2.7函數(shù)的圖像必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.利用描點法作函數(shù)圖像的流程2.函數(shù)圖像間的變換(1)平移變換對于平移,往往簡單出錯,在實際推斷中可熟記口訣:左加右減,上加下減.(2)對稱變換(3)伸縮變換y=f(x)y=f(ax),y=f(x)y=Af(x).1.函數(shù)圖像自身的軸對稱(1)f(-x)=f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x=a對稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(-x)=f(2a+x);(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且有f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b2.函數(shù)圖像自身的中心對稱(1)f(-x)=-f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱;(2)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x);(3)函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,b)成中心對稱?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且滿意條件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c為常數(shù)),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點a+b3.兩個函數(shù)圖像之間的對稱關(guān)系(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=b-a2對稱((2)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱;(3)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(-x)的圖像關(guān)于點(0,b)對稱;(4)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱.考點自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)將函數(shù)y=f(x)的圖像先向左平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度得到函數(shù)y=f(x+1)+1的圖像.()(2)當x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖像相同.()(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)的圖像關(guān)于原點對稱.()(4)若函數(shù)y=f(x)滿意f(1+x)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱.()(5)若函數(shù)y=f(x)滿意f(x-1)=f(x+1),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱.()2.(2024山東師大附中月考)函數(shù)y=log2|x|的圖像大致是()3.(2024天津,3)函數(shù)y=4xx24.(2024浙江,4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖像可能是()5.已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)關(guān)鍵實力學(xué)案突破考點作函數(shù)的圖像【例1】作出下列函數(shù)的圖像:(1)y=|lgx|;(2)y=2x+2;(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=x+2解題心得作函數(shù)圖像的一般方法(1)干脆法.當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟識的基本初等函數(shù)時,就可依據(jù)這些函數(shù)的特征干脆作出.(2)圖像變換法.變換包括平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換.(3)描點法.當上面兩種方法都失效時,則可采納描點法.為了通過描少量點,就能得到比較精確的圖像,經(jīng)常須要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)作出.對點訓(xùn)練1作出下列函數(shù)的圖像:(1)y=10|lgx|;(2)y=|x-2|·(x+1);(3)y=x+2考點函數(shù)圖像的識辨(多考向探究)考向1知式判圖【例2】(2024山東濰坊一模,5)函數(shù)f(x)=x-sinxex+e-考向2知圖判式【例3】(2024河北滄州一模,理5)已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則f(x)可以為()A.f(x)=x3B.f(x)=eC.f(x)=2x-xD.f(x)=e考向3知圖判圖【例4】已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則y=-f(2-x)的圖像為()解題心得函數(shù)圖像辨識的入手方面(1)從函數(shù)的定義域推斷圖像“左右”的位置;從函數(shù)的值域推斷圖像的“上下”位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性推斷圖像的改變趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性推斷圖像的對稱性.(4)從函數(shù)的周期性推斷圖像的循環(huán)往復(fù).(5)必要時可求導(dǎo)探討函數(shù)性質(zhì),從函數(shù)的特征點,解除不合要求的圖像.利用上述方法,可解除、篩選錯誤與正確的選項.對點訓(xùn)練2(1)(2024全國1,理5)函數(shù)f(x)=sinx+xcosx+x2(2)(2024山東青島5月模擬,4)下列函數(shù)的解析式(其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))與所給圖像最符合的是()A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)C.y=tan(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)(3)已知函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)的圖像,則函數(shù)y=f(x)·g(x)的部分圖像可能是()考點函數(shù)圖像的應(yīng)用(多考向探究)考向1與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍【例5】(2024全國1,理9)已知函數(shù)f(x)=eg(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是()A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)解題心得將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根,構(gòu)造方程兩邊的函數(shù),通過函數(shù)圖像的交點個數(shù)滿意已知函數(shù)零點個數(shù),求出參數(shù)的取值范圍.對點訓(xùn)練3已知f(x)=12|x|,x≤1,-x2A.-∞,12∪[1,2) B.C.(1,2) D.[1,2)考向2已知函數(shù)不等式求參數(shù)的范圍【例6】(2024湖南永州二模,理9)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2-|x+2|.若對隨意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,2) B.(0,2)∪(-∞,-6)C.(-2,0) D.(-2,0)∪(6,+∞)解題心得有關(guān)函數(shù)不等式的問題,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系來解.對點訓(xùn)練4(2024全國2,理12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,滿意f(x+1)=2f(x),且當x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1).