考點(diǎn)07三角函數(shù)的性質(zhì)

本節(jié)概要

知識(shí)點(diǎn)一正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一知識(shí)點(diǎn)二五點(diǎn)做圖法

知識(shí)點(diǎn)

一知識(shí)點(diǎn)三三角函數(shù)圖象的伸縮平移

三

知識(shí)點(diǎn)四解題思路總結(jié)

角

函

數(shù)考點(diǎn)一五點(diǎn)畫圖法

的

性一考點(diǎn)二周期

質(zhì)

一考點(diǎn)三對(duì)稱性

考點(diǎn)四單調(diào)性

考點(diǎn)

一考點(diǎn)五奇偶性

一考點(diǎn)六值域

-考點(diǎn)七解析式

考點(diǎn)八圖像的伸縮平移

知N識(shí)講，解

一.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

最小值一1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2kn—^

增區(qū)間

伙如一兀+$（k￡Z）；增區(qū)間

增區(qū)間火27r—兀，h2句伏￡Z）；

單調(diào)性

減區(qū)間減區(qū)間伏2兀,&如+何伙WZ）（2.兀一］,攵兀+E）（2￡Z）

1/2兀+冷，k27r+U］（A￡Z）

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

周期為2為,后0,kCZ,周期為2E,原C,kGZ,周期為E,M）,kGZ,

周期性

最小正周期為2兀最小正周期為2兀最小正底期為兀

對(duì)稱中

（依十全0）,kJZ（與，0）,欠匕Z

(依，0),kez

對(duì)稱性心

對(duì)稱軸%=女兀+看kRZx=kn,々EZ無(wú)對(duì)稱軸

零占kn,kRZ依+去kez&7T,kRZ

二.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

1.在正弦函數(shù)產(chǎn)sinx,［0,2兀］f勺圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,停1）,（兀，0）,傳，—1|,（2兀，0）.

2.在余弦函數(shù)尸cosx,x￡［0,2利的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,停0）,（兀，一1）,爵，0）,（2n,1）.

3.用五點(diǎn)法畫y=Asin（s+8）（A>0,口>0,R）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)

如下表所示：

n371

0一/(Jt一(p豆一夕2R一(P

X2~P

cocoCD

coCO

7T3幾

COX-\-(p0It27r

2T

y=Asin(cox+8)0A0-A0

三.函數(shù)），=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin（"x+0）（A>O,切>。）的圖象的兩種途徑

1.兩種途徑：縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)的變化

（1）先伸縮（口）后平移（①）

（2）先平移（（p）后伸縮（3）

2.伸縮平移的規(guī)律

y=Asin（（ox+（p）+B或y=Acos（cox+（p）+B或y=Atan（cox+（p）+B

A>ln伸長(zhǎng)

A（乘除）n伸縮彳

0<A<1=>縮短

縱坐標(biāo)?

B>0=向上平移

B（加減）n上下平移

B<0=向下平移

乘除伸縮⑴>變化倍數(shù)成倒數(shù)關(guān)系

橫坐標(biāo)｛（MXT

（P（加減）n左右平移=平移時(shí)x的系數(shù)化成1

3.左右平移時(shí)應(yīng)注意的三點(diǎn)

（1）平移方向：弄清楚平移方向，平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象.

（2）函數(shù)名稱：注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù).

（3）由y=Asin①x的圖象得到j(luò)=4sin（sx+p）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為而不是|創(chuàng)：即平移時(shí)x

前的系數(shù)必須為1

四.解題思路總結(jié)

解決三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要化為y=Asin（Gx+9）的形式，但最大值、最小值與4的符號(hào)有關(guān)，例

子如下函數(shù)），=Asin（c?+8）（A>0,①>0）的性質(zhì)，采用都是“整體代入”

1.奇偶性：e=E（k￡Z）時(shí)，函數(shù)產(chǎn)Asin（Q）x+°）為奇函數(shù)；勿=4兀+軟￡Z）時(shí)，函數(shù)產(chǎn)AsinQox+e）為偶函

數(shù)（影響奇偶性的是外依據(jù)為誘導(dǎo)公式奇變偶不變符號(hào)看象限）

2.周期性：（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解..

