函數(shù)中的新定義問題知識(shí)方法精講1．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．2．正比例函數(shù)的性質(zhì)正比例函數(shù)的性質(zhì)．3．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．4．一次函數(shù)與一元一次不等式（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）對(duì)應(yīng)一次函數(shù)y＝kx+b，它與x軸交點(diǎn)為（﹣，0）．當(dāng)k＞0時(shí)，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；當(dāng)k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．5．一次函數(shù)綜合題（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值．（3）用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題．6．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．7．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。谝淮雾?xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．8．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x＝．9．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．10．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．11．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．12．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個(gè)數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．13．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．14．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識(shí)的新情景問題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對(duì)提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手對(duì)于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識(shí)在后面問題中很可能還會(huì)用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識(shí)運(yùn)用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手對(duì)于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識(shí)、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答。15．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?黔西南州期中）若將拋物線平移，有一個(gè)點(diǎn)既在平移前的拋物線上，又在平移后的拋物線上，則稱這個(gè)點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”．現(xiàn)將拋物線向右平移個(gè)單位長度后得到新的拋物線，若為“平衡點(diǎn)”，則的值為A．2 B．1 C．4 D．3【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】將代入平移前拋物線解析式求得的值；然后將代入平移后拋物線解析式求得的值．【解答】解：根據(jù)題意，將代入拋物線，得到：，所以“平衡點(diǎn)”為．將拋物線向右平移個(gè)單位得到新拋物線．將代入新拋物線，得．解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是理解“平衡點(diǎn)”的含義．2．（2021?河南模擬）新定義：，，為二次函數(shù)，，，為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：的“圖象數(shù)”為，，，若“圖象數(shù)”是，，的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為A． B． C．或2 D．2【考點(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)【分析】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為，然后根據(jù)判別式的意義得到△，從而解的方程即可．【解答】解：二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意得△，解得，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．3．（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫做和諧矩形．已知點(diǎn)是拋物線上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16，則的值可以是A．16 B．4 C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；矩形的性質(zhì)【分析】根據(jù)和諧點(diǎn)的定義與二次函數(shù)的性質(zhì)列出，的方程，求解，即可．【解答】解：點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是和諧點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的和諧矩形的面積為16，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象特征和矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）4．（2021?南潯區(qū)二模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足時(shí)，則的取值范圍是或．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的最值【分析】根據(jù)題干定義可得函數(shù)最大值或函數(shù)最小值，由可得函數(shù)最大值為可得，進(jìn)而可得函數(shù)最小值為直線與拋物線交點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【解答】解：由題干可得函數(shù)在時(shí)，函數(shù)最大值或最小值為，，，拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，為函數(shù)最大值，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，直線與直線與拋物線交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，時(shí)，直線與拋物線交點(diǎn)為最低點(diǎn)，把代入得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或滿足題意．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)新定義問題，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握求二次函數(shù)最值的方法．5．（2021?邗江區(qū)二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為．拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為，點(diǎn)在該拋物線上．若點(diǎn)的變換點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且四邊形是菱形，則滿足該條件所有值的和為．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；菱形的性質(zhì)；關(guān)于軸、軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】利用菱形的性質(zhì)，可知，關(guān)于軸對(duì)稱，分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：四邊形是菱形，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．代入，得．．當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．代入，得．，．綜上所述，的值是，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題．三．解答題（共17小題）6．（2021秋?東城區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中．的半徑為1，對(duì)于直線和線段，給出如下定義：若將線段關(guān)于直線對(duì)稱，可以得到的弦，分別為，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖2，點(diǎn)，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①在線段，，中，的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”是；②若線段，，中，存在的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”，則；（2）已知直線交軸于點(diǎn)，在中，，．若線段是的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最大值和最小值，以及相應(yīng)的長．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）①分別畫出線段，，關(guān)于直線對(duì)稱線段，如圖，即可求解；②從圖象性質(zhì)可知，直線與軸的夾角為，而線段直線，線段關(guān)于直線對(duì)稱線段還在直線上，顯然不可能是的弦；線段，的最長的弦為2，得線段的對(duì)稱線段不可能是的弦，而線段直線，線段，線段的對(duì)稱線段線段線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，畫出對(duì)應(yīng)圖形即可求解；（2）先表示出，最大時(shí)就是最大，最小時(shí)就是長最小，根據(jù)線段關(guān)于直線對(duì)稱線段在上，得，再由三角形三邊關(guān)系得，得當(dāng)為時(shí)，如圖3，最小，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)為時(shí)，如圖3，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，分兩種情形分別求解．【解答】解：（1）①分別畫出線段，，關(guān)于直線對(duì)稱線段，如圖，發(fā)現(xiàn)線段的對(duì)稱線段是的弦，線段，，中，的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”是，故答案為：；②從圖象性質(zhì)可知，直線與軸的夾角為，線段直線，線段關(guān)于直線對(duì)稱線段還在直線上，顯然不可能是的弦，線段，的最長的弦為2，線段的對(duì)稱線段不可能是的弦，線段是的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”，而線段直線，線段，線段的對(duì)稱線段線段線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，第一種情況：、的坐標(biāo)分別為、，此時(shí)；第二種情況：、的坐標(biāo)分別為、，此時(shí)，故答案為：3或2；（2）直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得：，，最大時(shí)就是最大，最小時(shí)就是長最小，線段是的關(guān)于直線對(duì)稱的“關(guān)聯(lián)線段”，線段關(guān)于直線對(duì)稱線段在上，，在△中，，當(dāng)為時(shí)，如圖3，最小，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入直線中，，解得：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，在△中，；當(dāng)為時(shí)，如圖3，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入直線中，，解得：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，在△中，，的最大值為，；最小值為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了以圓為背景的閱讀理解題，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是找出不同情境下的“關(guān)聯(lián)線段”和閱讀理解能力．7．（2021秋?長沙期末）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線為常數(shù)）對(duì)稱，則把該函數(shù)稱之為“函數(shù)”．（1）在下列關(guān)于的函數(shù)中，是“函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“”，不是“函數(shù)”的打“”．①②③（2）若關(guān)于的函數(shù)為常數(shù)）是“（2）函數(shù)”，與為常數(shù)，相交于，、，兩點(diǎn)，在的左邊，，求的值；（3）若關(guān)于的“函數(shù)”，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）①設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，求得，則可判斷；②設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，求得，則可判斷；③設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入，求得，則可判斷；（2）由題意可求，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，求出，再由由對(duì)稱性可知，，求出，設(shè)，則，求出十，，，可得，即可求，則；（3）先判斷“函數(shù)”為，分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)，即時(shí)，一，則；⑧當(dāng)時(shí)，十，則（舍去）：④時(shí)，，則（舍去）．【解答】解；（1）①設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，令，則，若，則，不是“函數(shù)”；②設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，令，則，若，則或，是“函數(shù)”；③設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，令，則，若，則有或，是“函數(shù)”；故答案為：，，；（2）一是“（2）”函數(shù)，，如圖，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，，，，由對(duì)稱性可知，，，，，，設(shè)，則，十，，，，，，；（3）由題意得，解得，此“函數(shù)”為，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，十，，；②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，十，時(shí)，，一，；⑧當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，十，十，（舍去）④時(shí)，時(shí)，，時(shí)，十，，（舍去），綜上所述：或．