若對隨意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,則m的取值范圍是(A.-∞,94 B.-∞,73C.-∞,52 D.-∞,83考點函數(shù)圖像對稱性的應(yīng)用【例7】已知定義域在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x+1)+f(1-x)=2.當x>1時,f(x)=1x-1.則關(guān)于x的方程f(x)+2a=0沒有負實數(shù)根時,實數(shù)aA.(-∞,-1]∪-12,+∞B.(0,1)C.-1,-12∪-12,+∞D(zhuǎn).-2,-12∪-12,0解題心得由f(-x)=-f(x)?y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱,f(-x)=-f(x)?f(0-x)=-f(0+x),當把0換成a時,則有f(a-x)=-f(a+x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱,推廣可得f(a+x)=2b-f(a-x)?函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱.對點訓(xùn)練5(2024北京海淀一模,7)已知函數(shù)f(x)=|x-m|與函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.若g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)遞減,則m的取值范圍為()A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]1.作圖的方法有:(1)干脆法,利用基本初等函數(shù)作圖;(2)圖像變換法,如平移變換、對稱變換、伸縮變換等;(3)描點法,為使圖像精確,可通過探討函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性等了解圖像的大體形態(tài).2.識圖題與用圖題的解決方法:(1)識圖:對于給定函數(shù)的圖像,要從圖像的左右、上下分布范圍、改變趨勢、對稱性等方面探討函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性,留意圖像與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(2)用圖:要用函數(shù)的思想指導(dǎo)解題,即方程、不等式的問題用函數(shù)圖像來解.1.確定函數(shù)的圖像,肯定要從函數(shù)的定義域及性質(zhì)動身.2.識圖問題經(jīng)常結(jié)合函數(shù)的某一性質(zhì)或特別點進行解除.3.要留意一個函數(shù)的圖像自身對稱和兩個不同的函數(shù)圖像對稱的區(qū)分.2.7函數(shù)的圖像必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理2.(1)y=f(x)-k(2)函數(shù)y=-f(-x)的圖像考點自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.C函數(shù)y=log2|x|為偶函數(shù),作出x>0時y=log2x的圖像,圖像關(guān)于y軸對稱,故選C.3.A∵函數(shù)y=4xx2+1為奇函數(shù),∴解除選項C,D.再把x=1代入得y=42=2>0,4.A因為f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-(xcosx+sinx)=-f(x),x∈[-π,π],所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故解除C,D,當x∈0,π2時,xcosx+sinx>0,所以解除B5.D因為f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等價于2x>x+1,在同始終角坐標系中作出y=2x和y=x+1的圖像.如圖,兩函數(shù)圖像的交點坐標為(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解為x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).故選D.關(guān)鍵實力·學(xué)案突破例1解(1)y=lgx,(2)y=2x+2的圖像是將y=2x的圖像向左平移2個單位長度.其圖像如圖2.(3)y=x2-(4)因為y=1+3x-1,先作出即得y=x+2x對點訓(xùn)練1解(1)當x≥1時,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;當0<x<1時,lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=10lg故y=x圖1這是分段函數(shù),每段函數(shù)的圖像可依據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)圖像作出,如圖1.(2)當x≥2,即x-2≥0時,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=x-當x<2,即x-2<0時,y=-(x-2)·(x+1)=-x2+x+2=-x-所以y=x圖2這是分段函數(shù),每段函數(shù)的圖像可依據(jù)二次函數(shù)的圖像作出,如圖2.(3)y=x+2x+3=1-1x+3圖3例2A當x∈(0,π)時,x>sinx,此時f(x)=x-sinxex例3A首先對4個選項進行奇偶性推斷,可知f(x)=ex-e-xx為偶函數(shù),不符合題意,解除選項B;其次對其在(0,+∞)上的零點個數(shù)進行推斷,f(x)=e|x|x在(0,+∞)上無零點,不符合題意,解除選項D;然后進行單調(diào)性推斷,f(x)=例4By=f(x)y=f(-x)y=f(2-x)y=-f(2-x).故選B.對點訓(xùn)練2(1)D(2)D(3)A(1)由f(-x)=-f(x)及區(qū)間[-π,π]關(guān)于原點對稱,得f(x)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點對稱,解除選項A.又fπ2=1+π2π22=4+2ππ2>(2)當x=0時,y=sin(e0+e0)=sin2>0,故解除選項A;y=sin(e0-e0)=0,故解除選項B;y=tan(e0-e0)=0,故解除選項C;y=cos(e0+e0)=cos2<0,符合題意.故選D.(3)由已知圖像可知,函數(shù)f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)·g(x)是奇函數(shù),故解除選項B;當x∈-π,-π2時,f(x)·g(x)<0,當x∈-π2,0時,f(x)·g(x)>0,同時y=f(x)·g(x)在x=0處無定義,故選A.例5C要使得方程g(x)=f(x)+x+a有兩個零點,等價于方程f(x)=-x-a有兩個不同的實根,即函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=-x-a的圖像有兩個交點,從圖像可知,必需使得直線y=-x-a位于直線y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故選C.對點訓(xùn)練3B關(guān)于x的方程a=f(x)恰有兩個不同的實根,等價于y=a,y=f(x)的圖像有兩個不同的交點,畫出y=a,y=f(x)的圖像,如圖,由圖可知,當a∈0,12∪[1,2)時,y=a,y=f(x)的圖像有兩個不同的交點,此時,關(guān)于x的方程a=f(x)恰有兩個不同的實根,所以實數(shù)a的取值范圍是0例6D因為x<0時,f(x)=2-|x+2|,又因為f(x)是R上的奇函數(shù),作出函數(shù)f(x)的圖像如下圖,y=f(x+a)的圖像可以看成是y=f(x)的圖像向左(a>0時)或向右(a<0時)平移|a|個單位長度而得.當a>0時,y=f(x)的圖像至少向左平移6個單位長度(不含6個單位長度)才能滿意f(x+a)>f(x)成立,當a<0時,y=f(x)的圖像向右平移至多2個單位長度(不含2個單位長度)才能滿意f(x+a)>f(x)成立(對隨意的x∈[-1,2]),故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故選D.對點訓(xùn)練4B∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1).∵當x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1),∴f(x)的圖像如圖所示.∵當2<x≤3時,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=即(3x-7)(3x-8)=0,解得x1