人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊全冊教學(xué)課件第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第1課時集合的概念基礎(chǔ)知識元素與集合的概念(1)集合：定義把一些能夠確定的、不同的_______匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合(有時簡稱為集)表示方法通常用英文大寫字母A，B，C，…表示對象定義組成集合的每個對象都是這個集合的元素表示方法通常用英文小寫字母a，b，c，…表示(2)元素：如果a是集合A的元素，就記作a∈A,讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，就記作a?A,讀作“a不屬于A”例如：(1)如果A是由所有小于10的自然數(shù)組成的集合，則0∈A，0.5?A；(2)如果B是由方程x2=1的所有解組成的集合，則-1_______B，0_______B，1_______B:(3)如果C是平面上與定點(diǎn)O的距離等于定長r(r>0)的點(diǎn)組成的集合，則對于以O(shè)為圓心、r為半徑的圓O上的每個點(diǎn)P來說，都有P∈C.∈∈?現(xiàn)在我們來考慮方程x+1=x+2的所有解組成的集合，由于該方程無解，因此這個集合不含有任何元素.一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?。由空集的定義可得，0_______?，1_______?.??根據(jù)集合的概念可知，集合的元素具有以下特點(diǎn):(1)確定性：集合的元素必須是確定的。因此，不能確定的對象不能組成集合，即給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素，應(yīng)該可以明確地判斷出來。(2)互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的。

因此，集合中的任意兩個元素必須都是不同的對象，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合中的一個元素，例如，由英語單詞success(成功)中的所有英文字母組成的集合，包含的元素只有4個，即s，u，c，e。(3)無序性：集合中的元素可以任意排列。嘗試與發(fā)現(xiàn)(1)你所在的班級中，身高不低于175cm的同學(xué)能組成一個集合嗎?(2)你所在的班級中，高個子同學(xué)能組成一個集合嗎？為什么?(3)不等式x－2>1的所有解能組成一個集合嗎?(3)的答案都是“能”，但(2)的答案是“不能”，因?yàn)椤案邆€子同學(xué)”不滿足確定性。兩個集合相等定義給定兩個集合A和B，如果組成它們的元素完全相同，就稱這兩個集合相等。表示方法記作A＝B集合的分類(1)集合(2)空集可以看成包含0個元素的集合，所以空集是有限集。有限集：含有有限個元素的集合無線集：含有無限個元素的集合幾種常見的數(shù)集

∈∈∈如不特別聲明，本書中所有字母表示的數(shù)均指實(shí)數(shù)。利用集合的符號，可以簡化有關(guān)描述，比如:“0是整數(shù)”可以表示為“0∈Z”;“π不是有理數(shù)”可以表示為“π?Q”;“如果n是自然數(shù)，那么n+1也是自然數(shù)”可以表示為“如果n∈N，那么n+1∈N”?；A(chǔ)自測1．下列所給的對象能組成集合的是_______(填序號)．①所有的正三角形；②高中數(shù)學(xué)必修第一冊課本上的所有難題；③比較接近1的所有正整數(shù)；④某校高一年級的16歲以下的學(xué)生．①④

解析：①能組成集合。其中的元素需滿足三條邊相等。②不能組成集合。因?yàn)椤半y題”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的，不確定的，故不能組成集合。③不能組成集合。因?yàn)椤氨容^接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能組成集合。④能組成集合．其中的元素是“該校高一年級16歲以下的學(xué)生”。

①④3.方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有解組成的集合中共有____個元素。解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2個元素1和－1。24．已知集合A中含有兩個元素a－1和2a，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為_______.解析：∵2∈A，∴2＝a－1或2＝2a.若2＝a－1，則a＝3.此時集合A中含有兩個元素2，6，符合題意；若2＝2a，則a＝1，此時集合A中含有兩個元素0，2，符合題意。綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為3或1。1或3典例剖析

集合的相關(guān)概念思路探究：根據(jù)集合元素的確定性來判斷。解析：(1)能，因?yàn)槟嘘?duì)員是確定的。(2)能，因?yàn)閤2－1＝0的所有實(shí)根為－1,1，滿足集合中元素的確定性。(3)不能，“近似值”無明確標(biāo)準(zhǔn)，故構(gòu)不成集合。(4)能，因?yàn)榇笥?的整數(shù)是確定的。歸納提升：判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合。同時還要注意集合中元素的互異性、無序性。1．給出下列說法：①中國的所有直轄市可以組成一個集合；②高一(1)班較胖的同學(xué)可以組成一個集合；③正偶數(shù)的全體可以組成一個集合；④大于2014且小于2019的所有整數(shù)不能組成集合．其中正確的有_______(填序號)．①③

對點(diǎn)訓(xùn)練解析：②中由于“較胖”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合元素的確定性，所以②錯誤；④中大于2014且小于2019的所有整數(shù)能組成集合，所以④錯誤。典例剖析(1)下列結(jié)論中，不正確的是(