（2）公式法，對(duì)形如尸Asin（cox+《）或y=4cos（sx+e）（A,o）,夕是常數(shù)，A#）,co#））的函數(shù)，7=瑞.

（3）觀察法，即通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期.

TTTT

3單調(diào)性:根據(jù)>,=sint和，=sx+p（s>0）的單調(diào)性來(lái)研究，由-5+2屈0刃工+夕與"+2E伏￡Z）得單調(diào)增區(qū)間；

由升2矽吐5十澧十2&M&EZ）得單調(diào)減區(qū)間（影響單調(diào)性主要是A和3兩者同號(hào)求增代增，異號(hào)求增

代減，依據(jù)為復(fù)合函數(shù)的“同增異減”）

4對(duì)稱性：利用.y=sinx的對(duì)稱中心為（E,0）（k￡Z）求解，令S氏+0=依（％￡2）得其對(duì)稱中心.

利用y=s\nx的對(duì)稱軸為x=E+*k￡Z）求解，令5+9=?+前WZ）得其對(duì)稱軸.

典例剖析

考點(diǎn)一五點(diǎn)畫圖法

【例1-1】(2023?河南省)用五點(diǎn)法作出函數(shù))，=2sin(x-《)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】列表如下

7T7137r

X—0712兀

622

712兀7兀5兀13兀

X

6T~6T

y=zsin1x——6J020-20

描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如下:

【變式】

1.(2023?全國(guó)?隨堂練習(xí))畫出下列函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，并用信息技術(shù)檢驗(yàn):

(1)y=4sin—X；(2)>*=—cos3x；(3)y=3sin(2x+—)(4)y=2cos(-x--).

22624

【答案】簡(jiǎn)圖見(jiàn)詳解

能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？

(1)y=-sinx；(2)y=|sinA|；(3)y=sin|M.

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】(1)該圖象與丁=如"的圖象關(guān)于人軸對(duì)稱，故將y=sinx的圖象作關(guān)于人軸對(duì)稱的圖象即可得到

y=-sinx的圖象

..sinx-17r<x<-^,0<x<;r,

(2)y=sinx\=<y將y=sinX的圖象在x軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于

-sinx^-7r<x<0,7r<x<2兀、

X軸對(duì)稱的圖形，即可得到）=卜山可的圖象.

sinx.x>0,

(3)y=sinN=?.八將y=sinx的圖象在y軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形,

-sinx,xv（）,

即可得到3=sinW的圖象.

)

A.y=sinxB.y=cosx

L+gD.y=cosly-2.r

C.y=sin

23)

【答案】D

［解析］A.v=sinx的最小正周期為T=2兀,故錯(cuò)誤;

B.）：=cosx的最小正周期為7=2兀，故錯(cuò)誤;

T_2兀

I71

尸-x+—的最小正周期為丁=,故錯(cuò)誤:

C.sin23J

2

D._y=cosly-2xy=n,故正確;

故選:D

【例2-2］（2023?全國(guó)?假期作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的是（）

A.y=|cos^|B.y=COS|A|

C.y=而可D.y=sin|M

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,,"cos（x+兀）|=|-COSM=|COSA|，，）=|cosM的最小正周期為兀;

對(duì)「?B,COSX=COS(T)=COSN，/.y=cos|H的最小1E周期為2兀:

對(duì)于C,.|sin（x+7t）|=|-sinx|=|sinx|,y=卜in^的最小正周期為幾：

對(duì)于D,ey-sinW”'”一回函數(shù)圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱，不具有奇偶性，故錯(cuò)誤.

