專題07線性代數(shù)背景下的新定義【題型歸納目錄】題型一：行列式背景題型二：矩陣背景題型三：向量組背景【典型例題】題型一：行列式背景【典例1-1】(2024·高三·云南曲靖·階段練習(xí))定義行列式運(yùn)算：，若函數(shù)

(，)的最小正周期是，將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)由題意：，∵，即，∴，∴的圖象向右平移個(gè)單位后得，此函數(shù)為奇函數(shù)，則，∵，∴，∴，由，可得，∴的單調(diào)增區(qū)間為；(2)由上可得，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，適合此式，∴，∴，∴．【典例1-2】(2024·高一·北京·期末)對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，表達(dá)式稱為二階行列式(determinant)，記作，(1)求下列行列式的值：①；②；③；(2)求證：向量與向量共線的充要條件是；(3)討論關(guān)于x，y的二元一次方程組()有唯一解的條件，并求出解.(結(jié)果用二階行列式的記號表示).【解析】(1)①②；③.(2)證明：若向量與向量共線，則：當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，有，即，∴必要性得證.反之，若，即，當(dāng)c，d不全為0時(shí)，即時(shí)，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴與共線，當(dāng)且時(shí)，，∴與共線，充分性得證.綜上，向量與向量共線的充要條件是.(3)用和分別乘上面兩個(gè)方程的兩端，然后兩個(gè)方程相減，消去y得：，①同理，消去x，得：，②∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由①②得：，，∴當(dāng)時(shí)，關(guān)于x，y的二元一次方程組()有唯一解，且，.【變式1-1】(2024·高二·全國·單元測試)我們用(，、、、)表示矩陣的第行第列元素.已知該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且，，.(1)求；(2)求關(guān)于，的關(guān)系式；(3)設(shè)行列式，求證：對任意、，、、時(shí)，都有.【解析】由于該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且，，，則矩陣中第一行的公差為1，第二行的公差為2，從而第三行的公差為3，即有第行的公差為，則有第一列的公差為1，第二列的公差為2，從而第列的公差為，則由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所以(1)所以(2)(3)證明：由于行列式，即有，則，故對任意，，，，時(shí)，都有題型二：矩陣背景【典例2-1】(2024·廣東·一模)數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂?其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號)，記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【解析】(1)由題意得.若，則，即.因式分解得.因?yàn)?，所?所以使的的最小值是10.(2)由題得第1對角線上的平方和為，第2對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，第對角線上的平方和為，所以所以.(3)由題意知，證明等價(jià)于證明，注意到左側(cè)求和式，將右側(cè)含有的表達(dá)式表示為求和式有故只需證成立，即證成立，令，則需證成立，記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.【典例2-2】(2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試)由個(gè)數(shù)排列成行列的數(shù)表稱為行列的矩陣，簡稱矩陣，也稱為階方陣，記作：其中表示矩陣中第行第列的數(shù)．已知三個(gè)階方陣分別為，，其中分別表示中第行第列的數(shù)．若，則稱是生成的線性矩陣．(1)已知，若是生成的線性矩陣，且，求；(2)已知，矩陣，矩陣是生成的線性矩陣，且．(i)求；(ii)已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．【解析】(1)，則，即，解得，則，，，，故.(2)(i)，，故，，.(ii)，，，故，故，，即，取驗(yàn)證不成立，整理得到，，當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；現(xiàn)說明當(dāng)時(shí)不成立：設(shè)，，，則，，故單調(diào)遞增，，設(shè)，，，，，故單調(diào)遞減，，，，，故時(shí)，不成立，綜上所述：使成立的所有的正整數(shù)對為，.【變式2-1】(2024·高二·北京豐臺(tái)·期末)已知數(shù)表，，，其中，，分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．(1)若數(shù)表，，且是，的生成數(shù)表，求；(2)對，，數(shù)表，，與滿足第i行第j列的數(shù)對應(yīng)相同().是，的生成數(shù)表，且．(ⅰ)求，；(ⅱ)若恒成立，求的最小值．【解析】(1)由題意得，，，，所以．(2)由題意得，當(dāng)，時(shí)，有①，即，(ⅰ)當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由①得②，得，所以，又，，，均符合上式，所以，時(shí)，．(ⅱ)由(ⅰ)知，，所以對于，，有，由及知，所以時(shí)，對于，，恒成立，顯然時(shí)，恒不成立．下面證明：對于任意，不能恒成立．記，此時(shí)，所以，即當(dāng)時(shí)，有成立，這與恒成立矛盾，所以對于任意，不能恒成立，綜上，的最小值為．【變式2-2】(2024·高二·北京·學(xué)業(yè)考試)已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.①任意中有三個(gè)，一個(gè)3；②存在，使中恰有三個(gè)數(shù)相等.(1)判斷數(shù)表是否由生成；(結(jié)論無需證明)(2)是否存在數(shù)表由生成？說明理由；(3)若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.【解析】(1)數(shù)表是由生成；檢驗(yàn)性質(zhì)①：當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；任意中有三個(gè)，一個(gè)3；檢驗(yàn)性質(zhì)②：當(dāng)時(shí)，，恰有3個(gè)數(shù)相等.