)A．若a∈N，則－a?N

B．若a∈Z，則a2∈ZC．若a∈Q，則|a|∈Q

D．若a∈R，則a3∈RA

元素與集合的關(guān)系

A

思路探究：研究元素與集合的關(guān)系關(guān)鍵是明確集合由哪些

元素構(gòu)成的。

歸納提升：判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接給出的；②判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可。(2)推理法①使用前提：對于某些不便直接表示的集合；②判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可。對點(diǎn)訓(xùn)練

B

典例剖析集合中元素的特性及應(yīng)用已知－3是由x－2，2x2＋5x，12三個元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值。思路探究：－3是集合中的元素說明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分類討論求解。

求解檢驗(yàn)作答根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進(jìn)行檢驗(yàn)寫出所有符合題意的字母的取值對點(diǎn)訓(xùn)練3．若集合A中含有兩個元素a－3和2a－1，已知－3是A中的元素，

如何求a的值？解析：∵－3是A中的元素，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0.此時集合中含有兩個元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a－1，則a＝－1，此時集合中含有兩個元素－4，－3，符合要求．綜上所述：滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法第2課時集合的表示方法基礎(chǔ)知識列舉法把集合中的元素一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號分隔)，并寫在大括號內(nèi)，以此來表示集合的方法稱為列舉法。思考1：用列舉法可以表示無限集嗎？提示：可以。但構(gòu)成集合的元素必須具有明顯的規(guī)律，并且表示時要把元素間的規(guī)律呈現(xiàn)清楚，如正整數(shù)集N＋可表示為{1,2,3,4,5,6，…}．例如，由兩個元素0，1組成的集合可用列舉法表示為{0，1};又如，24的所有正因數(shù)1，2，3，4，6，8，12，24組成的集合可用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24};再如，中國古典長篇小說四大名著組成的集合可以表示為{《紅樓夢》，《三國演義》，《水滸傳》，《西游記》}.用列舉法表示集合時，一般不考慮元素的順序，例如，{1，2}與{2，1}表示同一個集合。但是，如果一個集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不至于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示。例如，不大于100的自然數(shù)組成的集合，可表示為{0，1，2，3，...，100}，無限集有時也可用列舉法表示。例如，自然數(shù)集N可表示為

{0，1，2，3，...，n，…}，值得注意的是，只含一個元素的集合{a}也是一個集合，要將這個集合與它的元素a

加以區(qū)別，事實(shí)上，a∈{a}描述法嘗試與發(fā)現(xiàn)以下集合用列舉法表示方便嗎?如果不方便，你覺得可以怎樣表示?滿足x>3的所有數(shù)組成的集合A;(2)所有有理數(shù)組成的集合Q.顯然，用列舉法表示上述集合并不方便，但因?yàn)榧螦中的元素x都具有性質(zhì)“x是大于3的數(shù)”，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)所以可以把集合A表示為{x

|x是大于3的數(shù)}或{x|

x>3},即A={x|x是大于3的數(shù))或A={x|x>3}.類似地，Q中的每一個元素都具有性質(zhì)“是兩個整數(shù)的商”，而不屬于Q的元素都不具有這個性質(zhì)，因此可以把Q表示為Q＝{x

|x是兩個整數(shù)的商}

上述表示集合的方法中，大括號內(nèi)豎線的左邊是元素的形式，豎線的右邊是只有這個集合中的元素才滿足的性質(zhì)。一般地，如果屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這個性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個特征性質(zhì)。此時，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)}這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱為描述法。例如，“一組對邊平行且相等的四邊形”是平行四邊形的一個特征性質(zhì)，因此所有平行四邊形組成的集合可以表示為{x|x是一組對邊平行且相等的四邊形}又如，所有能被3整除的整數(shù)組成的集合，可以用描述法表示為{x|x=3n，n∈Z}類似地，所有被3除余1的自然數(shù)組成的集合可以表示為{x|x=3n+1，n∈N}不過這一集合通常也表示為{x∈N|x=3n+1，n∈Z}這就是說，集合{x|p(x)}中所有在另一個集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I

|p(x)}典例精析用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希悍匠蘹(x－1)=0的所有解組成的集合A；平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合B.(1)因?yàn)?和1是方程x(x－1)0的解，而且這個方程只有兩個解，所以A={0，1}.(2)因?yàn)榧螧的特征性質(zhì)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都大于零，因此B={(x，y)|x>0，y>0)}.思考2：用列舉法與描述法表示集合的區(qū)別是什么？提示：列舉法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，an}{x∈I|p(x)}適用范圍有限集或規(guī)律性較強(qiáng)的無限集有限集、無限集均可特點(diǎn)直觀、明了抽象、概括習(xí)慣上，如果a<b，則集合{x|

