2.1測量概述

2.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理

2.3不等精度測量的權與誤差以及誤差的合成與分配

2.4最小二乘法與線性回歸分析

思考題與習題2.1測量概述2.1.1測量的概念及測量結果的組成

1.測量的概念以確定量值為目的而進行的實驗過程稱為測量。測量是人類認識客觀世界、獲取定量信息的不可或缺的手段。測量的最基本形式是將待測量和同種性質的標準量進行比較，確定待測量對標準量的倍數(shù)，即x=nu

(2-1)或

(2-2)式中：x為被測量值；u為標準量，即測量單位；n為比值(純數(shù))，含有測量誤差。

2.測量結果的組成被測量的量值x稱為測量結果，包括比值n和測量單位u，是被測量的最佳估計值，而不是真值。所以測量結果中還應包含測量的可信程度，以評價測量結果的質量，這個可信程度可用測量誤差表示。因此，測量結果由三部分組成，即測量結果＝測量數(shù)據(jù)＋測量單位＋測量誤差測量結果可以表示為數(shù)值、曲線或圖形等不同的形式。2.1.2測量方法及其分類獲取被測量與標準量的比值的方法，稱為測量方法。不同的測量任務需要不同的測量方法。測量方法可以從以下不同的角度分類:按獲得測量值的方法分：直接測量、間接測量、組合測量。按測量的精度分：等精度測量、不等精度測量。按測量方式分：偏差式測量、零位式測量、微差式測量。按被測量變化快慢分：靜態(tài)測量、動態(tài)測量。按測量敏感元件是否與被測介質接觸分：接觸測量、非接觸測量。按測量系統(tǒng)是否向被測對象施加能量分：主動式測量、被動式測量。

1.直接測量、間接測量與組合測量

1)直接測量無需經(jīng)過函數(shù)關系的運算，直接通過測量儀表，就能得到被測量的測量結果的測量方法，稱為直接測量，即y=x(2-3)式中：x為被測量值；y為直接測得的值；直接測量又可分為兩種，即直接比較和間接比較。直接比較是指直接把被測物理量和標準量做比較的測量方法。例如，用米尺進行長度測量。直接比較的顯著特點是被測物理量和標準是同一種物理量。間接比較是指把被測物理量通過儀器儀表變換為與之保持已知函數(shù)關系的另一種能為人類感官所直接接受的物理量。例如，水銀溫度計、彈簧秤、彈簧管壓力表等。直接比較和間接比較的測量過程都簡單、迅速，是比較常用的方法。

2)間接測量間接測量是指在直接測量的基礎上，根據(jù)已知的函數(shù)關系，計算出被測物理量的大小。被測量y是一個直接測量值x或幾個直接測量值x1，x2，…，xn的函數(shù)，即y=f(x)(2-4)或y=f(x1，x2，…，xn)(2-5)

間接測量程序較多，花費時間較長，一般用在直接測量不方便，或者缺乏直接測量手段的場合，例如電功率的測量，先測量電壓U和電流I，再求功率P=UI。

3)組合測量組合測量是指被測量的最后結果必須經(jīng)過求解聯(lián)立方程組才能得到的測量，即

(2-6)式中：x1，x2，…，xn為測量值；y1，y2，…，ym為被測量，且n＞m(用最小二乘法求解)。組合測量方法精度高，是一種特殊的精密測量方法，但操作復雜、費時，多用于科學實驗或特殊場合。

2.等精度測量與不等精度測量

1)等精度測量等精度測量是指在測量過程中，影響誤差大小的全部測量條件始終不變，如同一測量者，用相同的儀表與測量方法，在同樣的環(huán)境條件下，對同一被測量進行的多次重復測量。實際應用中，很難保證測量條件始終不變，只能進行近似的等精度測量。

2)不等精度測量不等精度測量是指在不同的測量條件下，如用不同精度的儀表或不同的測量方法，或以不同的測量次數(shù)，或在環(huán)境條件相差很大時，或由不同的測量者，對同一被測量進行的多次重復測量。不等精度測量多用于科學研究中的對比測量。

