第1頁/共1頁2024北京十一學校順義學校高二（上）期中數(shù)學一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線斜率k=1的傾斜角是（）A. B. C. D.2.已知向量，則（）A. B. C. D.3.經(jīng)過點且與直線平行的直線方程為（）A. B.C. D.4.如圖是某班50名學生期中考試物理成績的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是，，，，，，則圖中的值等于（）．A. B. C. D.5.甲、乙兩個氣象站同時作氣象預報，如果甲站、乙站預報的準確率分別為和，那么在一次預報中兩站恰有一次準確預報的概率為（）A. B. C. D.6.從甲乙丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為（）A. B. C. D.7.某賽季甲、乙兩名籃球運動員各6場比賽得分情況記錄如下，甲：18，20，35，33，47，41；乙：17，26，19，27，19，29.則下列四個結論中，正確的是（）A.甲運動員得分的極差小于乙運動員得分的極差B.甲運動員得分的中位數(shù)小于乙運動員得分的中位數(shù)C.甲運動員的成績比乙運動員的成績穩(wěn)定D.甲運動員得分的平均值大于乙運動員得分的平均值8.已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（）A. B. C. D.19.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)10.如圖，已知正方體的棱長為1，分別是棱上的中點.若點為側面正方形內（含邊）動點，且存在使成立，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為______.12.經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如下：排隊人數(shù)01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04則該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是_____．13.某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六段40,50，50,60，，90,100后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中的信息，設估計這次考試的物理成績的平均分為和中位數(shù)，則與大小關系是____（用“或或”作答）14.已知直線過點，且和直線平行.設直線與軸相交于點，求直線繞點逆時針旋轉所得直線的方程______.15.如圖，在長方體中，，，點在側面上．若點到直線和的距離相等，則的最小值是____．三、解答題：本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.從2名男生（記為和）和3名女生（記為和）組成的總體中，任意依次抽取2名學生.（1）不放回簡單隨機抽樣求出抽到的2人為1名男生和1名女生的概率.（2）有放回簡單隨機抽樣求出抽到的2人為1名男生和1名女生的概率.17.已知△ABC的三個頂點A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），點D為AC的中點．（1）求點D的坐標；（2）求直線BD的方程．（3）求△ABD的面積．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，.（1）求直線與直線所成角；（2）求平面與平面的夾角.19.2020年是我國網(wǎng)絡建設的加速之年.截至2020年底，中國已建成全球最大的網(wǎng)絡.為了切實推動移動網(wǎng)絡質量提升，不斷改善用戶體驗，中國信通院受工信部委托，定期在全國范圍內開展重點場所移動網(wǎng)絡質量專項測評.其中一項測評內容是在每座受測城市中挑選一條典型路段，以評估當?shù)鼐W(wǎng)絡發(fā)展水平.其中5座受測城市的綜合下載速率(單位：)數(shù)據(jù)如下表：城市路段綜合下載速率(單位：)福州五四路708.92廣州大學城外/中/內環(huán)817.13哈爾濱紅軍街630.34杭州環(huán)城東路882.60成都二環(huán)高架916.02（1）從以上5座城市中隨機選取2座城市進行分析，求選取的2座城市“綜合下載速率”都大于800的概率；（2）甲?乙兩家網(wǎng)絡運營商分別從以上5座城市中隨機選取1座城市考察(甲?乙的選取互不影響)，求甲?乙兩家運營商中恰有1家選取的城市“綜合下載速率”大于800的概率.20.