（-sinx,x<0

故選：ABC

【變式】

1.（202?安徽六安）（多選）下列函數(shù)中，最小正周期為萬(wàn)的有（）

A.y=|cosx|B.y=sin|2x+—C.y=tan|^2x-yD.y=cos|x|

【答案】AB

【解析】對(duì)于A,y=|cosx|的最小正周期為乃，故A正確；

對(duì)干B,y=sin（2x+g］的最小正周期為=="，故B正確；

I6；2

對(duì)于C,y=tan，x-￡|的最小正周期為故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=cos|%|=8sx的最小正周期為2乃,故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

2.（2023?江西上饒）（多選）下列函數(shù)，最小正周期為兀的有（）

A.y=sin|^|B.>'=|sinA)

C.)'=sin(g-2x

D.y=2cosx-l

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,），=sin|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于），軸對(duì)稱，其圖象如下，不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,作出函數(shù)yhsinxl的圖袋如卜，觀察可得其最小正周期為兀，故B正確;

對(duì)于C,由周期公式可得T=可得），=sin（g-2二|的最小正周期為加，故C正確;

⑷（3）

對(duì)于D,由周期公式可得丁=潦，可得,，=2cosx-l的最小正周期為2兀，故D

錯(cuò)誤.故選：BC

3.（2023?廣東潮州）函數(shù)/（x）=|sinx+cosx|的最小正周期是.

【答案】加

【解析】因?yàn)?。）=卜訪%+以《鵬=\/5$m工+：），

因?yàn)椋?JLin（x+（）的最小正周期為丁=與=2兀，

所以函數(shù)fM二&sin（x+；）最小正周期為九

故答案為：兀.

4.（2023?甘肅）請(qǐng)寫出一個(gè)最小正周期為幾的函數(shù).（寫出一個(gè)即可）

【答案】y=sin2x（答案不唯一）

【解析】由尸Asin（s”）的周期為丁吟=兀，得”=2,

不妨取A=l，e=O,得?個(gè)滿足題意的函數(shù)＞,=sin2x.

故答案為：y=sin2x（答案不唯一）

5.（2023?北京海淀）函數(shù)ynGsinxcosx+cosO-g的最小正冏期是.

【答案】不

2+cosxCS

【解析】y=75sincosx+cosx--=sin2x+^^_L-2^.sin2x+°-sinf2x+—1，

■222222V6）

則T=^=7U.故答案為：兀.

考點(diǎn)三對(duì)稱性

【例3-1】（2023?北京）函數(shù)y=sin（2x+?1的圖象（）

k6）

A.關(guān)于直線x=T對(duì)稱B.關(guān)于直線工=-：對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)仔,0）對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)件0）對(duì)稱

【答案】B

【解析】Ajg=sin2x[+m=sin—w±l,所以函數(shù)不關(guān)于直線x=?對(duì)稱，故A錯(cuò)誤;

V30/O3

/"1?I'。（兀，兀]?（兀）.匚「[、[N幡平T-/1'71r/,/

B./--=sin2x--+-=sin--=-l,明以函數(shù)關(guān)于直線％=彳對(duì)稱，故B正確：

\_\3）6.\2）3

C?/但]=sin（2W+2]=sin[=l=O,所以函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)住對(duì)稱，故C借誤；

D./[9]=sin（2xf+m]=sin等工0,所以函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)（白。]對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；

I"k36；6ko>

故選:B

【例3-2】（2023?河南）函數(shù)/（x）=sii/%+2sinxcosx+3cos。在區(qū)間上的一個(gè)對(duì)稱中心是（〃?,〃），則

〃?4■〃的值為（）

A.-B.—C.-+2D.—+2

8888

【答案】D

【解析】由題得/（X）=?c；2"+2x+3」+?八=如2x+cos2x+2=&sin（2x+?）+2,

令2嗚,則x哼《當(dāng)皿時(shí)，好率〃=2,故…的值為92做選

【變式】

1.（2023云南）函數(shù)/a）=2sin（2x+^）+l圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）

【答案】D

【解析】對(duì)于A,由”=三，得2.丫+?=兀，>=1,

J3

則停。）不是函數(shù)/（x）=2sin（2x+g）+l圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤;

_,7Tye.—717T

對(duì)十B,?由1=二,^2x+—=—,

1232

則信」）不是函數(shù)f（x）=2sin（2x+,）+l圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,故B錯(cuò)誤;

rLT-15713A71771

對(duì)于C,由工=五，得2"+]=不，

則傳,0）不是函數(shù)/*）=2sin（2x+]）+l圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤;

7TTT

對(duì)于D,x=—,得2x+—=0,y=i,

63

則("?1)是函數(shù)f{x}=2sin[2x+jr1圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，牧D正確.