a≤x≤b}可簡寫為[a，b]，并稱為閉區(qū)間，例如，集合{x

|1≤x≤2)可簡寫為閉區(qū)間[1，2]。類似地，如果a<b;集合{x|

a＜x＜b}可簡寫為(a，b)，并稱為開區(qū)間；集合{x|

a≤x＜b}可簡寫為[a，b)，集合{x|

a＜x≤b}可簡寫為(a，b]，并都稱為半開半閉區(qū)間。上述區(qū)間中，a，b分別稱為區(qū)間的左、右端點(diǎn)，b－a稱為區(qū)間的長度，區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示。例如，區(qū)間[-2，1)可用下圖表示，注意圖中-2處的點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)，而1處的點(diǎn)是空心點(diǎn)。如果用“+∞”表示“正無窮大”，用“－∞”表示“負(fù)無窮大”，則：實(shí)數(shù)集R可表示為區(qū)間(－∞，+∞);集合{x|x≥a}可表示為區(qū)間[a，+∞);集合{x|x＞a}可表示為區(qū)間____________；集合{x|x≤a}可表示為區(qū)間____________；集合{x|x＜a}可表示為區(qū)間____________；(a，+∞)(－∞，a](－∞，a)類似地，上述區(qū)間也可用數(shù)軸來形象地表示。例如，區(qū)間[7，+∞)可以用下圖表示。7x思考3：區(qū)間與數(shù)集有何關(guān)系？提示：(1)聯(lián)系：區(qū)間實(shí)際上是一類特殊的數(shù)集(連續(xù)的)的符號表示，是集合的另一種表達(dá)形式；(2)區(qū)別：不連續(xù)的數(shù)集不能用區(qū)間表示，如整數(shù)集、自然數(shù)集等；(3)區(qū)間與區(qū)間之間可以用集合的運(yùn)算符號連接起來，表示兩個集合之間的運(yùn)算。典例精析

基礎(chǔ)自測1．用列舉法表示集合{x∈N*|x－3≤2}為(

)A．{0,1,2,3,4}

B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4}

D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素為小于等于5的全部正整數(shù)，則{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．D

2．第一象限的點(diǎn)組成的集合可以表示為(

)A．{(x，y)|xy>0}

B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0}

D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都大于0，所以第一象限的點(diǎn)組成的集合可以表示為{(x，y)|x>0且y>0}．C

3.能被2整除的正整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為____________________.4.下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全體實(shí)數(shù)}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集為{x－5>0}．其中，集合表示方法正確的是_____(填序號)．5.(1){x|－1≤x≤2)}可用區(qū)間表示為___________；(2){x|1<x≤3}可用區(qū)間表示為_________；(3){x|x>2}可用區(qū)間表示為____________；(4){x|x≤－2}可用區(qū)間表示為______________.{x|x＝2n，n∈N*}

③

[－1,2]

(1,3]

(2，＋∞)

(－∞，－2]

典例剖析用列舉法表示集合用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)構(gòu)成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根構(gòu)成的集合；

思路探究：(1)要明確公約數(shù)的含義；(2)注意4是重根；(3)要寫成點(diǎn)集形式。

x－y=12x+3y=4的解是

歸納提升：1.用列舉法表示集合的三個步驟(1)求出集合的元素。(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次。(3)用花括號括起來。2．在用列舉法表示集合時的關(guān)注點(diǎn)(1)用列舉法書寫集合時，先應(yīng)明確集合中的元素是什么．如本題(4)是點(diǎn)集，而非數(shù)集．集合的所有元素用有序數(shù)對表示，并用“{}”括起來，元素間用分隔號“，”。(2)元素不重復(fù)，元素?zé)o順序，所以本題(1)中，{1,1,2}為錯誤表示。又如集合{1,2,3,4}與{2,1,4,3}表示同一集合。對點(diǎn)訓(xùn)練

用描述法表示集合

思路探究：用描述法表示集合時，關(guān)鍵要先弄清元素的屬性是什么，再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“x∈N”等條件。解析：(1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0且y>0}．(3)要使該式有意義，需有解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0}．x≠02－x≥0，歸納提升：用描述法表示集合應(yīng)注意的問題1．寫清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他形式。2．準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征。3．所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的符號。4．用于描述的語句力求簡明、準(zhǔn)確，多層描述時，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關(guān)系。對點(diǎn)訓(xùn)練2．給出下列說法：①在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為{(x，y)|xy>0}；②所有奇數(shù)組成的集合為{x|x＝2n＋1}；③集合{(x，y)|y＝1－x}與{x|y＝1－x}是同一集合．其中正確的有(

)A．1個 B．2個C．3個 D．4個A

解析：①正確；②不正確，應(yīng)為{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③不正確，{(x，y)|y＝1－x}表示的是點(diǎn)集，而{x|y＝1－x}表示的為數(shù)集．集合與方程的綜合問題(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個元素，則a＝(

