5.2.2函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)（滿分100分時(shí)間：40分鐘）班級姓名得分一、單項(xiàng)選擇題：（本題共5小題，每小題5分，共25分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.）1．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)都有，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題解題關(guān)鍵在于根據(jù)已知構(gòu)造出合適的函數(shù)，，再通過逆用求導(dǎo)公式得到，根據(jù)已知條件求得m的值，從而將抽象不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，進(jìn)而得解．【詳解】因?yàn)椋?，即，亦即，又，所以，即有．原不等式可等價(jià)于，即，解得的取值范圍是．故選：A．2．函數(shù)和函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)）的圖象在同一坐標(biāo)系中的情況可以為（）A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③【答案】B【分析】求得，，根據(jù)①②③④中的圖象分析、、的符號，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】易知，則．由①②中函數(shù)的圖象得，若，則，此時(shí)，，又，所以的圖象開口向下，此時(shí)①②均不符合要求；若，則，此時(shí)，，又，所以的圖象開口向上，此時(shí)②符合要求，①不符合要求；由③④中函數(shù)的圖象得，若，則，此時(shí)，，又，所以的圖象開口向下，此時(shí)③符合要求，④不符合要求；若，則，此時(shí)，，又，所以的圖象開口向上，此時(shí)③④均不符合要求．綜上，②③符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的辨別，解題的關(guān)鍵就是要根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的關(guān)鍵要素分析參數(shù)的符號，而一次函數(shù)圖象主要從直線的斜率、在軸上截距的正負(fù)來分析，二次函數(shù)主要從其圖象的開口方向、對稱軸的位置以及二次函數(shù)圖象與軸上的交點(diǎn)位置來分析，主要從參數(shù)的范圍或符號來進(jìn)行分析.3．已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A．2 B．2019 C．2018 D．0【答案】A【分析】，令，則有，然后得出是奇函數(shù)，是偶函數(shù)即可求出答案.【詳解】令，則有因?yàn)榈亩x域是R，所以是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)所以，所以故選：A【點(diǎn)睛】可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).4．定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是，且恒有成立，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把給出的等式變形得到，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)，由其導(dǎo)函數(shù)的符號得到其在上為增函數(shù)，則，整理后即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)?，所以，．由，得．即．令，，則．所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，所以，即．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法．5．已知點(diǎn)，是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，則A．，b為任意非零實(shí)數(shù) B．，a為任意非零實(shí)數(shù)C．a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D．不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b【答案】A【分析】求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意，在點(diǎn)處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實(shí)數(shù).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及化簡運(yùn)算能力．二、多選題6．英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法，做法如下：如圖，設(shè)r是的根，選取作為r的初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線，則l與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱是r的一次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2是r的二次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的n+1次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（）A．若取初始近似值為1，則該方程的二次近似值為B．若取初始近似值為2，則該方程的二次近似值為C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)牛頓迭代法求方程近似解的方法，將初始值代入公式計(jì)算即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】令，則，當(dāng)，，，故A正確；當(dāng)，，，故B正確；因?yàn)?；；；，∴，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC7．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對于定義域?yàn)槿我猓泻愠闪?，則稱為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)，其中為恒均變函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由“恒均變”函數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和特殊值法，化簡整理，對各個(gè)選項(xiàng)判斷可得結(jié)論．【詳解】解：對于A，，則，所以，，滿足，故A中的函數(shù)為恒均變函數(shù)；對于B，，則，所以，，滿足，故B中的函數(shù)為恒均變函數(shù)；對于C，當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)不滿足，故中的函數(shù)不為恒均變函數(shù)；對于D，，則，當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)不滿足，故D中的函數(shù)不為恒均變函數(shù)；故選：．8．定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”和對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷，以下命題正確的是（）A．存在有兩個(gè)及兩個(gè)以上對稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)的對稱中心是（1，0）C．存在三次函數(shù)，方程有實(shí)數(shù)解，且點(diǎn)為函數(shù)的對稱中心D．若函數(shù)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)新定義對應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，求出，判斷其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷A；，將（1，0）代入即可判斷B；設(shè)三次函數(shù)為，方程的解只有，從而可判斷C；求出函數(shù)的對稱中心為，則，即可判斷D.【詳解】解：選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，則方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即不存在有兩個(gè)及兩個(gè)以上對稱中心的三次函數(shù)，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，，則函數(shù)的對稱中心為，故B正確，選項(xiàng)C：設(shè)三次函數(shù)為，則，，方程的解只有，，所以函數(shù)的對稱中心為，故C正確，選項(xiàng)D：因?yàn)?