3.偏差式測量、零位式測量與微差式測量

1)偏差式測量偏差式測量是指用儀表指針的位移決定被測量的量值的測量方法。其中，儀表刻度需事先用標準器具標定。偏差式測量測量過程簡單、迅速，但測量結果精度較低。例如指針式萬用表、彈簧秤等。

2)零位式測量零位式測量是指用指零儀表的零位指示檢測測量系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，當測量系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)時，用已知的標準量決定被測量的量值的測量方法。例如天平、電位差計等。零位式測量有較高的測量精度，但測量過程復雜、費時，多適用于信號變化緩慢的場合。

3)微差式測量微差式測量是指將被測量與已知的標準量相比較，取得差值后，再用偏差法測得該差值的測量方法。設N為標準量，x為被測量，Δ為二者之差，則x=N＋Δ

因為N是標準量，其誤差很小，且Δ<<N，故:

(1)先用零位式測量方法進行比較測量，測得N；

(2)再選用高靈敏度的偏差式儀表測量Δ；

(3)雖然Δ的精度較低，但N是標準量，Δ<<x，故最終測量精度很高。微差式測量反應速度快，測量精度高，綜合了偏差式測量與零位式測量的優(yōu)點，但測量過程復雜，適于在線控制參數(shù)的測量。

4.靜態(tài)測量與動態(tài)測量

1)靜態(tài)測量靜態(tài)測量是指在測量過程中，對固定不變或變化緩慢的被測量進行的測量。靜態(tài)測量可不考慮時間因素的影響，只檢測穩(wěn)態(tài)值。

2)動態(tài)測量動態(tài)測量是指在測量過程中，對隨時間不斷變化的被測量進行的測量。動態(tài)測量時，被測量變化速度快，需檢測其動態(tài)值。

5.接觸測量與非接觸測量

1)接觸測量接觸測量是指傳感器和被測對象直接接觸而進行的測量。如水銀溫度計測溫、稱重等。

2)非接觸測量非接觸測量是指傳感器和被測對象不直接接觸而進行的測量。如紅外測溫、碼盤測速等。

6.主動式測量與被動式測量

1)主動式測量主動式測量是指測量系統(tǒng)向被測對象施加能量而進行的測量。

2)被動式測量被動式測量是指測量系統(tǒng)無需向被測對象施加能量而進行的測量。2.1.3測量誤差分類測量誤差是指測量值與真實值之間的差值，反映測量質量的好壞。任何測量過程都存在誤差，而且貫穿于測量過程的始終。因此在測量時不僅需要知道測量值，還需要知道測量值的誤差范圍。只有通過正確的誤差分析，明確哪些量對測量結果影響大，哪些影響小，才能抓住關鍵因素，減小誤差對測量結果的影響，增加測量的可靠性。

不同場合對測量結果可靠性的要求不同。測量結果的準確程度應與測量的目的及要求相適應，要有合理的性價比。例如，在量值傳遞、經(jīng)濟核算、產(chǎn)品檢驗等場合應保證測量結果的準確度；當測量值用做控制信號時，則要保證測量的穩(wěn)定性和可靠性。造成誤差的主要原因在于傳感器本身性能不良，測量方法不完善，存在環(huán)境干擾等。測量誤差的分類方法如圖2-1所示。圖2-1測量誤差的分類

1.按誤差表示方法分類

1)絕對誤差絕對誤差是示值與被測量真值之間的差值，可表示為Δ=x－L(2-7)式中：Δ為絕對誤差；x為測量值；L為被測量真值。絕對誤差用來修正測量結果x′，有x′=x+C(2-8)式中：C為修正值，C=－Δ。值得注意的是，絕對誤差不能真實反映測量結果的優(yōu)劣。

2)相對誤差相對誤差是指絕對誤差與被測量的約定值之比，主要表示形式有實際相對誤差、示值(標稱)相對誤差、引用誤差和分貝誤差。

(1)實際相對誤差：實際相對誤差是指絕對誤差與被測量真值的百分比，表示為

(2-9)式中：δ為實際相對誤差；Δ為絕對誤差；L為被測量真值。

(2)示值(標稱)相對誤差：示值(標稱)相對誤差是指絕對誤差與器具的示值(測量值)的百分比，表示為

(2-10)式中：δ′為示值相對誤差；Δ為絕對誤差；x

為測量值，用以代替真值。

(3)引用誤差:引用誤差是指絕對誤差與器具的滿度值(量程)的百分比，表示為

(2-11)式中：γ為引用誤差；Δ為絕對誤差；xm為滿度值。引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法，常用來確定儀表的精度等級。例如:0.5級儀表的引用誤差小于等于±0.5%；1.0級儀表的引用誤差小于等于±1%。