)A．1

B．2 C．0

D．0或1D

思路探究：(1)集合只有一個元素，即方程ax2＋2x＋1＝0只有一根；(2)先求出a的值，再求元素之積。

歸納提升：集合與方程綜合問題的解題策略(1)對于一些已知某個集合(此集合中涉及方程)中的元素個數(shù)，求參數(shù)的問題，常把集合的問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題．如對于方程ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)a＝0，b≠0時，方程有一個解；當(dāng)a≠0時，若Δ＝0，則方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；若Δ<0，則方程無解；若Δ>0，則方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根。(2)集合與方程的綜合問題，一般要求對方程中最高次項(xiàng)的系數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定方程實(shí)數(shù)根的情況，進(jìn)而求得結(jié)果．需特別注意判別式在一元二次方程的實(shí)數(shù)根個數(shù)的討論中的作用。對點(diǎn)訓(xùn)練3．(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值。(2)若本例(1)中“只有一個元素”變?yōu)椤爸辽儆幸粋€元素”，

求a的取值范圍。解析：(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的兩根為2,3，∴4－2a+b=0，9－3a+b=0，解得a=5，b=6，因此a=5，b=6(2)A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素。由例題解析可知，當(dāng)a＝0或a＝1時，A中有一個元素；當(dāng)A中有兩個元素時，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0.所以A中至少有一個元素時，a的取值范圍為(－∞，1]。對集合中的代表元素認(rèn)識不到位用列舉法表示下列集合：(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(3)C={方程組的解}.x＋y=3x－y=－1錯因探究：(1)本題容易忽略集合的代表元素是y，習(xí)慣認(rèn)為是x，誤認(rèn)為A＝{0,1,2}．(2)本題容易忽略代表元素，把點(diǎn)集誤認(rèn)為數(shù)集，導(dǎo)致錯誤答案B＝{0,6,1,5,2}．(3)本題容易對“方程組的解為有序?qū)崝?shù)對”認(rèn)識不到位，導(dǎo)致錯誤答案C＝{1,2}．解析：(1)因?yàn)閥＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以當(dāng)x＝0,1,2時，y＝6,5,2，符合題意，所以用列舉法表示為A＝{2,5,6}．(2)(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有

滿足條件，所以用列舉法表示為B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．x=0,y=6,x=1,y=5,x=2,y=2,(3)方程組

的解是有序?qū)崝?shù)對，其解的集合可以表示為

，用列舉法表示為{(1,2)}．x＋y=3,x－y=－1,(x，y)|x=1,y=2,誤區(qū)警示：當(dāng)用描述法表示集合時，要注意其表達(dá)符號(花括號、豎線)，豎線前表示代表元素，豎線后為元素的特征性質(zhì)．看一個集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性質(zhì)是什么。集合中的“新定義”問題“新定義”型集合問題就是在已有的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，結(jié)合已學(xué)的集合知識來求解的一種新型集合問題。由于“新定義”題目形式新穎，強(qiáng)調(diào)能力立意，突出對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，特別能夠考查學(xué)生“后繼學(xué)習(xí)”的能力，因此在近年來成為各類考試的熱點(diǎn)．新定義可能以文字形式出現(xiàn)，也可能以數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)式子的形式出現(xiàn)，求解此類問題時，應(yīng)充分利用題目中所給的信息，準(zhǔn)確將其轉(zhuǎn)化為已掌握的知識進(jìn)行求解。典例剖析定義集合運(yùn)算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B中所有元素之和為(

)A．0

B．2

C．3

D．6分析：欲求A*B中所有元素之和，需先確定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含義。D

解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得結(jié)果，∴只需把A中任意元素與B中任意元素相乘即可?！?×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0,2,4}，∴所有元素之和為0＋2＋4＝6.規(guī)律方法：(1)理解新定義。例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意兩個元素相乘得來的。(2)運(yùn)用新定義．例如，本例給出具體的A、B，求A*B。(3)不要被新符號迷惑．例如，本例中的新符號“*”，把它看成新定義的運(yùn)算，就像“＋”“－”“×”“÷”一樣，用符號表示運(yùn)算法則。完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.2集合的基本關(guān)系基礎(chǔ)知識給定集合A={1，3}，B={1，3，5，6}，容易看出，集合A的任意一個元素都是集合B的元素。一般地，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記作1.子集對應(yīng)地，如果A不是B的子集，則記作AB(或BA)讀作“A不包含于B”(或“B不包含A”).A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”).嘗試與發(fā)現(xiàn)根據(jù)子集的定義判斷，如果A={1，2，3}，那么A?A嗎?(2)你認(rèn)為可以規(guī)定空集?是任意一個集合的子集嗎？為什么?不難看出，依據(jù)子集的定義，任意集合A都是它自身的子集，即A?A.因?yàn)榭占话魏卧兀晕覀円?guī)定：空集是任意一個集合A的子集，即??A.一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A

