空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系與向量的概念一、空間直角坐標(biāo)系二、向量的概念及其線性運(yùn)算三、向量的坐標(biāo)表示

一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)面:在空間直角坐標(biāo)系中,每兩軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面,簡稱坐標(biāo)面.面面面

在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與三元數(shù)組之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.各卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)情況:2.兩點(diǎn)間的距離例1

已知兩點(diǎn)與,在軸上求一點(diǎn),

使解因?yàn)樵谳S上,所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題設(shè),得解得所求點(diǎn)為

二、向量的概念及其線性運(yùn)算1.向量的概念向量的模:向量的大小(有向線段的長度),

記作,,

單位向量:模為1的向量零向量:模為0的向量,記為0

或向量的表示:或或2.向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法baa+baba+babcda+b+c+d向量的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律:（1）

（2）（3）（4）(2)數(shù)與向量的乘積(數(shù)乘向量)定義2

設(shè)是一個(gè)非零向量,是一個(gè)非零實(shí)數(shù),則與的乘積仍是一個(gè)向量,記作,且①②數(shù)與向量的乘積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:（1）

（2）

（3）

（4）

三、向量的坐標(biāo)表示1.向徑及其坐標(biāo)表示

向徑:在空間直角坐標(biāo)系中,起點(diǎn)在原點(diǎn),終點(diǎn)為的向量稱為點(diǎn)的向徑.記為或基本單位向量:稱上式為向量的坐標(biāo)表達(dá)式,記作2.向量的坐標(biāo)表示式3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式4.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例2

設(shè),求的方向余弦.解

例3

設(shè)向量的兩個(gè)方向余弦為

,又,求向量的坐標(biāo).解由得所以即或第二節(jié)向量的數(shù)量積與向量積

一、向量的數(shù)量積

二、向量的向量積1.數(shù)量積的概念

一、向量的數(shù)量積

定義1

兩向量的模及其夾角余弦的乘積，稱為向量的數(shù)量積,記為

,即說明:(1)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量而不是向量；(3)(2)兩非零向量

夾角的余弦(4)設(shè)

為兩個(gè)非零向量,由定義1,有

數(shù)量積滿足如下運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律：

(2)結(jié)合律：

(其中為常數(shù))

(3)分配律：

另外,由(2)(3)可得2.數(shù)量積的坐標(biāo)表示式

３.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式

設(shè)均為非零向量,由兩向量的數(shù)量積定義可知解

例1

已知

求例2

設(shè)力

作用在一質(zhì)點(diǎn)上,質(zhì)點(diǎn)由沿直線移動(dòng)到

.求:(1)力所作的功;(2)力

與位移的夾角(力的單位為,位移的單位為

).解因?yàn)?/p>

又因?yàn)?/p>

所以

所以,力

所作的功(J)例3

求在坐標(biāo)面上與向量垂直的單位向量

解設(shè)所求向量為,因?yàn)樗谧鴺?biāo)面上,所以,又因?yàn)?/p>

是單位向量且與

垂直,所以即解之得

故所求向量或

1.向量積的概念

二、向量的向量積

定義2兩向量的向量積定義為記作;其中

是同時(shí)垂直于

和的單位向量,其方向按從

到的右手規(guī)則確定.說明:(1)兩向量的向量積是一個(gè)向量而不是數(shù);(4)(2)

的模等于以

為鄰邊的平行四邊形的面積(3)設(shè)

為兩個(gè)非零向量,則a∥b向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:

(1)反交換律：

(2)結(jié)合律:

(其中為常數(shù))

(3)分配律:

2.向量積的坐標(biāo)表示式

a∥對(duì)于兩個(gè)非零向量解

例4設(shè)求

例5

求垂直于和的單位向量.