【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)的綜合題，理解新函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?寶安區(qū)期末）定義：我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)稱為一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”．例如求的“不動(dòng)點(diǎn)”：聯(lián)立方程，解得，則的“不動(dòng)點(diǎn)”為．（1）由定義可知，一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為；（2）若一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，求、的值；（3）若直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且直線上沒有“不動(dòng)點(diǎn)”，若點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得，求滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立，即可求解；（2）由定義可知一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，再將點(diǎn)代入即可求的值；（3）由題意可知直線與直線平行，則有，在求出，，設(shè)，由，可得，即可點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）聯(lián)立，解得，一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，故答案為：；（2）一次函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”為，，，“不動(dòng)點(diǎn)”為，，解得；（3）直線上沒有“不動(dòng)點(diǎn)”，直線與直線平行，，，，，設(shè)，，，，，，或，或．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，理解定義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?昌平區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，，給出如下定義：若且，我們稱點(diǎn)是線段的“潛力點(diǎn)”．已知點(diǎn)，．（1）在，，，中是線段的“潛力點(diǎn)”是；（2）若點(diǎn)在直線上，且為線段的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)線段上存在線段的“潛力點(diǎn)”時(shí)，直接寫出的取值范圍．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）在坐標(biāo)系中找到，，，三點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離可直接得出結(jié)論；（2）經(jīng)過分析可知，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓外，且在線段垂直平分線的左側(cè)，且點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)．畫出點(diǎn)的范圍，找到此范圍中符合題意的點(diǎn)，即可求解．（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可找到臨界狀態(tài)，畫出圖形，求出對(duì)應(yīng)的的值即可．【解答】解：（1）在坐標(biāo)系中找到，，，三點(diǎn)，如圖，根據(jù)“潛力點(diǎn)”的定義，可知是線段的潛力點(diǎn)．故答案為：；（2）點(diǎn)為線段的“潛力點(diǎn)”，且，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓外．，點(diǎn)在線段垂直平分線的左側(cè)．，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)．又點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在如圖所示的線段上（不包含點(diǎn)．由題意可知和是等腰三角形．（3）如圖①，當(dāng)直線與半徑長為2的圓相切時(shí)，開始有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)是“潛力點(diǎn)”；過點(diǎn)作，則，，，則；點(diǎn)繼續(xù)當(dāng)下運(yùn)動(dòng)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，開始沒有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)不是“潛力點(diǎn)”；此時(shí)；如圖③，當(dāng)點(diǎn)與，重合時(shí)，開始有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)不是“潛力點(diǎn)”；此時(shí)；如圖④，當(dāng)線段過點(diǎn)時(shí)，開始沒有“潛力點(diǎn)”，且點(diǎn)不是“潛力點(diǎn)”；此時(shí)，，，．綜上所示，的取值范圍為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了解兩點(diǎn)間的距離，“潛力點(diǎn)”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2021秋?房山區(qū)期末）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的函數(shù)值，都滿足，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．（1）函數(shù)①和②中是有上界函數(shù)的為②（只填序號(hào)即可），其上確界為；（2）如果函數(shù)的上確界是，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過，求的取值范圍；（3）如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的最大值即可求解；（2）由題意可知：，再由，，，即可求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，可得（舍；當(dāng)時(shí)，，可得（舍；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得．【解答】解：（1）①，①無上確界；②，，②有上確界，且上確界為1，故答案為：②，1；（2），隨值的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，上確界是，，函數(shù)的最小值不超過，，，，，，的取值范圍為：；（3）的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，的最大值為，為上確界，，（舍；當(dāng)時(shí)，的最大值為，為上確界，，（舍；當(dāng)時(shí)，的最大值為，為上確界，，；當(dāng)時(shí)，的最大值為，為上確界，，，綜上所述：的值為2.4．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．11．（2021?海滄區(qū)模擬）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），若是等腰三角形，則稱拋物線是“理想拋物線”．（1）判斷拋物線是否為“理想拋物線”，并說明理由；（2）已知經(jīng)過點(diǎn)的拋物線是“理想拋物線”．