稱為集合B

的真子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A

真包含于B”(或“B真包含A”)。1.真子集例如，分析集合A={1，2)，B={1，2,3，4}之間的關(guān)系，可知A是B的子集(即A?B)，而3∈B且3?A，因此A是B的真子集，即A?B.BA如果用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來表示集合，那么我們就可作出示意圖來形象地表示集合之間的關(guān)系，這種示意圖通常稱為維恩圖，例如，A是B的真子集，可用右圖表示。根據(jù)子集、真子集的定義可知:對于集合A，B，C，如果A?B，B?C，則A?C；對于集合A，B，C，如果A?B，B?C，則A?C.典例精析例1.寫出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集。分析：如何才能一個不漏地寫出這個集合的所有子集呢？注意到集合A含有3個元素，因此它的子集含有的元素個數(shù)為0，1，2，3?？梢老铝胁襟E來完成此題：寫出元素個數(shù)為0的子集，即?；(2)寫出元素個數(shù)為1的子集，即{6}，{7}，{8};(3)寫出元素個數(shù)為2的子集，即______________________;(4)寫出元素個數(shù)為3的子集，即______________________.解：集合A的所有子集是?，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}。在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集。{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}例2.已知區(qū)間A=(－∞，2]和B=(－∞，a)，且B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：因?yàn)榧螧的元素都是集合A的元素，所以可用數(shù)軸表示它們的關(guān)系，如圖所示。從而可知a≤2.3.集合的相等與子集的關(guān)系情境與問題已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={－1，－2}，這兩個集合的元素有什么關(guān)系？S?T嗎？T?S嗎？你能由此總結(jié)出集合的相等與子集的關(guān)系嗎?上述問題中，組成S的元素與組成T的元素完全相同，即S=T；另外，由子集的定義可知S?T且T?S.一般地，由集合相等以及子集的定義可知：如果A?B且B?A，則A=B；(2)如果

A=B，則A?B

且B?A.典例精析例3.寫出下列每對集合之間的關(guān)系：(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5};(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；(3)E=(－∞，3)，F(xiàn)=(－1，2];(4)G={x|x是對角線相等且互相平分的四邊形}，

H={x|x是有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形).分析：因?yàn)榧现g的關(guān)系是通過元素來定義的，

所以只要針對集合中的元素進(jìn)行分析即可。解：(1)因?yàn)锽的每個元素都屬于A，而4∈A且4?B，所以B?A(2)不難看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C=D.(3)在數(shù)軸上表示出區(qū)間E和F，如圖所示由圖可知F?E(4)如果x∈G，則x是對角線相等且互相平分的四邊形，所以x是矩形，從而可知x是有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形，所以x∈H，因此G?H.反之，如果x∈H，則x是有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形，所以x是矩形，從而可知x是對角線相等且互相平分的四邊形，所以x∈G，因此H?G.綜上可知，G=H.由上可以看出，當(dāng)A是B的子集時，要么A是B的真子集，要么A與B相等?；A(chǔ)自測1．已知A＝{1,2}，則A的子集共____個．解析：∵A＝{1,2}，∴A的子集有?，{1}，{2}，{1,2}，共4個。2．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，則這三個集合中具有相等關(guān)系的是__________.解析：M＝{－2,1}，N＝{1，－2}，P表示的為在函數(shù)y＝(x－1)(x＋2)圖像上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，故M＝N.4

M和N

3．設(shè)a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，則a＝______.解析：由題意知1－a＝2，∴a＝－1.4．若A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，試用Venn圖表示它們之間的關(guān)系．解析：根據(jù)幾何圖形的相關(guān)知識明確各元素所在集合之間的關(guān)系，再畫Venn圖．如圖所示．－1

集合間關(guān)系的判斷下列各個關(guān)系式中，正確的是(

)D

歸納提升：1.判斷集合間關(guān)系的常用方法2．已知集合相等求參數(shù)的方法從集合相等的概念入手，尋找兩個集合中元素之間的關(guān)系。首先分析一個集合中的元素與另一個集合中哪個元素相等，共有幾種情況，然后通過列方程或方程組求解。當(dāng)集合中未知元素不止一個時，往往要分類討論。求出參數(shù)值后要注意檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性。對點(diǎn)訓(xùn)練1.能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2)和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關(guān)系的Venn圖是(

)B

－2

確定集合的子集、真子集集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的個數(shù)是(

)A．16

B．8

C．7

D．4C

解析：因?yàn)?≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，

所以A的真子集的個數(shù)為23－1＝7.歸納提升：求解有限集合的子集的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)確定所求集合。(2)合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出。(3)注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身。另外，一般地，若集合A中有n個元素，則其子集有2n個，真子集有(2n－1)個，非空真子集有(2n－2)個。對點(diǎn)訓(xùn)練1.已知集合A＝{－1,0,1}，則含有元素0的A的子集的個數(shù)為(

