廈泉五校2024-2025學年高二年級第一學期期中聯(lián)考數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷（選擇題，共58分）一、單選題:（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知，則（）A. B. C. D.2.橢圓上一點P到左焦點距離為6，則P到右焦點的距離為（）A.5 B.6 C.4 D.123.“”是“直線與圓：相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分條件也不必要條件4.下列命題中，不正確的命題是（）A.空間中任意兩個向量一定共面B.若，則存在唯一的實數，使得C.對空間中任一點O和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面D.若是空間的一個基底，，則也是空間的一個基底5.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A. B. C.3 D.6.在平面直角坐標系中，直線：被圓：截得的最短弦的長度為（）A. B.2 C. D.47.已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.如圖是一個棱數為，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.空間直角坐標系中，已知，，下列結論正確的有（）A. B.點關于平面對稱點的坐標為C.若，則 D.若，，則10.如圖，在棱長為2正方體中，E，F，G分別為棱，，的中點，則（）A.直線與所成角的余弦值為 B.點F到直線的距離為1C.平面 D.點到平面的距離為11.已知橢圓，分別為它的左右焦點，A，B分別為它的左右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（）A.存在P使得 B.橢圓C的弦MN被點平分，則C.，則的面積為9 D.直線PA與直線PB斜率乘積為定值第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題:(本題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知直線的一個方向向量為，則直線的斜率為_______．13.已知F為橢圓的一個焦點，點M在C上，O為坐標原點，若，則的面積為________．14.古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數的取值范圍是______．四、解答題:(本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知的頂點，邊上的高所在直線為，為中點，且所在直線方程為.（1）求邊所在的直線方程；（2）求頂點的坐標.16.已知空間三點，，．（1）求向量與夾角的余弦值；（2）求的面積.17.已知圓的圓心在直線上，并且經過點，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）經過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．18.已知橢圓C的中心在坐標原點，左焦點為F1（﹣，0），點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點P（1，0）的直線l交橢圓C于兩個不同的點A、B，若△AOB（O是坐標原點）的面積S=，求直線AB的方程.19.已知為坐標原點，圓：，直線：（），如圖，直線與圓相交于（在軸的上方），兩點，圓與軸交于兩點（在的左側），將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直，再以為坐標原點，折疊后原軸負半軸，原軸正半軸，原軸正半軸所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若．（ⅰ）求三棱錐體積；（ⅱ）求二面角的余弦值．（2）是否存在，使得折疊后長度與折疊前的長度之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．廈泉五校2024-2025學年高二年級第一學期期中聯(lián)考數學試題一、單選題:（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.【答案】B2.【答案】C3.“【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6【答案】C7.【答案】C8.【答案】C二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.【答案】ACD10.【解析】11.【答案】ABC第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題:(本題共3小題，每小題5分，共15分.)12.【答案】13.【答案】##14.【答案】四、解答題:(本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.【解析】【分析】（1）利用垂直關系求出直線的斜率，進而求出其方程.（2）求出直線的交點坐標即可.【小問1詳解】由邊上的高所在直線的斜率為1，得直線的斜率為，又直線過，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由直線的方程為，而頂點為直線與直線的交點，由，解得，所以點.16.【解析】【分析】（1）根據空間向量數量積與模長的坐標表示可得向量夾角余弦值；（2）根據夾角余弦值可得正弦值，進而可得三角形面積.【小問1詳解】由，，，則，，，，所以；【小問2詳解】由（1）得，則，所以.17.【解析】【分析】（1）設圓的方程為，由題意，列出方程組，求解得的值，即可寫出圓的方程；（2）分直線的斜率是否存在進行討論，斜率不存在時，聯(lián)立方程求出點的坐標，計算弦長驗證，斜率存在時，設的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求出的值即得.【小問1詳解】設圓方程為，由已知得，解得，，，所以圓的方程為，即；【小問2詳解】①若直線有斜率，可設的方程為，即，由已知，則圓心到直線的距離解得，此時，直線的方程為，即；②若直線沒有斜率，則的方程為，將其代入，可得或，即得，，滿足條件，綜上所述，直線的方程為或．18.【解析】【分析】（1）由已知可得橢圓的左、右焦點坐標，而點在橢圓上，所以|MF1|+|MF2|=2a，從而可求出的值，再由可求出，從而可求得橢圓C的標準方程；（2）設，由題可設直線AB的方程為x=my+1，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去x，利用根與系數的關系，從而可表示出△AOB的面積，列方程可求出的值，進而可得直線AB的方程.【詳解】解：（1）根據題意，設橢圓C的方程為=1（a＞b＞0），因為橢圓的左焦點為F1（﹣，0），設橢圓的右焦點為F2（，0），由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，所以，所以橢圓C的方程為+y2=1，（2）設，由題可設直線AB的方程為x=my+1.聯(lián)立直線與橢圓的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，則有，所以又由S=，即解得m2=1，即m=±1.故直線AB的方程為x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=019.【解析】【分析】（1）（?。┯梢阎傻?，，即可求得求三棱錐的體積；（ⅱ）求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用向量的坐標運算即可求得二面角的余弦值．（2）分別求出折疊前的長度與折疊后的長度，比為時，求得，可得答案.【小問1詳解】（?。┤簦郫B前直線的方程為，聯(lián)立，解得或，可得，，圓：，與軸交于兩點，則，折疊后三棱錐的體積為．（ⅱ）由（?。┘耙阎瑒t