解因?yàn)橥瑫r(shí)垂直和,所以

==例6

已知三角形的頂點(diǎn)是

求三角形的面積.解根據(jù)向量積的定義,可知三角形的面積第三節(jié)平面與直線一、平面的方程二、直線的方程三、平面、直線的位置關(guān)系

1．平面的點(diǎn)法式方程法向量

因?yàn)?/p>

所以有

該方程稱為平面的點(diǎn)法式方程

一、平面的方程解由平面方程的點(diǎn)法式得所求平面方程為例1

求過點(diǎn)

且垂直于向量的平面方程即且和平面

例2

求過點(diǎn)

垂直的平面方程．

解因?yàn)樵谠撈矫嫔?已知平面的法向量故

所求平面的法向量與向量和都垂直即

由公式得該平面的方程為例3

求過點(diǎn)和三點(diǎn)的平面方程

故

解所求平面的法向量與向量和都垂直，而由公式得該平面方程為

即從平面的點(diǎn)法式方程得令該方程稱為平面的一般式方程.則———

①2．平面的一般式方程①—②得它表示過點(diǎn)且以為法向量的平面

可見，任一三元一次方程①（不全為零）都表示一個(gè)平面.系數(shù)為平面法向量的坐標(biāo)設(shè)是其任一組解，即———

②平面通過原點(diǎn)(圖9.16)

圖9.16(2)當(dāng)時(shí)，

圖9.17

方程 的特殊情況:(1)當(dāng)時(shí)，

該平面平行于軸（圖9.17）

圖9.18(3)當(dāng)時(shí),

表示的平面通過軸(圖9.18)

同理,方程

分別表示平行于軸和軸的平面;

分別表示通過

軸和

軸的平面.(4)當(dāng)

時(shí)，圖9.19當(dāng)時(shí),該平面平行于坐標(biāo)面(圖9.19)

它表示坐標(biāo)面

同理，方程和分別表示平行面和面的平面;方程和分別表示面和面.方程為

代入原方程并化簡,得所求平面方程為例4

求通過軸和點(diǎn)的平面方程.解因平面通過

軸,由以上討論,可設(shè)其方程為

又點(diǎn)在平面上,因此即解設(shè)所求平面方程為例5

一平面經(jīng)過三點(diǎn)，求此平面的方程.又因

三點(diǎn)都在平面上,所以有

后兩個(gè)方程分別減去第一個(gè)方程,得所以

代入第一個(gè)方程得即因?yàn)?/p>

不能同時(shí)為零,所以

,于是有即得所求平面方程為3．平面的截距式方程

解此方程組得

設(shè)一平面過三點(diǎn)(圖9.20),求此平面方程．圖9.20

設(shè)平面方程為，因?yàn)?/p>

三點(diǎn)在該平面上,所以有

即得所求平面方程為

此方程稱為平面的截距式方程,其中

分別稱為平面在

軸、

軸、

軸上的截距.

代入所設(shè)方程(因平面不過原點(diǎn),)得解方程兩邊同除以5,得平面的截距式方程為其中

例6

將平面化為截距式方程．

得

由1．直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程方向向量:向向量為,它的一個(gè)方

已知直線L上任意一點(diǎn)求直線L的方程（圖9.21）．圖9.21

二、直線的方程所以由兩向量平行的充要條件可知

此方程組稱為直線的點(diǎn)向式方程（或稱標(biāo)準(zhǔn)方程）

設(shè)點(diǎn)

為直線L上任意一點(diǎn)則點(diǎn)在直線上的充要條件是∥因?yàn)樽ⅲ寒?dāng)中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，就理解為相應(yīng)的分子也為零．