故選：D.

2.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))以點(diǎn)keZ)為對(duì)稱中心的函數(shù)是().

A.y=sinxB.y=cosx

C.y=tanxD.y=1tanx\

【答案】C

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)稱中心為(阮,0)(keZ),故不選A；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)稱中心為仁+配0卜￡Z),故不選B;

對(duì)干C選項(xiàng),對(duì)稱中心為(*0)伏wZ),故C選項(xiàng)正確:

對(duì)于D選項(xiàng)，不是中心對(duì)稱圖形，故不選D.

故選:C.

3.(2023上?內(nèi)蒙古通遼?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/⑴圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=2,/⑶的一個(gè)周期

為4,則/(X)的解析式可能為()

A./(x)=sin^xl

B.

/\

Tt

c./(x)=sinD.fM=cos

(4J丁

【答案】B

【解析】對(duì)于A,由/(2)=sin《x2)=sin7i=()w±l,顯然x=2不是對(duì)稱軸，排除A：

對(duì)于c,7(X)=sin-x的最小正周期=T=8,不合題意，排除C；

14J4

/\

由f(2)=cos?x2=cos-^=0*±l,顯然x=2不是對(duì)稱軸，排除D；

/(2)=cos^x2^=cosn=-l,即x=2是對(duì)稱軸，最小正周期7點(diǎn)=%滿足題設(shè).

故選：B

4.(2023?浙江)若函數(shù)”"=8S(2X+9)的圖象關(guān)于直線兀對(duì)稱，則網(wǎng)的最小值是()

4兀B.史c兀C兀

A.一C.—D.—

3336

【答案】C

【解析】由題意（55r

cos=±1n--it+(p=k7i,kwZ=>Q=；兀+sZ則時(shí)的最小值是,

故選:c.

考點(diǎn)四單調(diào)性

［ft4-1］（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（X）=cos2x-sin2x,則（）

A./（幻在（-泉-今）上單調(diào)遞減B./*）在（一全卷上單調(diào)遞增

C.%）在吊）上單調(diào)遞減D./⑴在伶爸上單調(diào)遞增

【答案】C

［脩析】因?yàn)?（x）=cos2.r-sin2x=cos2x.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，—乃<2x<g則/（x）在（一!■,-?）上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)Jvxv白時(shí)，-gv2xvg則〃x）在（一￡,工）上不單調(diào)，B錯(cuò)；

41226V4127

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<g時(shí)，0<2x<^,則/（X）在上單調(diào)遞減，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則/（可在上不單調(diào)，D錯(cuò).

4122o\4\^）

故選：C.

【例4-2］（2023?江西宜春）已知①>0,函數(shù)/（x）=sin5cossx+cos23x在（］,兀單調(diào)遞減，則。的取值

范圍為.

-I5_

.

【答案】14-8-

」1

21.,1+COS269X&.小兀、1

【解析】因?yàn)?（%）=sincoxcoscox+coscox=—sinIocox+--------------=——sin(2cox+—)+一,

22242

又f（x）在（5,兀）上單調(diào)遞減，所以兀-（y>0,則一2二，所以0<042,令/=26yx+—,

co24

因?yàn)?Vx<7C,0<69<2,所以“兀+△</<Icon+—,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=^sin/+g在（即+；,2加+：）

244

jr7T

(0<<y<2)上單調(diào)遞減，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sinr在(①兀+:,2碗+:)(0<<y<2)上單調(diào)遞減,

44

y,-<69n+-<—,—<2^+—<—,y=sin/單調(diào)遞減區(qū)間為(2+2E,型+2E),keZ,

44444422

0<<y<2

所以（M+今,mc+：）u序爭(zhēng),所以，7t7C解得6y《J,故答案為：T,o

fWt+—>—

4248148

7137r

2①71+—<—

42

【變式】

1.12023?山西)函數(shù),f(x)=cos(3兀一x)+J5cos(%-3)的單調(diào)增區(qū)間為()

一—

A?--------卜2k7r,—卜2k7T,kJZB.--+2k^,—+2k7v,kwZ

6633.