(2)不存在數(shù)表由生成,理由如下:若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個(gè)，一個(gè)3，則或-1，總有與的奇偶性相反，類似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；因?yàn)橹星∮?個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，所以對任意的，中均有2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，此時(shí)中至多有2個(gè)數(shù)相等，不滿足性質(zhì)②；綜上，不存在數(shù)表由生成；(3)的所有可能的值為3，7，11.一方面，當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；另一方面，若存在數(shù)表A由生成，首先證明：除以4余3；證明：對任意的，令，則，分三種情況：(i)若，且，則；(ii)若，且，則；(iii)若，且，則；均有與除以4的余數(shù)相同.特別的，“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；類似的，“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；所以，存在，使得中恰有3個(gè)數(shù)相等的一個(gè)必要不充分條件是中至少有3個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)相同.注意到與除以4余3，除以4余0，故除以4余3.其次證明：；證明：只需證明；由上述證明知若可以生成數(shù)表A，則必存在，使得；若，則，，，所以，對任意，均有，矛盾；最后證明：；證明：由上述證明可得若可以生成數(shù)表A，則必存在，使得，，，，欲使上述等號成立，對任意的，，則，，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意；綜上，所有可能的取值為3，7，11.題型三：向量組背景【典例3-1】(2024·高一·上?！るA段練習(xí))對于一組向量，，，…，，(且)，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．(1)設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，，…，滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對稱，與(且)關(guān)于點(diǎn)對稱，求的最小值．【解析】(1)由題意可得：，則，解得：；(2)存在“長向量”，且“長向量”為，，理由如下：由題意可得，若存在“長向量”，只需使，又，故只需使，即，即，當(dāng)或時(shí)，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為，；(3)由題意，得，，即，即，同理，，三式相加并化簡，得：，即，，所以，設(shè)，由得：，設(shè)，則依題意得：，得，故，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故.【典例3-2】(2024·高一·上海奉賢·期末)對于一個(gè)向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“好向量”(1)若是向量組的“好向量”，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知，，均是向量組的“好向量”，試探究的等量關(guān)系并加以證明．【解析】(1)由題意，而，，，，所以，解得，所以的范圍是；(2)的等量關(guān)系是，證明如下：由題意是向量組的“好向量”，所以，則，即，所以，同理，，三式相加并整理得，所以，所以．【變式3-1】(2024·高三·上海寶山·期末)對于一組向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”.(1)設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，向量組，，，…，是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；(3)已知??均是向量組，，的“向量”，其中，.設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，…滿足：為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對稱，與關(guān)于點(diǎn)對稱，求的最小值.【解析】(1)由題意，得：，則解得：(2)是向量組，，，…，的“向量”，證明如下：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故即當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，故即綜合得：是向量組，，，…，的“向量”(3)由題意，得，，即即，同理，三式相加并化簡，得：即，，所以設(shè)，由得：設(shè)，則依題意得：，得故所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立故【過關(guān)測試】1．(2024·高一·四川成都·期中)定義行列式運(yùn)算：，若函數(shù)()的最小正周期是.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)由題意：，∵，∴，由可得，∴的單調(diào)增區(qū)間為．(2)證明：由(Ⅰ)得，∴，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，而，滿足上式∴，則，∴．2．(2024·高二·上海寶山·階段練習(xí))已知數(shù)列和滿足：，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)行列式，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)在(1)的條件下，若不是常數(shù)列，是等比數(shù)列，①求和的通項(xiàng)公式；②設(shè)是正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的最小值．【解析】證明:因?yàn)?所以,,因?yàn)?所以,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列.①由(1)知數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為(),設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，成等差數(shù)列,所以且,所以,且,結(jié)合化簡可得且,解得,所以,,故,.②因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以,即,由于,且均為正整數(shù),所以,,所以,可得,即,當(dāng)時(shí),,,所以不等式不成立,當(dāng)或時(shí),成立,當(dāng)時(shí),,即時(shí),則有,所以的最小值為6,當(dāng)且僅當(dāng)且或時(shí),取得最小值6.3．(2024·高一·吉林延邊·期中)已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù);又定義行列式;函數(shù)(其中)(1)證明:函數(shù)在上也是增函數(shù)；(2)若函數(shù)的最大值為，求的值；(3)若記集合恒有，恒有,求滿足的的取值范圍.【解析】(1)證明：任取，則且在上是增函數(shù)

