計(jì)算積分,其中原點(diǎn)到的直線段.解設(shè)直線段的方程為,則.故計(jì)算積分,其中積分路徑為從點(diǎn)O到的直線段沿拋物線,從點(diǎn)O到的弧段解(1)設(shè).(2)設(shè).計(jì)算積分,其中積分路徑為從點(diǎn)到的直線段沿單位圓的左半圓周,從從點(diǎn)到(3)沿單位圓的右半圓周,從從點(diǎn)到解(1)設(shè).(2)設(shè).從到(3)設(shè).從到6.計(jì)算積分,其中為.解∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析∴從而故7.計(jì)算積分,其中積分路徑為（1）（2）（3）（4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個(gè)奇點(diǎn).（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個(gè)奇點(diǎn).故（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn),故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn),故10.利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算下列積分.(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.計(jì)算積分,其中為(1)(2)(3)解(1)(2)(3)16.求下列積分,其中積分路徑為(1)(2)(3)解(1)(2)17.計(jì)算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(1)內(nèi)包含了奇點(diǎn)∴(2)內(nèi)包含了奇點(diǎn),∴19.驗(yàn)證下列函數(shù)是否為題調(diào)和函數(shù)(1)(2)解(1)設(shè),∴從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2)設(shè),∴從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明:∴,從而是調(diào)和函數(shù).∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵∴不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)(1)(2)解(1)因?yàn)樗粤顈=0,上式變?yōu)閺亩?2)用線積分法取為,有由C=023.證明其中各不相同，閉路C不通過(guò),證明積分等于位于閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).證明:不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k,其零點(diǎn)分別為24.試證明下述定理：設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)