河北省三河市第九中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．3．某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．4．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(）A． B． C． D．7．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，則（）A．1 B． C．2 D．38．若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．79．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．12．已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在棱長(zhǎng)為的正方體中，是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題：①存在兩點(diǎn)，使；②存在兩點(diǎn)，使與直線都成的角；③若，則四面體的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.14．已知集合，則____________.15．如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為________.16．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點(diǎn)，，求直線的斜率.18．（12分）某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán)，由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實(shí)數(shù)的值．（2）若，，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若函數(shù)，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說明理由.22．（10分）已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有，扣除郁金香在兩邊有，即可求出結(jié)論.【詳解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題.5、A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.6、C【解析】分析：先求導(dǎo),再對(duì)a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：由題得.當(dāng)a＜1時(shí)，，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增，在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以，所以即令，所以所以函數(shù)g(a)在（1，e）上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)1≤a<e時(shí)，滿足題意.當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、極值等）來分析解答問題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破口.7、C【解析】

連接AO，因?yàn)镺為BC中點(diǎn)，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知，其表達(dá)式中的系數(shù)和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點(diǎn)可得，，、、三點(diǎn)共線，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問題，熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng).令，則，∴，∴（舍）或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式問題，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，求得，再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】，故其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，屬綜合基礎(chǔ)題.11、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．12、A【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋室玫?，只需將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④【解析】

對(duì)于①中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時(shí)，可判斷①正確；當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與直線所成的角最小為，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面，高之和為的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.【詳解】對(duì)于①中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時(shí)，，所以①正確；對(duì)于②中，當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與直線所成的角最小，此時(shí)兩異面直線的夾角為，所以②不正確；對(duì)于③中，設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為，可得平面，平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面，高之和為的棱錐，所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；對(duì)于④中，四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形，其面積為定義，四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.14、【解析】

根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于容易題.15、【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時(shí)，要考慮是否能將其置入正（長(zhǎng)）方體中，是一道中檔題.16、81【解析】

設(shè)數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，因?yàn)椋傻缺葦?shù)列通項(xiàng)公式可得，，解得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式；考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長(zhǎng)公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設(shè)，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因?yàn)橹本€的斜率為1，則，所以，因?yàn)椋跃€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.直線的方程為，即①直線的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，綜上所述，直線的斜率為0.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，，.【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在、之間的學(xué)生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算的值，結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論；（2）從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在之間的學(xué)生人數(shù)為，在之間的學(xué)生人數(shù)為，所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計(jì)男8030110女405090總計(jì)12080200又，所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān).（2）易知從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.19、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故方程①有且僅有唯一解，實(shí)數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時(shí)，，滿足題意．（iii）若時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.又由上式得，當(dāng)時(shí)，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，則需由（*）知，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以．②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（由（*）知）；當(dāng)時(shí)，（由（*）知）．故對(duì)于任意，．綜上述：．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．20、（1）（2）【解析】

（1）將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）利用絕對(duì)值三角不等式，求得的取值范圍，根據(jù)分段函數(shù)解析式，求得的取值范圍，結(jié)合題意列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1），由得或或；解得.故所求解集為.（2），即.由（1）知，所以，即.∴，∴.【點(diǎn)睛】本小題考查了絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值三角不等式和函數(shù)最值問題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想.21、(1)證明見解析；