(4)分貝誤差:分貝誤差是指用對數(shù)形式表示的一種誤差。

3)基本誤差基本誤差是指儀表在規(guī)定的標準條件下所具有的誤差。通常，儀表規(guī)定的標準條件是:電源電壓為(220±5)V；電網(wǎng)頻率為(50±2)Hz；環(huán)境溫度為(20±5)℃；環(huán)境濕度為65%±5%。在該條件下儀表工作時所具有的誤差即為基本誤差。儀表精度等級由基本誤差決定。

4)附加誤差附加誤差是指當儀表的使用條件偏離額定條件時出現(xiàn)的誤差，例如溫度附加誤差等。

5)容許誤差容許誤差是指測量儀器在規(guī)定的使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。

2.按誤差性質分類

1)隨機誤差隨機誤差是指對同一被測量進行多次重復測量時，誤差的絕對值和符號不可預知地隨機變化，但總體上服從一定的統(tǒng)計規(guī)律的誤差。

誤差的大小是測量結果與在重復性條件下、對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差。重復性條件指同一觀測者、相同的測量條件、相同的儀器和短時間內的重復。隨機誤差表達式為

(2-12)式中：xi為被測量的某一個測量值；即。隨機誤差主要由一些難以控制的微小因素產(chǎn)生，如電場、磁場、溫度、濕度、氣壓的波動等。隨機誤差不能用簡單的修正值來修正，要用統(tǒng)計的方法計算它出現(xiàn)的可能性。

2)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在同一測量條件下，對同一被測量進行多次重復測量時，按照一定規(guī)律出現(xiàn)的誤差。系統(tǒng)誤差的大小是在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量真值之差，其表達式為

(2-13)式中:L為被測量的真值。系統(tǒng)誤差的主要特點是只要測量條件不變，誤差即為確定的值。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因包括標準量值不準、儀表刻度不準、測量方法不妥、零點未調、采用近似公式、經(jīng)驗不足等。系統(tǒng)誤差可用修正值來修正，但由于真值不確知，因此系統(tǒng)誤差只能有限度地補償。

3)粗大誤差粗大誤差是指明顯偏離測量結果的誤差，又稱為疏忽誤差。產(chǎn)生粗大誤差的主要原因是測量者疏忽大意以及環(huán)境條件突變等。含有粗大誤差的測量結果明顯不符合客觀事實，測量值中往往含有壞值或奇異值，因此在做誤差分析時，應先剔除粗大誤差。

例2-1

某電壓表的精度等級S為1.5級，試算出它在0～100V量程的最大絕對誤差。

解：電壓表的量程為xm=100V-0V=100V

因為精度等級S=1.5，即引用誤差為γ＝±1.5％故可求得最大絕對誤差為

Δm=γ×xm=100V×(±1.5％)=±1.5V即該電壓表在0～100V量程的最大絕對誤差是±1.5V。

例2-2

某1.0級電流表，滿度值xm=100μA，求測量值分別為x1=100μA，x2=80μA，x3=20μA時的絕對誤差和示值相對誤差。

解：因為精度等級S=1.0，即引用誤差為γ＝±1.0％所以可求得最大絕對誤差為

Δm=γ×xm=100μA×(±1.0％)=±1.0μA依據(jù)誤差的整量化原則，儀器在同一量程的各示值處的絕對誤差均等于Δm。故三個測量值處的絕對誤差分別為

Δx1=Δx2=Δx3=Δm=±1.0μA三個測量值處的示值(標稱)相對誤差分別為

分析：測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差不一定處處相等，但對使用者來講，在沒有修正值可以利用的情況下，只能按最壞的情況處理，于是就有了誤差的整量化處理原則。因此，為減小測量中的示值誤差，在進行量程選擇時應盡可能使示值接近滿度值，一般示值不小于滿度值的2/3。

