編者小k君小注：本專輯專為2022年上海高中數學課改版滬教版2021必修二、選擇性必修一、選擇性必修二研發(fā)，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優(yōu)訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題08拋物線的性質綜合難點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知為拋物線的焦點，、是拋物線上的不同兩點，則下列條件中與“、、三點共線”等價的是（）A． B．C． D．2．過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于，則這樣的直線（）A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在3．（2021·上海市金山中學高二月考）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于，兩點，位于第一象限，則的最小值是（）A． B． C． D．4．已知拋物線和直線在第一象限內的交點為．設是拋物線上的動點，且滿足，記，則（）A．當時，的最小值是B．當時，的最小值是C．當時，的最小值是D．當時，的最小值是5．若直線與拋物線交于A、B兩點(不與原點重合)，且，則實數b的值為（）A．2 B．1 C．4 D．6．（2021·上海市南洋模范中學高二期末）已知過拋物線焦點的直線與交于，兩點，交圓于，兩點，其中，位于第一象限，則的值不可能為（）A．6 B．5 C．4 D．37．（2021·上海市控江中學高三月考）已知點的坐標為，點是拋物線上的點，則使得是等腰三角形的點的個數是（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知直線與拋物線交于、兩點，若四邊形為矩形，記直線的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．9．已知為拋物線的焦點，、、為拋物線上三點，當時，有（）A．個 B．個 C．有限個，但多于個 D．無限多個10．（2021·上?！の挥袑W三模）已知拋物線為其焦點，為其準線，過任作一條直線交拋物線于兩點，分別為在上的射影，為的中點，給出下列命題:①;②;③;④與的交點在軸上;⑤與交于原點．其中真命題的個數為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題11．（2021·上海·位育中學高二月考）直線被拋物線截得線段長是____________12．設拋物線的焦點為，過的兩條直線，分別交拋物線于點，，，，且，的斜率，滿足，則的最小值為__________．13．已知圓：與拋物線：恰有兩個公共點?，圓與恰有一個公共點，且圓與軸相切于的焦點，則___________.14．（2021·上海市復興高級中學高二期中）過拋物線的焦點，且斜率為的直線交拋物線于點（在軸的上方），為拋物線的準線，點在上且，則到直線的距離為________15．（2021·上?！げ軛疃懈叨驴迹┤鐖D，已知拋物線的焦點為，直線過點且依次交拋物線及圓于、、、四點，則的最小值為_____．16．（2021·上海市建平中學高三期中）過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于點（在軸上方），為拋物線的準線，點在上且，則到直線的距離為___________17．（2021·上海崇明·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為頂點為焦點作拋物線.若雙曲線與拋物線交于點，且，則拋物線的準線方程是_____.18．（2021·上海長寧·一模）已知點在拋物線上，點在的準線上，線段的中點均在拋物線上，設直線與軸交于點，則的最小值為____________．19．（2021·上海長寧·一模）設曲線與函數的圖像關于直線對稱，若曲線仍然為某函數的圖像，則實數的取值范圍為____________20．（2021·上海交大附中模擬預測）焦點為的拋物線與圓交于、兩點，其中點橫坐標為，方程的曲線記為，是圓與軸的交點，是坐標原點.有下面的四個命題，請選出所有正確的命題：_________.①對于給定的角，存在，使得圓弧所對的圓心角；②對于給定的角，存在，使得圓弧所對的圓心角；③對于任意，該曲線有且僅有一個內接正△；④當時，存在面積大于2021的內接正△.三、解答題21．（2021·上海青浦·一模）已知拋物線.（1）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，求的值（其中為坐標原點）；（2）過拋物線上一點，分別作兩條直線交拋物線于另外兩點?，交直線于兩點，求證：為常數（3）已知點，在拋物線上是否存在異于點的兩個不同點，使得若存在，求點縱坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由.22．（2021·上海浦東新·一模）已知斜率為的直線經過拋物線：的焦點，且與拋物線交于不同的兩點、.（1）若點和到拋物線準線的距離分別為和，求；（2）若，求的值；（3）點，，對任意確定的實數，若是以為斜邊的直角三角形，判斷符合條件的點有幾個，并說明理由.23．（2021·上海徐匯·一模）在平面直角坐標系中，一動圓經過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線，是曲線上一點.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，若且直線與直線交于點，求的值；（3）若點在軸上，的內切圓的方程為，求面積的最小值.24．（2021·上海寶山·高二期末）已知橢圓的右焦點為，短軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）設S為橢圓的右頂點，過點F的直線與交于M、N兩點（均異于S），直線、分別交直線于U、V兩點，證明：U、V兩點的縱坐標之積為定值，并求出該定值；（3）記以坐標原點為頂點、為焦點的拋物線為，如圖，過點F的直線與交于A、B兩點，點C在上，并使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在F的右側，設、的面積分別為、，是否存在銳角，使得成立？請說明理由.25．（2021·上海浦東新·高二期中）在平面直角坐標系中，原點為，拋物線的方程為，線段是拋物線的一條動弦．（1）求拋物線的準線方程；（2）求，求證：直線恒過定點；（3）過拋物線的焦點作互相垂直的兩條直線、，與拋物線交于、兩點，與拋物線交于、兩點，、分別是線段、的中點，求面積的最小值．26．（2021·上海·曹楊二中高二月考）直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，直線、的斜率之積為，以線段的中點為圓心，為半徑的圓與直線交于、兩點．（1）求證：直線過定點；（2）求中點的軌跡方程；（3）設，求的最小值．27．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高二期中）過拋物線上一定點作兩條直線分別交拋物線于，，（1）若橫坐標為的點到焦點的距離為1，求拋物線方程；（2）若為拋物線的頂點，，試證明：過、兩點的直線必過定點；（3）當與的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線的斜率是非零常數.28．（2021·上海市實驗學校高三月考）已知直線與拋物線交于，兩點，且，過橢圓的右頂點的直線l交于拋物線于，兩點.（1）求拋物線的方程；（2）若射線，分別與橢圓交于點，，點為原點，，的面積分別為，，問是否存在直線使？若存在求出直線的方程，若不存在，請說明理由；（3）若為上一點，，與軸相交于，兩點，問，兩點的橫坐標的乘積是否為定值？如果是定值，求出該定值，否則說明理由.29．（2021·上?！らh行中學高三開學考試）如圖，直線與拋物線相交于不同的兩點、，且（為定值），線段的中點為，與直線平行的拋物線的切線的切點為．（1）用、表示出點、點的坐標，并證明垂直于軸；，（2）求的面積（只與有關，與、無關）；（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點分別為