記其比值為t,則有此式稱為直線L的參數(shù)方程，t為參數(shù)．例7

求過點(diǎn)的直線方程．方向向量

故所求直線的方程為

上式也稱為直線的兩點(diǎn)式方程．

解解因所求直線平行于兩平面.故直線的方向向量s垂直于兩平面的法向量及例8

求過點(diǎn)且平行于兩平面及

的直線方程.所以取因此,所求直線方程為即

2．直線的一般方程

設(shè)平面的方程分別為：

則兩個(gè)平面的交線L的方程為

此方程稱直線的一般方程．例10

將直線方程

化為點(diǎn)向式方程及參數(shù)方程．

解先求直線上的一點(diǎn)不妨令,代入原方程組得

解得，即點(diǎn)在直線上再求該直線的一個(gè)方向向量,因?yàn)榉謩e垂直于平面及的法向量

所以可取所以直線的點(diǎn)向式方程為

令上式為,可得已知直線的參數(shù)方程為

三、平面、直線的位置關(guān)系1．平面與平面的位置關(guān)系

兩平面的夾角:兩平面法向量的夾角(通常取銳角).法向量

因此與的夾角的余弦為：

特別地

∥∥例11

求兩平面

的夾角．

兩平面的法向量分別為

所以兩平面的夾角的余弦為

所以兩平面夾角

解2．直線與直線的位置關(guān)系

兩直線的夾角:兩直線方向向量的夾角(取銳角).方向向量因此與的夾角的余弦為

∥∥例12

求直線

和直線

的夾角．的方向向量分別為解則兩直線與的夾角的余弦為

所以兩直線的夾角

3．直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的夾角:直線和它在平面上的投影直線的夾角

設(shè)直線與平面的垂直線的夾角為，與的夾角為,則.求直線與平面夾角．設(shè)直線的方向向量為

,平面的法向量為由兩向量夾角的余弦公式,有

∥

∥例13

已知直線和平面

求與的夾角．的方向向量為

解

與的垂線的夾角的余弦為因此，與的夾角

第四節(jié)曲面與空間曲線一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、幾種常見的二次曲面四、空間曲線

一、曲面方程的概念

定義:如果曲面上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程而不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程,則稱方程為曲面的方程,而稱曲面為此方程的圖形.圖9.23圖9.24例1

建立球心在點(diǎn),半徑為的球面方程.解設(shè)是球面上的任一點(diǎn),則而所以

這就是球心在點(diǎn),半徑為的球面方程.

當(dāng)時(shí),得球心在原點(diǎn),半徑為的球面方程為

柱面:直線沿定曲線平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線稱為柱面的母線.例2

建立母線平行于軸的柱面方程.圖9.26解設(shè)準(zhǔn)線是面上的一條曲線,

是柱面上的任意一點(diǎn).過點(diǎn)的母線與面的交點(diǎn)一定在準(zhǔn)線上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,不論點(diǎn)的豎坐標(biāo)取何值,它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都滿足方程

,因此所求柱面方程為

在空間直角坐標(biāo)系中,方程表示以面上的曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面.

類似地,方程表示以面上的曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面.

方程表示以面上的曲線為準(zhǔn)線,母線平行于軸的柱面.

用面和面去截曲面,其截痕為

它們都是雙曲線.

也表示單葉雙曲面,中心軸分別是軸、軸.

二、旋轉(zhuǎn)曲面

旋轉(zhuǎn)曲面:平面曲線繞同一平面上定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.圖9.31例3

建立面上一條曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樵谇€上,所以解設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn),過點(diǎn)作平面垂直于軸,交軸于點(diǎn)交曲線于點(diǎn)則所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為

同理,曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為例4

將坐標(biāo)面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周,試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.解將保持不變,換成得即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為圖9.32

由上時(shí)表示的曲面稱為圓錐面.點(diǎn)稱為圓錐的頂點(diǎn).

三、幾種常見的曲面

二次曲面:在空間直角坐標(biāo)系中,若是二次方程,則它的圖形稱為二次曲面.

截痕法:用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面,求得一系列的交線,對(duì)這些交線進(jìn)行分析從而把握曲面的輪廓特征,這種方法稱為截痕法.1.橢球面

用三個(gè)坐標(biāo)面分別去截橢球面,交線為:圖9.33這些交線都是橢圓.

用平行于面的平面截橢球面,交線為是平面上的橢圓.

用平行其它兩個(gè)坐標(biāo)面的平面去截橢球面,分析的結(jié)果類似.

2.單葉雙曲面

用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為

圖9.343.雙葉雙曲面

圖9.35用和面截曲面,所得截線分別為它們都是以軸為實(shí)軸,虛軸分別為軸和軸的雙曲線.

用平行于面的平面截曲面,得當(dāng)時(shí),其截痕是一橢圓;

當(dāng)時(shí),其截痕縮為一點(diǎn)和;當(dāng)時(shí),沒有圖形.也表示雙葉雙曲面.4.橢圓拋物面圖9.36

用和面截曲面,所得截線分別為它們都是開口向上的拋物線.

用平面截曲面,得當(dāng)時(shí),沒有圖形;當(dāng)時(shí),相交于一點(diǎn);當(dāng)時(shí),所得截線為

5.雙曲拋物面

用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為

它們分別表示兩條相交直線、開口向上的拋物線和開口向下的拋物線.圖9.37

用平行于和面