①若點(diǎn)，，是拋物線上另兩點(diǎn)，滿足當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)始終在拋物線的對(duì)稱軸上，且線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線的解析式；②是否存在整數(shù)使得，且？若存在，求出所有滿足條件的整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)“理想拋物線”的定義可直接判斷；（2）①要滿足是等腰三角形，則可能為底邊，也可能為腰；當(dāng)為底邊時(shí)，當(dāng)為腰時(shí)，分兩種情況討論；②是的高，且，開口向上，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，用極端假設(shè)法可知，，時(shí)，，必然有，則，且，所以，要使，則必然小于1，且不為0，所以不存在符合要求的整數(shù)．【解答】解：（1）是，理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為直線：，該拋物線是關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，垂直平分，為等腰三角形，是為“理想拋物線”；（2）①要滿足是等腰三角形，則可能為底邊，也可能為腰；當(dāng)為底邊時(shí)，，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)，，又是等腰三角形，，是等邊三角形；又，，；拋物線的交點(diǎn)式為：，把點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，此時(shí)拋物線的解析式為：；當(dāng)為腰時(shí)，，仍滿足，，，，，，必有點(diǎn)在點(diǎn)上方，則，對(duì)稱軸直線，，，，，，又，得，；此時(shí)拋物線的解析式為：；②不存在，理由如下：是的高，且，開口向上，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，，用極端假設(shè)法可知，，時(shí)，，必然有，則，且，，要使，則必然小于1，且不為0，不存在符合要求的整數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)背景下新定義問題，涉及二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是理解“理想拋物線”的定義．12．（2021?龍巖模擬）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：過點(diǎn)作軸和軸的垂線，垂足分別為，，若圖形中的任意一點(diǎn)滿足且，則稱四邊形是圖形的一個(gè)覆蓋，點(diǎn)為這個(gè)覆蓋的一個(gè)特征點(diǎn)．例：若，，則點(diǎn)為線段的一個(gè)覆蓋的特征點(diǎn)．已知，，，求解下列問題：（1）在，，中，是的覆蓋特征點(diǎn)的有，；（2）若在一次函數(shù)的圖象上存在的覆蓋的特征點(diǎn)，求的取值范圍．【考點(diǎn)】一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】（1）由定義，，是的覆蓋特征；（2）當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，為的覆蓋特征點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求出是的臨界值；則可求的取值范圍為且．【解答】解：（1）由定義可知，，是的覆蓋特征，故答案為：，；（2）①當(dāng)時(shí)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，為的覆蓋特征點(diǎn)，點(diǎn)在一次函數(shù)上，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，，，綜上所述：且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，理解題意，根據(jù)所給條件，確定是的覆蓋特征點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?拱墅區(qū)月考）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對(duì)于函數(shù)，若當(dāng)，函數(shù)值滿足，且滿足，則稱此函數(shù)為“系和諧函數(shù)”．（1）已知正比例函數(shù)為“系和諧函數(shù)”，請(qǐng)求出的值；（2）若一次函數(shù)為“3系和諧函數(shù)”，求的值；（3）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是“系和諧函數(shù)”，求的取值范圍．【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】（1）由題意可得，求出的值即可；（2）分兩種情況求：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；分別求出即可；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，求出；②當(dāng)時(shí)，，求出；③當(dāng)時(shí)，，求出；④當(dāng)時(shí)，，求出；綜上所述可得．【解答】解：（1），，，；（2），當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；綜上所述：；（3），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，，，；②當(dāng)時(shí)，，，，；③當(dāng)時(shí)，，，，；④當(dāng)時(shí)，，，，；綜上所述：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的新定義，能夠理解新定義，并將定義應(yīng)用到一次函數(shù)、二次函數(shù)中，結(jié)合函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．14．（2021秋?西平縣期中）二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．【感知特例】（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，’，，，，如表：2，①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．【形成概念】我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．【探究問題】（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）①利用中心對(duì)稱的特點(diǎn)即可求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；②在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)即可；（2）①利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸，利用點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱性求出“孔像拋物線”的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸，進(jìn)而“孔像拋物線”解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②利用（2）①的結(jié)論，設(shè)這條拋物線的解析式為，令，利用這條拋物線與拋物線的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，得到△．由題意可知：△的取值與無關(guān)，由此得到方程組，解方程組即可得出結(jié)論；③由題意得：．