)A．2

B．4

C．6

D．82.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集及真子集。B

解析：1.根據(jù)題意，含有元素0的A的子集為{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4個．2.∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，∴A的子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．混淆集合間的屬于和包含關(guān)系誤區(qū)警示：判斷集合之間的關(guān)系不能僅憑表面的理解，應(yīng)當(dāng)注意觀察集合中元素之間的關(guān)系．集合之間一般為包含或相等關(guān)系，但當(dāng)以集合為元素組成集合時，集合間也可能為屬于關(guān)系。解題時要思考兩個問題：(1)兩個集合中的元素分別是什么；(2)兩個集合中元素之間的關(guān)系是什么。根據(jù)子集的關(guān)系，確定參數(shù)的值對于兩個集合A、B，若A或B中含有待確定的參數(shù)(字母)，且A?B或A＝B，則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關(guān)系”，解決這類問題時常采用分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法。1．分類討論是指：(1)A?B在未指明集合A非空時，應(yīng)分A＝?和A≠?兩種情況來討論。(2)因?yàn)榧现械脑厥菬o序的，由A?B或A＝B得出的兩個集合中的元素對應(yīng)相等的情況可能有多種，因此需要分類討論。2．?dāng)?shù)形結(jié)合是指對A≠?這種情況，在確定參數(shù)時，需要借助數(shù)軸來完成，將兩個集合在數(shù)軸上表示出來，分清實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)，確定兩個集合之間的包含關(guān)系，列不等式(組)求出參數(shù)。3．解決集合中含參數(shù)問題時，最后結(jié)果要注意驗(yàn)證。驗(yàn)證是指：(1)分類討論求得的參數(shù)的值，還需要代入原集合中看是否滿足集合元素的互異性．(2)所求參數(shù)的取值范圍能否取到端點(diǎn)值。由集合相等求參數(shù)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值。思路探究：集合A與集合B中除公共元素a外，另外兩個元素應(yīng)分別對應(yīng)相等。完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.3集合的基本運(yùn)算第1課時交集與并集基礎(chǔ)知識1.交集情境與問題學(xué)校高一年級準(zhǔn)備成立一個科學(xué)興趣小組，招募成員時要求同時滿足：(1)中考的物理成績不低于80分;(2)中考的數(shù)學(xué)成績不低于70分.如果滿足條件(1)的同學(xué)組成的集合記為P，滿足條件(2)的同學(xué)組成的集合記為M，而能成為科學(xué)興趣小組成員的同學(xué)組成的集合記為S，那么這三個集合之間有什么聯(lián)系呢?可以看出，集合S中的元素既屬于集合P，又屬于集合M.一般地，給定兩個集合A，B，由既屬于A又屬于B的所有元素(即A和B的公共元素)組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B,讀作“A交B”。兩個集合的交集可用右圖所示的陰影部分形象地表示。因此，上述情境與問題中的集合滿足P∩M=S.例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x軸與y軸相交于坐標(biāo)原點(diǎn)，用集合語言可以表示為{(x，y)|y=0}∩{(x，y)|x=0}=__________.{(0，0)}

從定義可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法則構(gòu)造出一個新集合，因此“交”可以看成集合之間的一種運(yùn)算，通常稱為交集運(yùn)算。交集運(yùn)算具有以下性質(zhì)，對于任意兩個集合A，B，都有：(1)A∩B=B∩A；(2)A∩A=A；(3)A∩?=?∩A=?；(4)如果A?B，則A∩B=A，反之也成立。思考1：兩個非空集合的交集可能是空集嗎？提示：兩個非空集合的交集可能是空集，即A與B無公共元素時，A與B的交集仍然存在，只不過這時A∩B＝?。反之，若A∩B＝?，則A，B這兩個集合可能至少有一個為空集，也可能這兩個集合都是非空的，如：A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8,10}，此時A∩B＝?.典例精析例1.求下列每對集合的交集：(1)A={1，－3}，B={－1，－3};(2)C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8};(3)E=(1，3]，F(xiàn)=[－2，2).解：(1)因?yàn)锳和B的公共元素只有－3，所以A∩B=_________(2)因?yàn)镃和D沒有公共元素，所以C∩D=?(3)在數(shù)軸上表示出區(qū)間E和F，如圖所示由圖可知E∩F=(1，2).{－3}

例2已知A={x|x是菱形}，B={x|x是矩形}，求A∩B.解：A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}我們經(jīng)常使用的“且”可以借助集合的交集來理解。例如，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(x，y)在第一象限的條件是：橫坐標(biāo)大于0且縱標(biāo)大于0，用集合的語言可以表示為{(x，y)|x>0}∩{(x，y)|y>0}={(x，y)|x>0，y>0},也就是說，為了保證點(diǎn)(x，y)在第一象限，條件橫坐標(biāo)大于0與縱坐標(biāo)大于0要同時成立。2.并集情境與問題某班班主任準(zhǔn)備召開一個意見征求會，要求所有上一次考試中語文成績低于70分或英語成績低于70分的同學(xué)參加，如果記語文成績低于70分的所有同學(xué)組成的集合為M，英語成績低于70分的所有同學(xué)組成的集合為N，需要去參加意見征求會的同學(xué)組成的集合為P，那么這三個集合之間有什么聯(lián)系呢?可以看出，集合P中的元素，要么屬于集合M，要么屬于集合N.一般地，給定兩個集合A，B，由這兩個集合的所有元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B,讀作“A并B”兩個集合的并集可用下圖(1)或(2)所示的陰影部分形象地表示，由A，B構(gòu)造出A∪B，通常稱為并集運(yùn)算。因此，上述情境與問題中的集合滿足M∪N=P.例如，{1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6}.注意，同時屬于A和B的元素，在A∪B中只出現(xiàn)一次。嘗試與發(fā)現(xiàn)類比交集運(yùn)算的性質(zhì)，探索得出并集運(yùn)算的性質(zhì)，對于任意兩個集合A，B，都有:(1)A∪B=__________(2)A∪A=__________;(3)A∪?=?∪A=__________(4)如果A?B，則A∪B=__________，反之也成立。B∪AAAB例3已知區(qū)間A=(－3，1)，B=[－2，3]，求A∩B，A∪B.在數(shù)軸上表示出A和B，如圖所示.由圖可知A∩B=_____________，A∪B_____________.[－2，1)(－3，3]

