻域模型。表4-1列出各電路元件的時域和復(fù)頻域關(guān)系，以便查閱。表4-1電路元件的復(fù)頻域模型

2.電路網(wǎng)絡(luò)的復(fù)頻域分析

應(yīng)用復(fù)頻域分析法求解電路系統(tǒng)的響應(yīng)時，首先要畫出電路的復(fù)頻域模型，其次利用基爾霍夫電流、電壓定律和電路的基本分析方法(如網(wǎng)孔分析法、節(jié)點分析法等)編寫與響應(yīng)象函數(shù)有關(guān)的代數(shù)方程，然后從方程解出響應(yīng)的象函數(shù)，最后取拉氏逆變換求得時域響應(yīng)。下面舉例說明。

【例4-26】電路如圖4-7(a)所示，已知1F電容的初始電壓uC(0-)=3V,求iC(t),t≥0。圖4-7

【例4-26】圖解(1)畫出電路的復(fù)頻域模型如圖4-7(b)所示。

(2)由圖可得(3)求上式的拉氏逆變換即得【例4-27】如圖4-8(a)所示電路，已知f1(t)=3e-tU(t),f2(t)=e-2tU(t),求t≥0的零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)。解(1)畫出電路的復(fù)頻域模型如圖4-8(b)所示。圖4-8

【例4-27】圖(2)對復(fù)頻域模型編寫網(wǎng)孔方程(網(wǎng)孔電流設(shè)為I1(s)和IL(s)),得(3)解網(wǎng)孔方程，得將代入并整理，得(4)用部分分式展開IL(s)并求逆變換，即得iL(t)。

IL(s)可以展開為于是4.6.3系統(tǒng)函數(shù)(轉(zhuǎn)移函數(shù))

1.定義定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)Yf(s)與激勵的象函數(shù)F(s)之比為系統(tǒng)函數(shù)(又稱為轉(zhuǎn)移函數(shù))，用H(s)表示，即(4-29)由式(4-29)知Yf(s)=H(s)F(s)(4-30)另一方面，在第2章中已知系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為激勵與沖激響應(yīng)的卷積yf(t)=h(t)*f(t)兩邊取拉氏變換，得與式(4-30)比較，得(4-31)即系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)是一對拉氏變換對，可記為(4-32)根據(jù)式(4-30)，系統(tǒng)函數(shù)在求解零狀態(tài)響應(yīng)時是非常有用的：先計算輸入的拉氏變換，;再將該變換乘以系統(tǒng)函數(shù)，Yf(s)=H(s)F(s);最后該乘積的逆變換即為零狀態(tài)響應(yīng)，。

2.系統(tǒng)函數(shù)的計算由上面討論可知，可以由式(4-29)或式(4-31)求得系統(tǒng)函數(shù)，此時需計算輸入的拉氏變換F(s)、輸出的拉氏變換Yf(s)或先求得沖激響應(yīng)h(t)。如果描述LTI系統(tǒng)的微分方程已知，則通過觀察系統(tǒng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式就可以得到系統(tǒng)函數(shù)。【例4-28】

[某因果系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)與激勵f(t)的關(guān)系用如下微分方程來描述y(t)=-0.5y″(t)-1.5y′(t)+3f′(t)+9f(t)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解(1)首先把系統(tǒng)方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式0.5y″(t)+1.5y′(t)+y(t)=3f′(t)+9f(t)觀察該方程，寫出系統(tǒng)函數(shù)為

(2)因為沖激響應(yīng)是H(s)的拉氏逆變換，所以利用部分分式展開，得其中，A1=(s+1)H(s)|s=-1=12,A2=(s+2)H(s)|s=-2=-6。于是【例4-29】求圖4-9(a)所示電路的系統(tǒng)函數(shù)。圖4-9

【例4-29】圖解因為系統(tǒng)函數(shù)定義是對零狀態(tài)響應(yīng)的，故作出零初始條件下電路的復(fù)頻域模型如圖4-9(b)所示。編寫節(jié)點方程，有合并各項，并聯(lián)立兩個方程消去UA(s),從得到的方程求解U2(s)/U1(s)。最后得到系統(tǒng)函數(shù)為