，又為奇函數(shù)故即

函數(shù)在上也是增函數(shù)(2)的最大值只可能在,,處取若，，則有，此時(shí)，符合題意若，，則有,此時(shí)，不符合題意若，，則有或此時(shí)或,不符合題意綜上所述：(3)是定義在上的奇函數(shù)且滿足又在上均是增函數(shù)由得：或又恒有，恒有所以恒有即不等式在恒成立由得：

此時(shí)由得：此時(shí)綜上所述：4．(2024·湖北孝感·模擬預(yù)測)定義矩陣運(yùn)算：．已知數(shù)列，滿足，且．(1)證明：，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)證明：因?yàn)?，所以，消去，得，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，由及，得，所以，因?yàn)椋?，所以為公差?的等差數(shù)列，為公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知，則．5．(2024·高二·陜西西安·期中)有個(gè)正數(shù)，排成矩陣(行列的數(shù)表)：，表示位于第行，第列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知，，.(1)求公比.(2)用表示.(3)求的值.【解析】(1)由題可知第4行公差為，由此可知由第四列數(shù)據(jù)可知公比為：(2)，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故(3)因?yàn)槊恳涣械臄?shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，所以由(2)可知，故，設(shè)的前n項(xiàng)和為①②得6．(2024·高二·江蘇蘇州·期中)設(shè)2階方矩陣，則矩陣A所對應(yīng)的矩陣變換為：，其中，，其意義是把點(diǎn)變換為點(diǎn)，矩陣M叫做變換矩陣.(1)當(dāng)變換矩陣時(shí)，點(diǎn)，經(jīng)矩陣變換后得到點(diǎn)分別是，，求經(jīng)過，的直線的方程；(2)當(dāng)變換矩陣，點(diǎn)經(jīng)矩陣的作用變換后得到點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m，n的值.【解析】(1)由題可知：，則，解得，所以.同理可得，則，所以經(jīng)過，的直線方程為：，即.(2)由題可知：，即有，得.所以，.7．(2024·上?！つM預(yù)測)設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的2行n列的矩陣，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零．記為所有這樣的矩陣構(gòu)成的集合．記為A的第一行各數(shù)之和，為A的第二行各數(shù)之和，為A的第i列各數(shù)之和．記為、、、、…、中的最小值．(1)若矩陣，求；(2)對所有的矩陣，求的最大值；(3)給定，對所有的矩陣，求的最大值．【解析】(1)依題意，，，，，，所以.(2)設(shè)矩陣，，且，若任意改變矩陣A的行次序或列次序，或把A中的每個(gè)數(shù)換成其相反數(shù)，得到新矩陣，則，且，則不妨設(shè)，且由的定義知，，，相加得：，因此，，當(dāng)，時(shí)取“=”，顯然存在矩陣，使，所以的最大值是1.(3)設(shè)矩陣，，，且，由(2)知，不妨設(shè)，且，由的定義知，，相加得：，因此，，當(dāng)，，時(shí)取“=”，此時(shí)，，，即存在矩陣，其中個(gè)1，使，所以的最大值是.8．(2024·高三·河南·期末)三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知，是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點(diǎn)(1)①若，，求；②證明.(2)記的面積為，證明：.(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.【解析】(1)①因?yàn)?，，則；②設(shè)，，則，將與互換，與互換，與互換，可得，故；(2)因?yàn)?，故，故要證，只需證，即證，由(1)，，，故，又，，，則成立，故；(3)由(2)，，故，故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.9．(2024·高一·貴州·期末)如圖一，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，請根據(jù)以下信息，處理問題(1)和(2).信息一：為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則，且；信息二：與的夾角記為，與的夾角記為，則；信息三：；信息四：，叫二階行列式.(1)求證：，(外層“”表示取絕對值)；(2)如圖二，已知三點(diǎn)，，，試用(1)中的結(jié)論求的面積.【解析】(1)如圖所示.∵，又因?yàn)?，，∴，又∵，?(2)∵∴10．(2024·高二·上海浦東新·期中)對于一組向量，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”；(1)設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求的范圍；(2)若，向量組是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由.【解析】(1)由題意可得，，又，即為，解得，即的范圍是；(2)是“向量”.理由：，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，即有，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，即有，即.綜上可得，是向量組的“向量”.11．(2024·高一·山西大同·階段練習(xí))元向量()也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)