章末復習第二章圓錐曲線與方程學習目標XUEXIMUBIAO1.理解曲線方程的概念，掌握求曲線方程的常用方法.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應用，會用定義法求標準方程.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及其求法.4.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會利用幾何性質(zhì)解決相關問題.5.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關系問題的解決方法.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識梳理題型探究達標檢測1知識梳理PARTONE1.三種圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)

橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡或集合平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡標準方程y2＝2px(p>0)關系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2

圖形封閉圖形無限延展，有漸近線無限延展，沒有漸近線對稱性對稱中心為原點無對稱中心兩條對稱軸一條對稱軸頂點四個兩個一個離心率0<e<1e>1e＝1準線方程

決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小2.求圓錐曲線的標準方程(1)橢圓、雙曲線的標準方程(2)拋物線的標準方程求拋物線的標準方程時，先確定拋物線的方程類型，再由條件求出參數(shù)p的大小.當焦點位置不確定時，要分情況討論，也可將方程設為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出參數(shù)p的值.3.直線與圓錐曲線有關的問題(1)直線與圓錐曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有Δ>0?直線與圓錐曲線相交于兩點；Δ＝0?直線與圓錐曲線相切于一點；Δ<0?直線與圓錐曲線無交點.4.方法、規(guī)律歸納(1)直接法求動點的軌跡方程的一般步驟①建系——建立適當?shù)淖鴺讼担虎谠O點——設軌跡上的任一點P(x，y)；③列式——列出動點P所滿足的關系式；④代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關于x，y的方程式，并化簡；⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．(2)代入(相關點、轉(zhuǎn)移)法求曲線方程時一般有兩個動點，一個是主動的，另一個是次動的．當題目中的條件同時具有以下特征時，一般可以用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程：①一個動點P(x，y)在已知方程的曲線上移動；②另一個動點隨P(x，y)的變化而變化；③變化過程中P(x，y)滿足一定的規(guī)律．(3)參數(shù)法：求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點(含參數(shù))的坐標，再消去參數(shù)求出所求軌跡方程，該法要注意以下問題：參數(shù)的選取要具有代表性，參數(shù)方程是動點的軌跡方程，在化簡參數(shù)方程為普通方程的時候不能改變方程的解集．(4)求圓錐曲線的標準方程，主要利用定義法及待定系數(shù)法．1.設A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|－|PB|＝k，則動點P的軌跡為雙曲線.(

)2.方程2x2－5x＋2＝0的兩根x1，x2(x1＜x2)可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.(

)3.已知方程mx2＋ny2＝1，則當m＞n時，該方程表示焦點在x軸上的橢圓.(

)4.拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點坐標是

.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×√2題型探究PARTTWO題型一圓錐曲線定義的應用例1

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為

.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為___________.由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，反思感悟(1)涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形問題，常用定義來解決；(2)涉及焦點、準線、離心率，圓錐曲線上的點中的三者，常用定義解決問題；(3)求軌跡問題，最值問題，曲線方程也常常結(jié)合定義求解.解析如圖，設點B為橢圓的左焦點，點M(2,1)在橢圓內(nèi)，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，題型二圓錐曲線的性質(zhì)√解析設M(－c，y0)，√解析若已知方程表示雙曲線，則(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又4＝4m2，所以m2＝1，所以－1＜n＜3.反思感悟常見具體類型(1)已知基本量求離心率e或求離心率e的取值范圍；(2)已知圓錐曲線的方程求參數(shù)的取值范圍；(3)已知曲線的某些性質(zhì)求曲線方程或求曲線的其他性質(zhì).又∠BFC＝90°，化簡可得2a2＝3c2，題型三直線與圓錐曲線例3

已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上，右焦點到直線x－y＋＝0的距離為3.(1)求橢圓的方程；解得a2＝3，(2)設橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點M，N，當|AM|＝|AN|時，求m的取值范圍.解設點P為弦MN的中點，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直線與橢圓有兩個交點，所以Δ>0，即m2<3k2＋1，

①又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，即2m＝3k2＋1，

②把②代入①得2m>m2，解得0<m<2，反思感悟直線與圓錐曲線的綜合問題，主要包括直線與圓錐曲線位置關系的判斷問題、弦長問題、面積問題等，求解這類問題時，通常采用代數(shù)方法，將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去其中一個未知量，通過討論所得方程的根的情況來確定位置關系，同時，還經(jīng)常利用根與系數(shù)的關系，采取“設而不求”的辦法求解弦長問題、面積問題.(1)求橢圓的方程；解由橢圓定義得2a＝4，a＝2，解得k＝－1，則(*)式變?yōu)?x2－4mx＋2m2－4＝0，解設A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0. (*)例4

(1)已知P為拋物線y＝

x2上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標是(2,0)，則|PA|＋|PM|的最小值是_______.(2)若拋物線x2＝2y上距離點A(0，a)的最近點恰好是拋物線的頂點，則a的取值范圍是A.a>0 B.0<a≤1C.a≤1 D.a≤0題型四圓錐曲線中參數(shù)范圍和最值問題√反思感悟圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何圖形特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值與范圍，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.跟蹤訓練4

(1)已知點P在直線x＋y＋5＝0上，點Q在拋物線y2＝2x上，則|PQ|的最小值等于______.①求滿足上述條件的點M(x，y)的軌跡C的方程；∴a2－3b2＝0，∴x2＋3y2＝3，②設曲線C與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0，－1)，當|AP|＝|AQ|時，求實數(shù)m的取值范圍.得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.∵曲線C與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點，∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，即3k2－m2＋1>0. ①設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點N(x0，y0)，∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.設kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kAN·k＝－1.得3k2＝2m－1. ②將②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，解得0<m<2，3達標檢測PARTTHREE解析∵兩焦點恰好將長軸三等分，2a＝18，12341.中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是

√51234√52.直線y＝x＋1被橢圓x2＋2y2＝4所截得的弦的中點坐標是

即3x2＋4x－2＝0，∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.1234解析∵y2＝8x的焦點為(2,0)，√512344.點P(8,1)平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是______________.兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因為線段AB的中點為P(8,1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.2x－y－15＝05所以直線AB的方程為y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4滿足Δ>0.即直線方程為2x－y－15＝0.123455.已知雙曲線

－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，過F的直線與雙曲線的兩漸近線交點分別為M，N，若△OMN為直角三角形，則|MN|＝___.∴∠FOM＝30°，直線MN的傾斜角為60°或120°.由雙曲線的對稱性，設傾斜角為60°，3∴|MN|＝3.1.離心率的幾種求法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是在y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝

，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法.(2)方程