7T—727r—,.?

—+2kjj----F2k冗,keZ,D.--+2k7r,—+2k7r,keZ

6

【答案】c

/

【解析】/(-r)=cos(3?t-x)+cosx-^

^--+2kjt<x--<—+2kit,kwZ、解得---1-2E<x<-----F2kli,左eZ.故選：C.

26233

2（2023上?北京海淀?高三北大附中?？茧A段練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=cos2_r,則（）

A./（x）在卜單調(diào)遞減B.?。┰诓罚荷韱握{(diào)遞增

/\

C./⑴在（09）單調(diào)遞減

D./（3）在單調(diào)遞增

I4/

【答案】C

【解析】因?yàn)?（X）=COS2X=T+:COS2X,

對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)镵?則2X€一個(gè)

且y=cosx在一皇胃內(nèi)不單調(diào)，所以/（X）在內(nèi)不單調(diào)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?則2xe-，

\447\22/

且y=cosx在內(nèi)不單調(diào)，所以?。┰诓肺荩﹥?nèi)不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閤e（0,",貝"xe（0,與）

且y=cosx在（0,守）內(nèi)單調(diào)遞減，所以/（x）在歸）內(nèi)單調(diào)遞減，故（:正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楣ぁ辏?日），則〃￡（0g），

且)，=以0在((吟)內(nèi)單調(diào)遞減，所以/(x)在(o,：)內(nèi)單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤;

故選：C.

3.(2023云南)函數(shù)尸sin(3x+聿一譚的單調(diào)遞減區(qū)間為.

JJ

712冗冗兀

【答案】

3'一互9,3

【解析】嗚+2題43%+仁二寺+2E(&eZ),得2+筌4等任eZ).

又xe一，所以函數(shù)丁=$111(31+1],xe-的單調(diào)遞減區(qū)間為-；-勺7171

53J\o733J1_39

4.(2023上?江蘇鹽城?高三校聯(lián)考價(jià)段練習(xí))若函數(shù)/(x)=sin,"(。>0)在區(qū)間0,：上單調(diào)遞增,

則。的取值范圍

【答案】(0,3]

■An_LL■??！?，-7C7Tc?>r-i冗227T37r24兀.c

【解析】由---F2X^71<cox----K—卜2kii,kwZ,份-----1-------KxK-------1-------,kwZ,

242^(o(o^(o(o

取2=o,得一三一《勺，又由小)=疝1(8-：］(0>0)在區(qū)間|"0用上單調(diào)遞增，則=嚀即。工3,

404/VL4」4M4

又0>0,所以。的取值范圍為(0,3].故答案為：(0,3].

考點(diǎn)五奇偶性

【例5-1】(2023上?山西?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)函數(shù))，=cos2x是()

A.周期為兀的偶函數(shù)B.周期為九的奇函數(shù)

C.周期為:的偶函數(shù)D.周期為￡的奇函數(shù)

22

【答案】A

【解析】y=f(x)=cos2x,函數(shù)定義域?yàn)镽,r=y=n,f(-x)=cos(-2x)=cos2x=f(x),

>=/(x)=cos2x為偶函數(shù)，故選：A

【例5-2】(2023?福建)下列函數(shù)中,周期為2萬(wàn)的奇函數(shù)為()

A?XX_.2

A.y=sin-cos-B.y=sinx

22

C.y=tanxD.y=sin2x+cos2x

【答案】A

【解析】A選項(xiàng)，y=sin^cos^=isinx所以最小正周期為7=2乃，又gsin（-x）=-；sinx,所以

），=sin]cosB為奇函數(shù)，故A正確；

B選項(xiàng)，^=sin2x=1-|cos2x,所以最小正周期為7=,=4,排除B；

C選項(xiàng)，y=tanx的最小正周期為丁=%，排除C；

D選項(xiàng)，），=sin2x+cos2x=0sin（2x+?）,日不以最小正周期為7-與一尸」非除D.故選；A.

