河南省周口市扶溝縣包屯高級(jí)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)押題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則（）A． B．C． D．2．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B．12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C．12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D．12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%3．以下四個(gè)命題：①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．14．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，185．如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是1036．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒(méi)有零點(diǎn)；④在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④7．若函數(shù)有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)復(fù)數(shù)，則=（）A．1 B． C． D．10．已知P是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．設(shè)一個(gè)正三棱柱，每條棱長(zhǎng)都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角的對(duì)邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為_(kāi)___________．14．在數(shù)列中，已知，則數(shù)列的的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.15．三個(gè)小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為_(kāi)_____.16．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.（1）求證：平面;（2）求證：平面平面.18．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）求證：．19．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，滿足條件．（1）求角；（2）若邊上的高為，求的長(zhǎng)．20．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．21．（12分）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，滿足（1）求內(nèi)角的大?。?）已知，設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn)，且，求平面四邊形面積的最大值.22．（10分）如圖所示，三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，是線段的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.2、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.【詳解】對(duì)A，從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于50%的月份有4個(gè)，所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對(duì)B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對(duì)C，12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%，故C正確，；對(duì)D，12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%，故D錯(cuò)誤故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,

③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,

④根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，可進(jìn)行判斷.【詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;

②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;

③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，即，不一定成立，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性，擬合性檢驗(yàn)，兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個(gè)變量的線性回歸方程，注意理解每一個(gè)量的定義，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5、D【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道，所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.6、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào)②④故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、B【解析】

由是偶函數(shù)，則只需在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】解：顯然是偶函數(shù)所以只需時(shí)，有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可令，則令，遞減，且遞增，且時(shí)，有且只有2個(gè)零點(diǎn)，只需故選：B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.8、B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，則故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由題意求得，運(yùn)用直線的斜率公式可得，，，再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線交于，可得，可取，則，設(shè)，，則，，，由，，成等差數(shù)列，可得，化為，即，可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．11、D【解析】

由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來(lái)，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).【詳解】由題意，設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來(lái)，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，而，所以，∴當(dāng)時(shí)，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問(wèn)題，關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí)，得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.12、A【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋覟殇J角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.14、【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到，再由求解．【詳解】解：由，得，，則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題．15、【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

證明：（1）在矩形中，，又平面，平面，所以平面．（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又，故，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．18、（1）時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）利用的導(dǎo)函數(shù)，求得的最大值的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此判斷出的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）由，得到和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，即有，從而證得，即.【詳解】（1），∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，.令在上遞減，在上遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．①時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；②時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；③時(shí)，，令在上遞增，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上:時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn);（2）由（1）可知：，令在上遞增，．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再根據(jù)，利用兩角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【詳解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，則由知先求∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1），①當(dāng)時(shí)，，②兩式相減即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜?，所以．?）證明：因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列求和，意在