典例精析我們經(jīng)常使用的“或”可以借助集合的并集來理解。例如，x≥0的含義是x>0或x=0，這可以用集合語言表示為{x|x≥0}={x|x>0或x=0}={x|x>0}∪{x|x=0}，也就是說，為了保證x≥0，條件x>0與x=0只要有一個成立即可.思考2：集合A∪B中的元素個數(shù)如何確定？提示：①當(dāng)兩個集合無公共元素時，A∪B的元素個數(shù)為這兩個集合元素個數(shù)之和；②當(dāng)兩個集合有公共元素時，根據(jù)集合元素的互異性，同時屬于A和B的公共元素，在并集中只列舉一次，所以A∪B的元素個數(shù)為兩個集合元素個數(shù)之和減去公共元素的個數(shù)。交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)A∩B＝B∩AA∪B＝B∪AA∩A＝AA∪A＝AA∩?＝?∩A＝?A∪?＝?∪A＝A如果A?B，則__________，反之也成立如果A?B，則__________，反之也成立A∩B＝A

A∪B＝B

3.交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)基礎(chǔ)自測1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝(

)A．{0,1}

B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2}

D．{－1,0,1}解析：M∪N＝{－1,0,1,2}．C

2．設(shè)集合M＝(－3,2)，N＝[1,3]，則M∩N＝(

)A．[1,2)

B．[1,2]C．(2,3]

D．[2,3]A

3.已知集合M＝{x|x2＝9}，N＝{x|－3≤x<3，x∈Z}，則M∩N＝(

)A．? B．{－3}C．{－3,3}

D．{－3，－2,0,1,2}解析：由題意，得M＝{－3,3}，由于N＝{－3，－2，－1,0,1,2}，則M∩N＝{－3}．B

4．若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，則A∪B＝________________，A∩B＝________________.5．已知A＝{－1}且A∪B＝{－1,3}，則所有滿足條件的集合B＝________________.{x|－5<x<3}

{x|－3<x<2}

{3}或{－1,3}

交集的運(yùn)算典例剖析(1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝(

)A．{0,2}

B．{1,2}C．{0}

D．{－2，－1,0,1,2}(2)已知A＝{x|x≤－2或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，則A∩B＝_________.A

(5,7]

(3)集合A＝[－2,5]，集合B＝[m＋1,2m－1]．①若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；②若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．思路探究：(1)可直接根據(jù)集合運(yùn)算的含義分析求解。(2)(3)中將集合A和B在數(shù)軸上表示出來，再結(jié)合集合運(yùn)算的定義求解。歸納提升：求兩個集合的交集的方法(1)對于元素個數(shù)有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可。(2)對于元素個數(shù)無限的集合，一般借助數(shù)軸求交集，兩個集合的交集等于兩個集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點(diǎn)值的取舍。對點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知集合P＝(－∞，0)，Q＝(－∞，1]，則P∩Q＝__________.(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求實(shí)數(shù)a的值．解析：(1)因?yàn)镻＝(－∞，0)，Q＝(－∞，1]，故P∩Q＝(－∞，0)．(－∞，0)

(2)因?yàn)锳∩B＝{－3}，所以－3∈B.而a2＋1≠－3，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.①當(dāng)a－3＝－3時，a＝0.A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，于是A∩B＝{－3,1}，這樣與A∩B＝{－3}矛盾；②當(dāng)2a－1＝－3時，a＝－1，符合A∩B＝{－3}，綜上知a＝－1.典例剖析并集的運(yùn)算設(shè)集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|－2<x<2}，求A∪B.思路探究：首先明確集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集，然后借助于數(shù)軸寫出A∪B.歸納提升：求集合并集的方法(1)兩集合用列舉法給出：①依定義，直接觀察求并集；②借助維恩圖寫并集。(2)兩集合用描述法給出：①直接觀察，寫出并集；②借助數(shù)軸，求出并集。(3)一個集合用描述法，另一個用列舉法：①直接觀察，找出并集；②借助圖形，觀察寫出并集。對點(diǎn)訓(xùn)練2．(1)設(shè)集合A＝{x|－4<x－1<2}，B＝{x|2x∈N}，則A∩B的元素的個數(shù)為____.(2)已知集合M＝{0,1}，則滿足M∪N＝{0,1,2}的集合N的個數(shù)是____.6

