高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：二重積分的應(yīng)用_第1頁
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二重積分的應(yīng)用一、求平面圖形的面積二、求空間立體的體積三、求平面薄片的質(zhì)量由二重積分的幾何解釋可以知道：以曲面z=f(x,y)為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：特別當f(x,y)=1時，平面D的面積為：

由二重積分的物理解釋可以知道，密度為f(x,y)的平面薄板D的質(zhì)量為：

一、平面圖形的面積

例1

求由拋物線x=y2和直線x–y=2所圍成圖形的面積.解記其面積為S，則先對x積分后對y積分作平行于x軸的直線與y軸相交，沿x軸正方向看，入口曲線為x=y2，出口曲線為x=2+y.因此區(qū)域D在y軸上的投影區(qū)間為[–1,2].故

二、求空間立體的體積由二重積分的幾何意義，若在D上連續(xù)，則以D為底，以

為頂?shù)那斨w的體積為例2

設(shè)平面x=1，x=–1，y=1和y=–1圍成的柱體被坐標平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立體的體積.解由于所截得的形體是一個曲頂直柱體，其曲頂為z=3–x–y，而其底因此，由二重積分的幾何應(yīng)用得到例3

設(shè)平面薄片D是由x+y=2，y=x和x軸所圍成的區(qū)域，它的密度，求該薄片的質(zhì)量.解平面薄片D先解方程組得兩曲線的交點為(1,1)，D可用不等式表示為

三、求平面薄片的質(zhì)量例4

設(shè)平面薄片D為介于圓之外，而在圓內(nèi)的區(qū)域，且D內(nèi)點(x,y)處的密度,求該平面薄片質(zhì)量.解平面薄片D.極點在區(qū)域D的邊界上.區(qū)域D為極坐標系下的不等式表達式為注意到，則例5

設(shè)平面薄片所占Oxy平面上的區(qū)域D為，面密度為

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