利用二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，可得直線必經(jīng)過這兩條拋物線中的一條的頂點(diǎn)，利用分類討論的思想方法，令分別經(jīng)過和的頂點(diǎn)，從而得到關(guān)于的方程，解方程即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）①點(diǎn)是對(duì)稱中心，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)本身，．故答案為：2；0；②在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為如下圖：（2）①當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為：，，拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，拋物線的“孔像拋物線”的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，拋物線的“孔像拋物線”的解析式為：．，拋物線的開口向下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，故答案為：．②，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，，拋物線的“孔像拋物線”的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，拋物線的“孔像拋物線”的解析式為：，設(shè)這條拋物線的解析式為，令，整理得：．這條拋物線與拋物線的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，△．展開得：．．當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，△的取值與無關(guān)，，解得：．．這條拋物線的解析式可能是，故答案為：，③，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，，拋物線的“孔像拋物線”的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，拋物線的“孔像拋物線”的解析式為：，由題意得：．直線是縱坐標(biāo)為且與軸平行的直線，二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，直線必經(jīng)過這兩條拋物線中的一條的頂點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，，或（舍去）．當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，，或（舍去）．綜上，的值為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)于中心對(duì)稱的點(diǎn)的特征，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與軸的交點(diǎn)，本題是閱讀型題目，理解題干中的新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?大同期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：定義：我們把自變量為的二次函數(shù)與稱為一對(duì)“親密函數(shù)”，如的“親密函數(shù)”是．任務(wù)：（1）寫出二次函數(shù)的“親密函數(shù)”：；（2）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，它的“親密函數(shù)”的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，猜想二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與其“親密函數(shù)”的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是；（3）二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論直接寫出二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【考點(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)與不等式（組【分析】（1）根據(jù)題意得親密函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)為相反數(shù)，進(jìn)而求解．（2）根據(jù)函數(shù)與其親密函數(shù)的解析式可得兩拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，進(jìn)而求解．（3）由的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和可得與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和2021，將化為求解．【解答】解：（1）由題意得，故答案為：．（2）二次函數(shù)的親密函數(shù)為，令，解得或，拋物線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為4和，拋物線的對(duì)稱軸為直線，的親密函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，與其親密函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，兩圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，故答案為：4和，互為相反數(shù)．（3）的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和2021，，和時(shí)，，即和是圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．16．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）已知是關(guān)于的函數(shù)，若存在時(shí)，函數(shù)值，則稱函數(shù)是關(guān)于的倩影函數(shù)，此時(shí)點(diǎn)叫該倩影函數(shù)的影像點(diǎn)．例如對(duì)于函數(shù)，若存在時(shí)，函數(shù)值，則，解得，則函數(shù)是倩影函數(shù)，點(diǎn)，是函數(shù)的影像點(diǎn)．（1）判斷函數(shù)是否為倩影函數(shù)．如果是，請(qǐng)求出影像點(diǎn)；如果不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)．①求證：該函數(shù)總有兩個(gè)不同的影像點(diǎn)；②是否存在一個(gè)值，使得函數(shù)的影像點(diǎn)的橫坐標(biāo)，都為整數(shù)，如果存在，請(qǐng)求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【分析】（1）把點(diǎn)代入，有解則是倩影函數(shù)，求出影像點(diǎn)；（2）①把點(diǎn)代入，得到關(guān)于的二次方程，用根式判別式證明；②在①的條件下，求出的值，結(jié)合為整數(shù)求出的值．【解答】（1）解：函數(shù)是倩影函數(shù)，由題意得：把點(diǎn)代入得：解得：，，函數(shù)是倩影函數(shù)，影像點(diǎn)為，；（2）①證明：把點(diǎn)代入得：，化簡得：，△，該函數(shù)總有兩個(gè)不同的影像點(diǎn)．②解：由①得，方程的解為：，影像點(diǎn)的橫坐標(biāo)，都為整數(shù)，是6的整數(shù)倍，且為整數(shù)，設(shè)為整數(shù)），化簡得：，解得：，或3，當(dāng)時(shí)，（舍，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，，不符合題意，綜上所述：不存在的值，使得影像點(diǎn)的橫坐標(biāo)，都為整數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為背景，考查了反比例函數(shù)和一元二次方程的解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是把代入函數(shù)解析式后，結(jié)合根式判別式△判斷一元二次方程的根情況．