如圖，四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，為的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）設是線段上一點，如果點是在平面內，判斷點在線段的位置并證明你的結論；（3）點在線段AB上運動，求點到直線的距離最大值.21.我們知道，在平面中，給定一點和一條直線的法向量可以唯一確定一條直線.如點在直線上，為直線的一個法向量，則直線上任意一點滿足，則，化簡可得，即為直線的方程.類似的，在空間中，給定一點和一個平面的法向量可以唯一確定一個平面.（1）若在空間直角坐標系中，，請利用平面的法向量求出平面的方程；（2）試寫出平面（不同時為0）的一個法向量（無需證明），并求出點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關系，再結合傾斜角的范圍即可求解．【詳解】解：設直線的傾斜角為，則由題意知：，又，．故選：B．2.【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求得正確答案.【詳解】.故選：A3.【答案】B【分析】先根據(jù)直線平行設出直線方程，再代入點即可求解．【詳解】由直線經(jīng)過點且與直線平行，可設直線方程為：，將代入，即，解得：，故直線方程為：．故選：B．4.【答案】D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質列式即可解出答案.【詳解】根據(jù)已知頻率分布直方圖，可得：，解得，故選：D.5.【答案】D【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式運算即可得解.【詳解】因為甲、乙兩個氣象站同時作氣象預報，甲站、乙站預報的準確率分別為和，

所以在一次預報中兩站恰有一次準確預報的概率為：.故選：D．6.【答案】C【分析】列舉出所有情況，找到符合條件的情況，再利用古典概型概率公式求解.【詳解】從三人中任選兩名代表，所有的情況共甲乙、甲丙和乙丙3種，其中甲被選中的有2種，所以甲被選中的概率為.故選：C7.【答案】D【分析】求出極差判斷A；求出中位數(shù)判斷B；求出平均數(shù)判斷D；求出方差判斷C．【詳解】將數(shù)據(jù)按升序排列可得：甲：18，20，33，35，41，47；乙：17，19，19，26，27，29.對于A，甲運動員得分的極差為，乙運動員得分的極差為，且，所以甲運動員得分的極差大于乙運動員得分的極差，故A錯誤；對于B，甲運動員得分的中位數(shù)是，乙運動員得分的中位數(shù)是，且，所以甲運動員得分的中位數(shù)大于乙運動員得分的中位數(shù)，故B錯誤；對于CD，甲運動員的得分平均值為，乙運動員的得分平均值為，且，所以甲運動員的得分平均值大于乙運動員的得分平均值，故D正確；甲運動員得分的方差為，乙運動員得分的方差為，顯然乙的方差小于甲的方差，乙運動員的成績比甲運動員的成績穩(wěn)定，故C錯誤.故選：D.8.【答案】B【分析】直接由點面距離的向量公式就可求出．【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B9.【答案】A【分析】觀察折線圖，結合選項逐一判斷即可【詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，觀察折線圖，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正確；對于D選項，觀察折線圖，各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選：A10.【答案】C【分析】根據(jù)向量共面判斷出平面，由面面平行得到P點的軌跡，在直角三角形中求出邊長即可.【詳解】因為成立，所以共面，即平面，如圖，取中點，連接、、，根據(jù)正方體的性質得，，，且，，所以平面平面，所以點在上運動，點的軌跡為線段，因為，，由勾股定理得，故選：C.【點睛】本題考查了平面與平面平行的判斷及性質，求點的軌跡的問題，考查了推理能力.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】8【分析】假設共抽取人數(shù)，根據(jù)高一所占總共人數(shù)比例以及所抽出的人數(shù)，可得結果.【詳解】設樣本容量為，則高二所抽人數(shù)為.故答案為：8【點睛】本題主要考查分層抽樣，屬基礎題.12.【答案】0.74【詳解】試題分析：表示人數(shù)，.考點：互斥事件的概率.13.【答案】【分析】利用頻率分布直方圖估計中位數(shù)和平均數(shù)的方法可求得，進而得到大小關系.【詳解】物理成績在對應的頻率為，物理成績在對應的頻率為，中位數(shù)在之間，，；又平均數(shù)，.故答案為：.14.【答案】【分析】先根據(jù)直線平行求出直線，再求出點，再根據(jù)直線與直線繞點逆時針旋轉所得直線垂直設出直線方程，再根據(jù)直線過點即可求解．