例2-3

要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0～300℃和1.0級、測量范圍為0～100℃的兩種溫度計，試分析它們各自產(chǎn)生的示值誤差，問選用哪一個溫度計更合適？

解：(1)對于0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對值誤差為

按照誤差整量化原則，認為該量程內的絕對誤差為

所以示值相對誤差為

(2)對于1.0級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對值誤差為

按照誤差整量化原則，認為該量程內的絕對誤差為

所以示值相對誤差為

(3)結論：用1.0級小量程的溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差比選用0.5級的較大量程的溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差小，因此選用1.0級小量程的溫度計更合適。2.2測量數(shù)據(jù)的估計和處理2.2.1隨機誤差分析隨機誤差分析是指當多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機誤差及測量值服從統(tǒng)計學規(guī)律時，利用概率統(tǒng)計的一些基本結論，研究隨機誤差的表征及含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。隨機誤差處理的目的是:求出最接近真值的值，即真值的最佳估計；對數(shù)據(jù)精密度的高低(即可信賴的程度)進行評定并給出測量結果。

1.隨機誤差的正態(tài)分布曲線就單次測量而言，隨機誤差是偶然因素造成的，無規(guī)律可循，但當測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差總體服從統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差的概率分布有多種類型，如正態(tài)分布、均勻分布、t分布、反正弦分布、梯形分布和三角分布等。由于大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，因此用正態(tài)分布理論研究隨機誤差。對某一被測量進行多次重復測量，設測量值為xi，被測量真值為L，則測量列中的隨機誤差δi為δi=xi-Li=1，2，…，n

(2-14)當測量次數(shù)n足夠大時，測量誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。概率分布密度函數(shù)為

(2-15)

(2-16)式中：y為概率密度；x為測量值(隨機變量)；σ為均方根偏差(標準誤差)；L為真值(隨機變量x的數(shù)學期望)；δ為隨機誤差(隨機變量)，δ=x-L。正態(tài)分布曲線如圖2-2所示，是一條鐘形曲線?？梢姡S機變量在x=L或δ=0附近區(qū)域內具有最大概率。圖2-2正態(tài)分布曲線隨機誤差具有以下特征:

(1)單峰性:絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大于絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率。測量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。

(2)有界性:隨機誤差的絕對值不會超出一定界限。

(3)對稱性或抵償性:測量次數(shù)n足夠大時，絕對值相等、符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率相等。

2.隨機誤差的數(shù)字特征

1)算術平均值x在實際測量時，真值L不可能得到，但隨機誤差服從正態(tài)分布，算術平均值處隨機誤差的概率密度最大，即算術平均值與被測量的真值最接近，且測量次數(shù)越多就越接近。因此測量結果的算術平均值最可信賴，它可以作為等精度多次測量的結果，是被測量的最佳估計值。如果進行無限多次測量，由于隨機誤差的抵償性，隨機誤差對測量結果無影響，或其影響可以忽略。設對被測量進行等精度的n次測量，有n個測量值x1，x2，…，xn，則它們的算術平均值為

(2-17)算術平均值反映了隨機誤差的分布中心。由于真值不可知，代以算術平均值而求得的誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差，即

(2-18)

2)標準偏差σ標準偏差又稱標準誤差、均方根誤差或均方根偏差，簡稱標準差，可由下式求取:(2-19)式中：σ為標準偏差；xi為第i次測量值；L為真值；n為測量次數(shù)，n→∞。標準偏差反映了隨機誤差的分布范圍，描述測量數(shù)據(jù)和測量結果的精度。均方根偏差愈大，測量數(shù)據(jù)的分散性也愈大。圖2-3所示為不同σ下隨機誤差的正態(tài)分布曲線?？梢?，σ愈小，分布曲線愈陡峭，說明隨機變量的分散性愈小，測量精度愈高；反之，σ愈大，分布曲線愈平坦，隨機變量的分散性愈大，精度也愈低。圖2-3不同σ下隨機誤差的正態(tài)分布曲線