17．（2021秋?長沙期中）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”．例如，都是“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”．（1）求函數(shù)圖象上的“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）函數(shù)是常數(shù)）的圖象上存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”的坐標(biāo)；（3）若拋物線上有且只有一個(gè)“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，該拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)題意一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，聯(lián)立和直線解析式即可求解；（2）假設(shè)函數(shù)是常數(shù)）的圖象上存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，根據(jù)（1）的方法求解即可；（3）根據(jù)新定義，聯(lián)立拋物線和，令判別式等于0，求得的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，進(jìn)而求得，的長度相等，即可求解．【解答】解：（1）由題意，聯(lián)立方程組可得，解得：，函數(shù)圖象上的“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”坐標(biāo)為，；（2）假設(shè)函是常數(shù)）的圖象上存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，則有①，整理，得，當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程①無解；綜上所述，當(dāng)時(shí)，“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”的坐標(biāo)為，；當(dāng)時(shí)，不存在“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”；（3），理由如下：拋物線上有且只有一個(gè)“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，，整理，可得，當(dāng)△時(shí)，解得：，，解得：，，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，，是“實(shí)驗(yàn)點(diǎn)”，，解得：，點(diǎn)坐標(biāo)為，，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，理解新定義與掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與其橫坐標(biāo)的差稱為點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，而圖形上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形的“特征值”．（1）①點(diǎn)的“坐標(biāo)差”為2；②拋物線的“特征值”為；（2）某二次函數(shù)的“特征值”為1，點(diǎn)與點(diǎn)分別是此二次函數(shù)的圖象與軸和軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)的“坐標(biāo)差”相等．①直接寫出；（用含的式子表示）②求的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)【分析】（1）①根據(jù)可得坐標(biāo)差；②計(jì)算，并配方成頂點(diǎn)式可得結(jié)論；（2）①根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的“坐標(biāo)差”相等，推出，可得的值；②將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，根據(jù)二次函數(shù)的“特征值”為1，可求出的值即可．【解答】解：（1）①，故答案為：2；②，，的最大值是4，拋物線的“特征值”為4；故答案為：4；（2）①由題知，點(diǎn)與點(diǎn)的“坐標(biāo)差”相等，，，故答案為：；②由①知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，，二次函數(shù)的“特征值”為1，的最大值為1，，，解得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的新定義問題，正確理解坐標(biāo)差和特征值的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2021?渝北區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖①，定義：直線與、軸分別相交于、兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，過點(diǎn)、、的拋物線叫做直線的“糾纏拋物線”，反之，直線叫做的“糾纏直線”，兩線“互為糾纏線”．（1）若，則糾纏拋物線的函數(shù)解析式是．（2）判斷并說明與是否“互為糾纏線”．（3）如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線的對(duì)稱軸與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的對(duì)稱軸上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)糾纏線的定義，若，則點(diǎn)，，，坐標(biāo)分別為，，，，則可以設(shè)拋物線為，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）由題意可得點(diǎn)，，，坐標(biāo)分別為，，，，則拋物線的函數(shù)解析式為，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意得到點(diǎn)，，，坐標(biāo)分別為，，，，同理可得拋物線的函數(shù)解析式，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，由題意得：，即：，即可求解．【解答】解：（1）若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，設(shè)糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，故答案為：；（2）同（1）得：點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，設(shè)糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，與是“互為糾纏線”；（3）同（1）得：點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，同理可得：糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，則拋物線的對(duì)稱軸為：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并求得：直線的表達(dá)式為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)、橫坐標(biāo)差為1，縱坐標(biāo)差為，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，由題意得：，即：，解得：或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，則點(diǎn)；同理當(dāng)時(shí)，點(diǎn)；綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是新