【變式】

1.（2023?黑龍江雞西）下列四個(gè)函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）

A.y=x3B.y=sinx

C.y=cosxD.y=tanx

【答案】C

【解析】由轅函數(shù)的性質(zhì)可知y=r為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知丁=47為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知'=8$%為偶函數(shù)，故C正確；

由正切函數(shù)的性質(zhì)可知y=tanx為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

2.（2023?黑龍江雞西）函數(shù)y=sin2x是（）

A.最小正周期為2兀的偶函數(shù)B.最小正周期為黃的偶函數(shù)

C.最小正周期為2江的奇函數(shù)D.最小正周期為工的奇函數(shù)

【答案】D

【解析】由下也2%知其最小正周期為7號(hào)=兀，函數(shù)的定義域?yàn)镽,由sin（-2x）=-sin2x知函數(shù)y=sin2x

是奇函數(shù).故選：D.

3.（2023?湖北）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是兀的函數(shù)是（）

A.y=cos|2x|B.y=|sin2^|

C.y=sin(]+2x)D.y=cos^-2x

【答案】D

【解析】對(duì)選項(xiàng)A：y=/（x）=cos因，函數(shù)定義域?yàn)镽,/（-X）=COS|2A|=/（A-）,

函數(shù)為偶函數(shù)，排除；

對(duì)選項(xiàng)B：>=￡(%)=加2小函數(shù)定義域?yàn)镽,f2(-x)=\sm2^=f2(x)f

函數(shù)為偶函數(shù)，排除；

對(duì)選項(xiàng)C：y=/i(^)=sin^+2x=cos2x,函數(shù)定義域?yàn)镽,八(t)=cos2i=/；(x),

函數(shù)為偶函數(shù)，排除；

對(duì)選項(xiàng)D：y"(x)=cos(與-2;v)=-sin2x,函數(shù)定義域?yàn)镽,

力(r)=sin2x=-#x),函數(shù)為奇函數(shù)，T=^=n,滿足條件；

故選：D.

4.(2022?黑龍江佳木斯)已知函數(shù)f(x)=2sin(x+J+a，ew[g,是偶函數(shù),則6的值為()

a71c71c兀c兀

A.立B-6C4D-3

【答案】C

【解析】因?yàn)?(x)=2sin(x+0+?)是偶函數(shù)，所以0+￡=3+仇keZ,即O=：+E/eZ,

4424

又°￡[一夕/，所以女=。4=；.故選：C.

考點(diǎn)六值域

【例6-1】(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)函數(shù)/(人)=疝。十。51的最小正周期和最大值分別是()

JJ

A.3九和&B.3n和2C.67r和JiD.6兀和2

【答案】C

【解析】由題，/(x)=sin^+cos|=^^sin^+^cos1l=V2sin^+^I所以的最小正周期為

JJDf/

T=生=6pf-

2w,最大值為75.故選：c.

3

【例6-2】(2023上?河北石家莊?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=2cos傳-2:|,x」-白國(guó)，若函數(shù)/⑴的

16/L122J

值域?yàn)槲?力，則。+方=.

【答案】2-6/—g+2

【解析】因?yàn)橥猓瑒t!—23-年勺，

12Zo63

x/3

則cos--2xs[-J],則/（x）=2cos（y-2xe[--73,2],即q=—G,〃=2,則。+/?=2-、8.

（6JT\6J

故答案為：2-叢.

【例6-3］（2023?安徽亳州）函數(shù)y=cos2x+sinx-l的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.卜co,

B.

C.[-2,0]D.

【答案】D

【解析】因?yàn)閥=cos2x+sinx-1=l-sin2x+sinx-l=-sin2x+sinx,

令I(lǐng)=sinx,則y=-『+/=—（/一：）2+；,-1</<1?

2

所以）,=一/+f在［_11）上單調(diào)遞噌，在g,1］上單調(diào)遞減，

當(dāng)l=—1時(shí)，J=-2,當(dāng)時(shí)，），=!，所以一24），<!，

244

即y=cos2x+sinx-l的值域?yàn)椋?2,」.故選：D.