3)標準偏差的估計值σs

標準偏差的估計值σs是指用殘余誤差計算的均方根偏差。在實際測量中，因為測量次數(shù)是有限次，因此，用算術平均值代替真值，用標準差的估計值表征有限次的測量值(隨機誤差)的分散性。標準偏差的估計值又稱為樣本標準差，用下式計算:(2-20)式中：xi為第i次測量值；為n次測量值的算術平均值；νi為殘余誤差，即νi=xi-。另外，在有限次測量時，算術平均值不可能等于被測量的真值L，它也是隨機變動的。設對被測量進行m組的多次測量，各組所得的算術平均值分別為，則算術平均值的可靠性由算術平均值的標準差來評定。它與標準偏差的估計值σs的關系如下:(2-21)

與n的關系曲線如圖2-4所示?？梢?，算術平均值的標準差隨測量次數(shù)n的增大而減小。但從圖2-4可看出，當n>10時，算術平均值的標準差隨測量次數(shù)n的增大而緩慢減小。因此，不能單靠增加測量次數(shù)來提高測量精度，實際上，測量次數(shù)越多，越難保證測量條件的穩(wěn)定，這會帶來新的誤差。圖2-4算術平均值的標準差與n的關系曲線

3.正態(tài)分布隨機誤差的概率計算符合正態(tài)分布的隨機變量，其概率為曲線所覆蓋的面積。

(1)全概率：全概率的計算公式為

(2-22)

(2)區(qū)間概率:在區(qū)間(a，b)上的概率為通常，區(qū)間表示成σ的倍數(shù)kσ。取對稱的區(qū)間(-kσ，+kσ)，則以殘差表示有

(2-23)式中：k為置信系數(shù)；Pa為置信概率，亦即區(qū)間概率；±kσ為誤差限。典型的k值及其相應的概率如表2-1所示。從表中可看出：當k=±1時，Pa=0.6827，測量結果中隨機誤差出現(xiàn)在-σ～+σ范圍內的概率為68.27%，即|ν|>σ的概率為31.73%；出現(xiàn)在-3σ～+3σ范圍內的概率是99.73%,說明誤差絕對值大于3σ?guī)缀醪豢赡?，通常該誤差稱為極限誤差，表示為σlim＝±3σ。于是，測量結果可表示為

(2-24)或

(2-25)

例2-4

有一組測量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，設這些測量值已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，求測量結果。

解：將測量值列于表2-2中。由表中的數(shù)據(jù)得則測量結果為x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)2.2.2系統(tǒng)誤差分析

1.系統(tǒng)誤差的判斷系統(tǒng)誤差判斷方法主要有理論分析法、實驗比較法、殘差觀察法以及準則檢測法。

1)理論分析法理論分析法針對測量方法、測量理論所引入的誤差，通過定性、定量分析來確定誤差。如用內阻不高的電壓表測量高內阻的電源電壓所造成的系統(tǒng)誤差。

2)實驗對比法實驗對比法針對測量條件所引入的誤差，通過進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。如更換測量儀表，用精度更高一級的測量儀表測量；更換測量人員、測量環(huán)境等。

3)殘差觀察法殘差觀察法是根據(jù)殘余誤差的變化規(guī)律，判斷系統(tǒng)誤差的有無、類型以及大小等，如圖2-5所示。圖2-5殘余誤差曲線從圖2-5可以看出:圖(a)中，殘余誤差基本上正負相同，無明顯的變化規(guī)律，“無系統(tǒng)誤差”；圖(b)中，殘余誤差線性遞增，存在累進性系統(tǒng)誤差；圖(c)中，殘余誤差的大小、符號呈周期性變化，存在周期性系統(tǒng)誤差；圖(d)中，殘余誤差周期性遞增，同時存在累進性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

4)準則檢測法

(1)馬利科夫判據(jù):將殘余誤差按測量次序均分為前后兩組，若前組和與后組和之差明顯不為零，則可能含有線性系統(tǒng)誤差。

(2)阿貝檢驗法:檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘余誤差按測量順序排列，且設

(2-26)(2-27)若

(2-28)則可能含有變化的系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差的消除

(1)消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源。找出誤差根源，明確產(chǎn)生誤差的因素，采取相應措施修正或消除?？蓮囊韵聨追矫婵紤]:①檢查傳感器和測量儀表的安裝、調試、放置是否合理，如儀表是否在水平位置、安裝時是否偏心等；②測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電壓表的內阻的影響等；③傳感器或儀表是否準確可靠，如靈敏度不足、刻度不準、放大器與變換器的性能存在優(yōu)劣等；④環(huán)境條件是否符合要求，如環(huán)境溫度、濕度、氣壓等的變化會引起誤差等；⑤測量者的操作是否正確，如讀數(shù)時的視差、視力疲勞等會引起系統(tǒng)誤差等。