3.系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系在系統(tǒng)分析與設(shè)計中，因果性、穩(wěn)定性與頻率響應(yīng)是表征系統(tǒng)的三個重要特性，對于因果LTI系統(tǒng)，這三個特性與系統(tǒng)函數(shù)密切相關(guān)。下面僅討論系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系。

1)系統(tǒng)的因果性已經(jīng)知道所謂的因果性是指，任一時刻系統(tǒng)的輸出僅取決于該時刻和該時刻之前的輸入值。一個LTI連續(xù)系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足：h(t)=0,t<0

即單位沖激響應(yīng)為因果信號。因為因果信號拉氏變換的ROC是某個右半平面，而沖激響應(yīng)的拉氏變換就是系統(tǒng)函數(shù)，所以因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的ROC是某個右半平面。應(yīng)該說明的是，相反的結(jié)論未必成立。不過若系統(tǒng)函數(shù)是有理的，系統(tǒng)的因果性就等價于系統(tǒng)函數(shù)的ROC位于最右邊極點的右半平面(在前面各節(jié)的討論中僅涉及因果系統(tǒng)，故因果性的條件是自動滿足的，并不需要另外加以說明)。

2)系統(tǒng)的穩(wěn)定性在分析與設(shè)計各類系統(tǒng)時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一個重要問題。穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，與激勵信號的情況無關(guān)。一個系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，也可稱為有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定系統(tǒng)。也就是說，設(shè)Mf、My為有界正值，如果對所有的激勵信號f(t)|f(t)|≤Mf(4-33)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)滿足

|yf(t)|≤My(4-34)則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。下面給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是(4-35)式中M為有界正值。即若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是絕對可積的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。下面給出此條件的證明。充分性的證明：對任意的有界輸入f(t),|f(t)|≤Mf,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為如果h(t)是絕對可積的，即式(4-35)成立，則|yf(t)|≤MfM取My=MfM,即得|yf(t)|≤My,即yf(t)有界，因此式(4-35)是充分的。必要性的證明：當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，如果無界，我們來證明至少有一個有界的輸入f(t)產(chǎn)生無界的輸出yf(t)。為此，選擇如下的輸入信號顯然|f(t)|≤1為有界信號。由于令t=0,有上式表明，如果無界,則至少yf(0)無界，因此式(4-35)也是必要的。在以上的分析中并未涉及系統(tǒng)的因果性，這說明無論因果穩(wěn)定系統(tǒng)或非因果穩(wěn)定系統(tǒng)都要滿足式(4-35)。對于因果系統(tǒng)，式(4-35)可以改寫為(4-36)因為h(t)的拉氏變換是系統(tǒng)函數(shù)H(s),所以式(4-35)和式(4-36)的條件也可以用H(s)說明。下面只討論因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性，非因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性請參照相關(guān)書籍。對于因果系統(tǒng)，h(t)為因果信號，其拉氏變換H(s)的ROC是某條垂直于σ軸的直線的右邊。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則式(4-36)成立，即h(t)絕對可積，因此h(t)的傅里葉變換存在。因為傅里葉變換是沿虛軸對拉氏變換的求值，所以h(t)的拉氏變換H(s)的ROC應(yīng)包含jω軸。綜合上述兩個結(jié)果，H(s)的ROC是包含jω在內(nèi)的整個s平面的右半平面，即Re[s]≥0。由前面關(guān)于ROC的討論可知，ROC中不包含任何極點，因此，H(s)的所有極均應(yīng)在s平面的左半平面，至此，可得出因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一個充分必要條件：系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點均在s平面的左半平面。4.6.4連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析的MATLAB實現(xiàn)【例4-30】已知線性系統(tǒng)的微分方程為

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f′(t)+f(t)f(t)=e-tU(t),y(0-)=1,

y′(0-)=2

用MATLAB求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。解MATLAB實現(xiàn)程序如下：

%proqramch4-30

%求零狀態(tài)響應(yīng)

b=［3,1］;

a=［1,5,6］;

sys=tf(b,a);

t=0:0.1:10;

f=exp(-t);

y=lsim(sys,f,t);

plot(t,y);

xlabel(′時間(t)′);

ylabel(′y(t)′)

title(′零狀態(tài)響應(yīng)′);運行結(jié)果如圖4-10所示。圖4-10

【例4-3