布朗運(yùn)動(dòng)及其定義布朗運(yùn)動(dòng)的一些性質(zhì)主要內(nèi)容與布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)的隨機(jī)過程本章作業(yè)：1、2、3、6、8布朗運(yùn)動(dòng)1905

Einstein布朗運(yùn)動(dòng)及其推廣在經(jīng)濟(jì)、工程、管理及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。自然現(xiàn)象物理解釋

數(shù)學(xué)定義Brown

Wiener1918年以后1827年定義2.2.7稱實(shí)隨機(jī)過程W={Wt，t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),如果具有獨(dú)立增量性．結(jié)論：

獨(dú)立增量過程的有限維分布函數(shù)由其一維分布函數(shù)和增量分布函數(shù)確定．

問題：計(jì)算布朗運(yùn)動(dòng)的有限維分布？證明n維隨機(jī)變量的的特征函數(shù)為令則①代入①式由題意知Y1,Y2,…,Yn獨(dú)立證畢例2.3.5(1)

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的有限維特征函數(shù)提示：利用過程的獨(dú)立增量性解n維隨機(jī)變量的的特征函數(shù)為令例2.3.2試計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的一、二維分布函數(shù)補(bǔ)例1設(shè)W={Wt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).驗(yàn)證W是一個(gè)正態(tài)過程.證明由定義，對(duì)任意的n≥1,及任意的相互獨(dú)立且所以是n維正態(tài)變量.又由于所以是n維正態(tài)變量.所以W是正態(tài)過程.證2.

提示設(shè)

W={Wt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).則證明由定義易知有數(shù)字特征對(duì)s,t

≥0,不妨設(shè)s≤t,則獨(dú)立性設(shè)W=

{Wt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則W具有對(duì)稱性即-W=

{-Wt,t≥0}也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)自相似性即對(duì)任意常數(shù)a>0固定的t>0，有Wata1/2Wt時(shí)間逆轉(zhuǎn)性即對(duì)固定的T>0，定義:Bt=WT–WT-t0≤t≤T則B={Bt0≤t≤T}也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).(稱為W的時(shí)間逆轉(zhuǎn)過程).布朗運(yùn)動(dòng){Wt,t≥0}的軌道是連續(xù)的事實(shí)上，利用布朗運(yùn)動(dòng)定義中的（2）（3）兩條件，可以驗(yàn)證布朗運(yùn)動(dòng)滿足隨機(jī)過程的柯爾莫哥洛夫（軌道）連續(xù)性判斷準(zhǔn)