，，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解為，，所以函數(shù)的對稱中心為，則，所以，故D正確，故選：BCD．三、填空題9．巳知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】方程有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與動(dòng)折線有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，借助數(shù)形結(jié)合的思想作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，是偶函?shù)，其圖象如圖，直線，(圖中虛線)及y軸是該圖象的漸近線，函數(shù)的圖象是過定點(diǎn)的折線，觀察圖象知，當(dāng)射線與在y軸左側(cè)的圖象有公共點(diǎn)時(shí)，該射線與在y軸右側(cè)的圖象有1個(gè)或2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)射線與在y軸左側(cè)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，，依題意有，且，整理得，解得，，顯然，當(dāng)時(shí)，射線與曲線有無公共點(diǎn)，則曲線與折線最多有2個(gè)公共點(diǎn)，不符合，①當(dāng)時(shí)，射線與曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，而，該射線與直線相交，它與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，射線與直線不相交，則它與曲線無公共點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，曲線與折線有3個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，射線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，該射線與直線相交，它與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，射線與直線不相交，則它與曲線無公共點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，曲線與折線有4個(gè)公共點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，射線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，該射線與直線平行，它與曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，射線與直線平行，則它與曲線無公共點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，曲線與折線有3個(gè)公共點(diǎn)，④當(dāng)時(shí)，射線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，該射線與直線不相交，它與曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，射線與直線相交，則它與曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，曲線與折線有4個(gè)公共點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，曲線與折線有4個(gè)公共點(diǎn)，即方程有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：10．已知函數(shù)f(x)=2lnx，若總存在直線與函數(shù)y=f(x)，y=g(x)圖象均相切，則a的取值范圍是_____.【答案】[，+∞)【分析】設(shè)y=f(x)與y=g(x)的圖象在交點(diǎn)處存在切線y=kx+b,且切點(diǎn)為(n,2lnn),分別求得f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,得到n,k,t的方程,化簡變形可得4lnn+n=1,設(shè)h(n)=4lnn+n,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性,解方程可得n=1,進(jìn)而得到a的值,結(jié)合拋物線的開口與a的關(guān)系,可得所求范圍.【詳解】根據(jù)圖象易得當(dāng)兩函數(shù)的圖象相離或相切時(shí)一定有公共切線，當(dāng)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)時(shí)沒有公切線，下面探求相切時(shí)的條件.設(shè)y=f(x)與y=g(x)的圖象在交點(diǎn)處存在切線y=kx+t,且切點(diǎn)為(n,2lnn),=,,可得=k=2an－1,2lnn=kn+t=an2－n－,化為kn=2,,則,即,設(shè),h'(n)=+1>0,可得h(n)在(0,+∞)遞增，由h(1)=1,可得4lnn+n=1的解為n=1,則a=,由y=ax2－x－=(a>0)的圖象可得,當(dāng)a越大時(shí),拋物線的開口越小,可得此時(shí)y=f(x)和y=g(x)的圖象相離,總存在直線與它們的圖象都相切,則a的范圍是[，+∞).故答案為[，+∞)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，屬較難試題，關(guān)鍵是利用幾何直觀判斷出兩曲線相離時(shí)一定有公切線，相交于不同兩點(diǎn)是不存在公切線，然后探求相切的條件，進(jìn)而根據(jù)拋物線的系數(shù)是開口大小的關(guān)系，判定得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.11．設(shè)三次函數(shù)，（a,b,c為實(shí)數(shù)且）的導(dǎo)數(shù)為，記，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為____________【答案】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，求出，不等式恒成立問題即二次不等式恒成立問題，根據(jù)圖像可得且，可得出，分和討論，利用不等式的性質(zhì)和基本不等式可求得的最大值．【詳解】因?yàn)?，所以，?因?yàn)閷θ我?，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，則.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查多變量的最值的問題，根據(jù)變量之間的關(guān)系，進(jìn)行代換，換元，利用基本不等式求最值，是道難度比較大的題目．四、解答題12．記、分別為函數(shù)、的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程組，判斷方程組無公共解，即可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)為與的“點(diǎn)”，根據(jù)題中定義可得出關(guān)于的方程組，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）函數(shù)，，則，．由，可得，此方程組無解，因此，函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）函數(shù)，，則，，設(shè)為與的“點(diǎn)”，由可得，可得，解得，此時(shí).因此，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中“點(diǎn)”的定義得出方程進(jìn)行求解.對于新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證.13．曲線C：在點(diǎn)處的切線為：，在點(diǎn)處的切線為：，求曲線C的方程．【答案】．【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算即可求解【詳解】由已知得點(diǎn)與點(diǎn)均在曲線C上，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，，，解得：．所以曲線C的方程為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，求切線常見考法：(1)已知切點(diǎn)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：．(2)已知斜率k，求切點(diǎn)，即解方程.(3)若求過點(diǎn)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為，由，求解即可．14．設(shè)f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝xsinx＋cosx．【分析】已知f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及求導(dǎo)公式求出，又知f′(x)＝xcosx，利用兩者相等，建立等量關(guān)系，求解即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒′(x)＝