【詳解】解：由題意可設：，又直線過點，，解得：，故直線：，令，解得：，故，設直線繞點逆時針旋轉所得直線為，則易知，故設直線：，將代入，即，解得：，故直線：．故答案為：．15.【答案】【詳解】如圖在面A1ABB1建立P面直角坐標系，設P（x，y）．（0≤x≤2，0≤y≤2）∵點P到直線AA1和CD的距離相等，，即x2=y2+1．∴A1P=∴當P（，1）時，A1P最小為.故填.點睛：本題直接解答比較困難，采用坐標法比較簡潔易懂，所以方法的選擇很關鍵.當我們遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、長方體等有垂直關系的幾何圖形時，可以嘗試利用坐標法解答,看是否簡潔.三、解答題：本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）通過列舉法，寫出不放回時抽取2名學生的所有可能結果，再從中找出抽到2人為1名男生和1名女生的結果，由古典概型的概率計算公式即可得到結果；（2）通過列舉法，寫出有放回時抽取2名學生的所有可能結果，再從中找出抽到2人為1名男生和1名女生的結果，由古典概型的概率計算公式即可得到結果；【小問1詳解】從5名學生中，不放回地任意依次抽取2名學生的所有可能結果為：，共20種結果.設事件為抽到的2人為1名男生和1名女生，則事件發(fā)生的所有可能結果為：，共12種結果.由古典概型的概率計算公式得：，即不放回簡單隨機抽樣求出抽到的2人為1名男生和1名女生的概率為.【小問2詳解】有放回簡單隨機抽樣抽取2名學生的所有可能結果為：，共25種結果.設事件為抽到的2人為1名男生和1名女生，則事件發(fā)生的所有可能結果為：，共12種結果.由古典概型的概率計算公式得：，即有放回簡單隨機抽樣求出抽到的2人為1名男生和1名女生的概率為.17.【答案】(1)點D的坐標為（0，1）;(2)2x+y–1=0;(3)12.【分析】（1）利用中點坐標公式求得點的坐標.（2）利用點斜式求得直線的方程.（3）利用兩點間的距離公式求得的長度，利用點到直線的距離公式求得到直線的距離，再利用三角形的面積公式求得面積.【詳解】（1）設D（x，y），則，，∴點D的坐標為（0，1）．（2）∵直線BD的斜率為．∴直線BD的方程為：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0．（3）∵，∴A到直線BD的距離為．∴△ABD的面積為．【點睛】本小題主要考查中點坐標公式，考查直線方程點斜式，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）由線面垂直的性質定理可得結果；（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用即可求解.【小問1詳解】底面，平面，，則直線與直線所成的角為.【小問2詳解】由題意，底面是正方形，側棱底面，則以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，令則，設平面的一個法向量為，則，令，則，則，又平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.19.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）寫出5座城市中隨機選取2座城市的所有可能，找出選取的2座城市“綜合下載速率”都大于800的所有可能，根據(jù)古典概型公式計算即可；（2）選取的城市“綜合下載速率”大于800的概率，選取的城市“綜合下載速率”不大于800的概率，根據(jù)對立事件與互斥事件的概率公式計算即可.【詳解】解：（1）5座城市中“綜合下載速率”大于800Mbps的有3座，設為，“綜合下載速率”不大于800的有2座，設為.隨機選取2座城市所有可能為：，，，，，，，，，共10種.其中2座城市“綜合下載速率”都大于800的有，，共3種.設兩個城市“綜合下載速率”都大于800為事件，所以（2）設甲選取的城市“綜合下載速率”大于800為事件，乙選取的城市“綜合下載速率”大于800為事件，恰有1家運營商選取的城市“綜合下載速率”大于800為事件.依題意，事件，所以.【點睛】1.古典概型的概率求解步驟：（1）求出所有基本事件的個數(shù)；（2）求出事件包含的所有基本事件的個數(shù)；（3）代入公式求解.2.基本事件個數(shù)的確定方法（1）列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型；（2）列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法；（3）樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求；（4）運用排列組合知識計算.20.【答案】（1）（2）是的中點，證明見解析（3）【分析】（1）建立空間直角坐