4

（ft6-4］（2023?山西臨汾??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=Gsinxcosx+sin2x,若/（外在區(qū)間［。⑷上的

「31

值域是0,5，則4的取值范圍為（）

【答案】A

【解析】由〃%）=Gsinxcosx+sir?。可得/（力=乎有112%—;cos2x+g=sin2x-^+g,

當(dāng)】?0,a］時(shí)，2%一四￡--,2a--,

6L66

「3

要使/W在區(qū)間［0,。］上的值域是0,-,

則:<2。一?4;，解得gwow杯，

26633

故選：A

【變式】

1.（2023?重慶北硝）函數(shù)y=sini+cosx+2的值域是

【答案】［2-&,2+a］

sin.^cosX

2=V2sinx+—撲2,

【解析】由題y=sinx+cosx+2=2J

因?yàn)閟ing+所以y=&si(x+1)+2w[2一＞/5,2+0].故答案為：[^2—V2,2+\/2j

sin

n27t

22

2.(2023?上海嘉定)i^|/(x)=sinx-cosx,xe12'T的直域是

00

的值域是-等』］.故答案為:

0

因此函數(shù)@%

3(2022?安徽安慶)函數(shù)/(X)=8S2X+V5COSX-1部的值域是

【答案】0

【解析】0a

因?yàn)镠",0，今下一I，0

所以回,對(duì)稱軸為

因?yàn)樨希菰赼上單調(diào)遞減，在a上單調(diào)遞增,

所以

區(qū)一—卜

所以函數(shù)/（X）=COS2X+V5COSX-1Ae一今,等］）的值域是回

故答案為：S

4.（2023?四川成都）當(dāng)X』，]時(shí)，函數(shù)〃x）=cos（3x+小的值域是-1,一坐，則，〃的取值范圍是一

_oJI”2

【答案】O

【解析】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由回，可知回,

因?yàn)榛豂I.0,

要使/（力的值域是-1,一弓，只要0

即回

解法二：由題0，可知因

J3

由y=COSX的圖象性質(zhì)知，要使/"）的值域是-1,-y

則回，解之得s

故選：D.

考點(diǎn)七圖像的伸縮平移

[ft7-1]（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了得到函數(shù)），=sin2x的圖象，可將函數(shù)y=sin[2,L牛）的

圖象（）

A.向左平移學(xué)個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移半個(gè)單位長(zhǎng)度

44

C.向左平移整個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移即個(gè)單位長(zhǎng)度

OO

【答案】C

【解析】易知因，

故將函數(shù)），=sin（2..■的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)尸sin2x的圖象.

故選:C

【例7-2】（2023上?青海西寧）要得至IJ函數(shù)/（/）=sin（2x+5的圖象，可以將函數(shù)g（x）=cos（2x+］）的圖

象（）

A.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

JJ

C.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

00

【答案】A

【解析】0,0，區(qū)I.,

所以g（x）的圖象向右半移1得到/（X）的圖象故選：A.

【例7-3】（2023?貴州畢節(jié)）己知函數(shù)/（x）=sin（2x+g］,若將/"）的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所

6

得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）

A.g（x）=sin（4x-?B.岡］

C.區(qū)D.0

【答案】D

0

【解析】將函數(shù)0的圖象向右平移可得函數(shù)的圖

6

的圖象.故選：

象；再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)SD.

【例7-4】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（多選）將函數(shù)|區(qū)］|的圖象向左平移［個(gè)單

位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，且兇，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.g（x）為奇函數(shù)B.當(dāng)回時(shí)，/（工）的值域是叵

C.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)眄二|對(duì)稱D.g（x）在S上單調(diào)遞增

【答案】BD

【解析】因?yàn)镾

所以0

對(duì)于A；S,所以g（x）不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：當(dāng)兇時(shí)，兇，

則區(qū),B正確;

對(duì)于C：因?yàn)镾

所以g（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)回對(duì)稱，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：當(dāng)回時(shí)，區(qū)I,

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,

?。┰诩咨蠁握{(diào)遞增,D正確.

故選：BD

【變式】

1.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)0,則要得到函數(shù)0的圖象，只需將函

數(shù)f（x）的圖象（）

A.向左平移9個(gè)單位B.向右平移5個(gè)單位

O