解密07平面向量考點(diǎn)熱度★★★★★內(nèi)容索引核心考點(diǎn)1平面向量的概念及運(yùn)算核心考點(diǎn)2平面向量的基本定理及坐標(biāo)核心考點(diǎn)3平面向量的數(shù)量積核心考點(diǎn)4平面向量垂直與平行核心考點(diǎn)4平面向量的應(yīng)用小專題平面向量新概念考點(diǎn)由高考知核心知識點(diǎn)預(yù)測解三角形熱點(diǎn)預(yù)測與趨勢分析平面向量為必考題。今后高考的命題趨勢：選擇、填空皆有可能出。變化很多。一般不太難平面向量知識點(diǎn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.4．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).6．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.7．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a·b＝0，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a·b＝±|a||b|.8．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．9．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|__≤__|a||b|.10．平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.11．平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.12．向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點(diǎn)共線等問題共線向量定理a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)(θ為向量a，b的夾角)長度問題數(shù)量積的定義|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)核心考點(diǎn)一平面向量的概念及運(yùn)算考法平面向量的概念及運(yùn)算1．（2011·四川·高考真題（文））如圖，正六邊形ABCDEF中，=A．0 B． C． D．2．（2020·海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．3．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.1．（2021·云南昆明·模擬預(yù)測（文））下列有關(guān)四邊形的形狀判斷錯(cuò)誤的是（）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，且，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形2．（2022·云南昆明·一模（理））在中，點(diǎn)滿足，則（）A． B．C． D．核心考點(diǎn)二平面向量的基本定理及坐標(biāo)考法平面向量的基本定理及坐標(biāo)1．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．2．（2013·廣東·高考真題（文））設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．41．（2022·河南省直轄縣級單位·一模（理））正方形中，P，Q分別是邊的中點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．．2．（2021·云南·模擬預(yù)測（理））如圖，在△中，點(diǎn)M是上的點(diǎn)且滿足，N是上的點(diǎn)且滿足，與交于P點(diǎn)，設(shè)，則（）A． B．C． D．3．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且D，G，E三點(diǎn)共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（）A． B． C． D．核心考點(diǎn)三平面向量的數(shù)量積考法平面向量的數(shù)量積1．（2021·山東·高考真題）已知向量，，那么等于（）A． B． C．1 D．02．（2022·上海·高考真題）在△ABC中，，，M為AC的中點(diǎn)，P在線段AB上，則的最小值為________3．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知非零向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件1．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知向量，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知向量，，則（）A． B． C． D．核心考點(diǎn)四平面向量垂直與平行考法平面向量垂直與平行1．（2021·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．2．（2021·全國·高考真題（文））已知向量，若，則_________．1．（2022·河南洛陽·一模（文））若向量與向量共線，則___________.2．（2021·浙江·海亮高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量滿足：，則的最小值為____________.核心考點(diǎn)四平面向量的應(yīng)用考法解三角形解中的求范圍1．（2014·江蘇·高考真題）如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是______．2.（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.1．（2016·陜西·三模（理））非零向量，滿足，且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形2．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）四邊形為梯形，且，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)及其邊界上的點(diǎn).若，則點(diǎn)的軌跡的長度是（）A． B． C． D．3．（2021·遼寧·模擬預(yù)測）線段AB的端點(diǎn)分別在x，y的正半軸上移動(dòng)，如圖，∠ABC＝30°，＝0，，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，則的取值范圍是________．小專題平面向量的新概念1．（2010·山東·高考真題（文））定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對任意的，，令.下面說法錯(cuò)誤的是A．若共線，則B．C．對任意的D．2．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）向量與向量的向量積仍是向量，記作，它的模是，則（）A． B． C． D．03．（2021·山東濰坊·二模）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方