(2)在測量結果中進行修正。①恒值系統(tǒng)誤差，可用修正值對測量結果進行修正；②變值系統(tǒng)誤差，可找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對測量結果進行修正；③未知系統(tǒng)誤差，可按隨機誤差進行處理。

(3)在測量系統(tǒng)中采用補償措施。找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律，在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。如用熱電偶測溫時，采用冷端補償法，進行自動補償；用熱電阻測溫時，對環(huán)境溫度進行實時反饋修正。2.2.3粗大誤差剔除數(shù)據(jù)處理之前，應首先依照一定的準則，剔除粗大誤差。常用的準則有3σ準則、肖維勒準則以及格拉布斯準則。

1.

3σ準則

3σ準則又稱萊以達準則，當某個測量值的殘差的絕對值|νi|>3σ(極限誤差)時，則剔除。

2.肖維勒準則當某個測量值的殘差的絕對值|νi|>Zcσ時，則剔除。實用中Zc<3，Zc的取值如表2-3所示。

3.格拉布斯準則當某測量值的殘差的絕對值|νi|＞Gσ時，則剔除。G值與測量次數(shù)n和置信概率Pa有關，如表2-4所示。注意:以上準則以數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布為前提，當偏離正態(tài)分布或測量次數(shù)很少時，判斷的可靠性就降低。重要的是提高工作人員的技術水平和責任心，保證測量條件穩(wěn)定，防止環(huán)境條件發(fā)生劇變。

例2-5

對某一電壓進行12次等精度測量，測量值如表2-5所示，若這些測量值已消除系統(tǒng)誤差，試判斷有無粗大誤差，并寫出測量結果。

解：(1)求算術平均值及標準差估計值:

(2)判斷有無粗大誤差:因測量次數(shù)不多，采用格拉布斯準則。測量次數(shù)n＝12，取置信概率Pa＝0.95，查表2-4，可得系數(shù)G＝2.28，則G·σs=2.28×0.032=0.073<|ν6|故剔除U6。

(3)剔除粗大誤差后的算術平均值及標準差估計值如下:重新判斷粗大誤差：測量次數(shù)n＝11，取置信概率Pa＝0.95，查表2-4，可得系數(shù)G＝2.23,則G·σs=2.23×0.0145=0.032大于所有|νi2|，故無粗大誤差。

(4)計算算術平均值的標準差:

(5)測量結果如下：2.3不等精度測量的權與誤差以及誤差的合成與分配2.3.1不等精度測量的權與誤差

1.權的概念一被測量的m組測量結果及其誤差不能同等看待，各組具有不同的可靠性，即可信賴程度，這種可信賴程度的大小稱為“權”。測量次數(shù)多，測量方法完善，測量儀表精度高，測量的環(huán)境條件好，測量人員的水平高，則測量結果可靠，其權也大。權用符號p表示，有兩種計算方法:

(1)用各組測量列的測量次數(shù)n的比值表示，并取測量次數(shù)較小的測量列的權為1，則有p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm(2-29)

(2)用各組測量列的誤差平方的倒數(shù)的比值表示，并取誤差較大的測量列的權為1，則有

(2-30)權只表示相對可靠度，無量綱，故實際計算時，通常令最小的權數(shù)為1，以化簡。

2.加權算術平均值對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量列的算術平均值為，相應各組的權分別為p1，p2，…，pm，則加權平均值可用下式表示:(2-31)

3.加權算術平均值的標準誤差加權算術平均值可作為不等精度測量結果的最佳估計，此時其精度也由加權算術平均值的標準差來表示:(2-32)式中，。

例2-6

用三種不同的方法測量某電感量，三種方法測得各平均值與標準差為求電感的加權算術平均值及其加權算術平均值的標準差。

解:

令p3=1，則加權算術平均值為加權算術平均值的標準差為2.3.2誤差的合成與分配

1.測量誤差的合成

1)系統(tǒng)誤差的合成設系統(tǒng)總輸出與各環(huán)節(jié)之間的函數(shù)關系為y=f(x1，x2，…，xn)，各環(huán)節(jié)定值系統(tǒng)誤差分別為Δx1，Δx2，…，Δxn。系統(tǒng)誤差一般均很小，其誤差可用微分來表示，故其合成表達式為

(2-33)實際計算誤差時，式(2-33)中的微分項以各環(huán)節(jié)的定值系統(tǒng)誤差Δx1，Δx2，…，Δxn代替，即

(2-34)

2)隨機誤差的合成設測量系統(tǒng)或傳感器的n個環(huán)節(jié)的均方根偏差為，則隨機誤差的合成為

(2-35)

若有線性函數(shù)y=f(x1，x2，…，xn)，即y=a1x1+a2x2+…+anxn，則

(2-36)如果a1=a2=…=an=1，則

(2-37)

3)總合成誤差設測量系統(tǒng)或傳感器的系統(tǒng)誤差和隨機誤差均相互獨立，則總的合成誤差ε可表示為ε=Δy+σy(2-38)

例2-7

用手動平衡電橋測量電阻R

x(如圖2-6所示)。已知R1=100Ω，R2=1000Ω，RN=100Ω,各橋臂電阻的恒值系統(tǒng)誤差為ΔR1=0.1Ω，ΔR2=0.5Ω，ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系統(tǒng)誤差后的Rx值。圖2-6測量電阻Rx的平衡電橋原理圖解：被測電阻Rx變化時，調節(jié)可變電阻，使電橋平衡，即使檢流計顯示的電流為0。于是有R1·RN＝R2·Rx即

當不考慮系統(tǒng)誤差時，有已知R1、R2、RN存在系統(tǒng)誤差，則Rx也將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，按照誤差合成理論，利用式(2-34)可得消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影響后，即修正后的電阻Rx為Rx＝Rx0-ΔRx＝10-0.015＝9.985Ω

2.測量誤差的分配總誤差確定后，求各環(huán)節(jié)的誤差，以使總誤差值不超過規(guī)定值，稱為誤差分配。

1)等準確度分配按等準確度分配誤差時，認為各環(huán)節(jié)的誤差彼此相同，即系統(tǒng)誤差：

Δx1=Δx2=…=Δxn隨機誤差：則分配后各環(huán)節(jié)的誤差為

(2-39)(2-40)

2)等作用分配等作用分配指分配給各環(huán)節(jié)的誤差對總誤差的影響相同，即系統(tǒng)誤差：隨機誤差：

則分配后各環(huán)節(jié)的誤差為

(2-41)(2-42)

進行誤差分配時應注意抓住主要誤差項進行分配，對影響較小的誤差項可不予考慮或酌情考慮。2.4最小二乘法與線性回歸分析2.4.1最小二乘法最小二乘法是一種數(shù)據(jù)處理手段，其原理是:為獲得最可信賴的測量結果，使各測量值的殘余誤差平方和為最小。在組合測量的數(shù)據(jù)處理、實驗曲線擬合等方面，應用廣泛。

1.最小二乘法的線性函數(shù)通式設被測量為X1，X2，…，Xm，直接測量值為Y1，Y2，…，Yn，其相應的函數(shù)關系為

(2-43)若x1，x2，…，xm是待求量X1，X2，…，Xm的最佳估計值，則相應的估計值亦有下列函數(shù)關系:(2-44)設帶有誤差的實際直接測量值為l1，l2，…，ln，則相應的誤差方程為

(2-45)按最小二乘法原理，要獲取最可信賴的結果x1，x2，…，xm，上述方程組的殘差平方和應最小，即為最小。根據(jù)求極值條件，有

(2-46)整理后可寫成

(2-47)式(2-47)為等精度測量的線性函數(shù)最小二乘估計的正規(guī)方程。由此可求出被測量x1，x2，…，xm的估計值。式中,

2.最小二乘法的矩陣表示誤差方程式(2-45)的矩陣表示為

(2-48)式中，系數(shù)矩陣為被測量估計值矩陣為直接測量值矩陣為

殘余誤差矩陣為