4

集合運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用典例剖析已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m構(gòu)成的集合為_____________.歸納提升：利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等問題，解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解。(2)關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合A?B時，若集合A不確定，運(yùn)算時要考慮A＝?的情況，否則易漏解。對點(diǎn)訓(xùn)練3．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若A∪B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。完成課后相關(guān)練習(xí)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合

1.1.3集合的基本運(yùn)算第2課時補(bǔ)集及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識3.補(bǔ)集情境與問題如果學(xué)校里所有同學(xué)組成的集合記為S，所有男同學(xué)組成的集合記為M，所有女同學(xué)組成的集合記為F，那么：這三個集合之間有什么聯(lián)系?(2)如果x∈S且x?M，你能得到什么結(jié)論?可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果x∈S且x?M，則一定有x∈F.在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，全集通常用U

表示如果集合A是全集U的一個子集，則由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補(bǔ)集，記作?UA讀作“A在U中的補(bǔ)集”，由全集U及其子集A得到?UA，通常稱為補(bǔ)集運(yùn)算.集合的補(bǔ)集也可用維恩圖形象地表示，其中全集通常用矩形區(qū)域代表，如圖所示。因此，上述情境與問題中的集合滿足?sF=M?sM=F例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則?UA={2，4，6}注意，此時?UA仍是U的一個子集，因此?U(?UA)也是有意義的，此例中的?U(?UA)={1，3，5}=A

事實(shí)上，給定全集U及其任意一個子集A，補(bǔ)集運(yùn)算具有如下性質(zhì)：(1)A∪(?UA)=U；(2)A∩(?UA)=?;(3)?UA(?UA)=A.典例精析已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x2≤7}，B={x∈U|0＜2x≤7}，求?UA，?UB，(?UA)∪(?UB)，?U(A∩B).分析：注意U中的元素都是自然數(shù)，而且A，B都是U的子集.解：不難看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3}.因此?UA={3，4，5，6，7}?UB={0，4，5，6，7}(?UA)∪(?UB)={0，3，4，5，6，7}?U(A∩B)={0，3，4，5，6，7}

解：在數(shù)軸上表示出A和B，如圖所示.由圖可知?RA=___________，?RB____________.

基礎(chǔ)自測1．設(shè)集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，則?UM＝(

)A．{x|0≤x≤2}

B．{x|0<x<2}C．{x|x<0或x>2}

D．{x|x≤0或x≥2}解析：如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}．A

2．已知全集U＝{x|－5<x<5，x∈Z}，A＝{0,1,2}，則?UA＝___________________________________.解析：易知U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，故?UA＝{－4，－3，－2，－1,3,4}．{－4，－3，－2，－1,3,4}

3．下列說法正確的是___________(填序號)．①全集一定包含任何元素；②同一個集合在不同的全集中補(bǔ)集不同；③不同的集合在同一個全集中的補(bǔ)集也不同．②③

4．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，則集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的補(bǔ)集?UA＝______________.解析：借助數(shù)軸易得?UA＝{x∈R|0<x≤2}．{x|0<x≤2}

5．設(shè)全集為U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，則U＝___________.解析：∵M(jìn)＝{0,2,4}，?UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}．{0,2,4,6}

補(bǔ)集的運(yùn)算典例剖析已知全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<3}，集合B＝{x|x<1}．求：(1)?UA，?UB；(2)?U(A∩B)．思路探究：(1)根據(jù)補(bǔ)集的定義，借助于數(shù)軸寫出；(2)先求A∩B，再根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出。歸納提升：求集合補(bǔ)集的方法(1)當(dāng)集合用列舉法表示時，可借助維恩圖求解。(2)當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解。對點(diǎn)訓(xùn)練(1)若全集U＝{0,1,2,3}且?UA＝{2}，則集合A的真子集共有(

)A．3個 B．5個C．7個 D．8個(2)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，則?UA＝___________________.C

{－3}∪(4，＋∞)

解析：(1)因?yàn)閁＝{0,1,2,3}且?UA＝{2}，所以A＝{0,1,3}，所以集合A的真子集共有7個．(2)借助數(shù)軸得?UA＝{－3}∪(4，＋∞)．交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算典例剖析(1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.(2)全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.思路探究：(1)可借助數(shù)軸分析求解。(2)將集合用維恩圖表示出來，進(jìn)行觀察易寫出集合A和B中的元素；也可直接根據(jù)集合運(yùn)算的含義分析求解。解析：(1)把全集U和集合A，B在數(shù)軸上表示(如圖所示)，由圖可知?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，?U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，(?UA)∩B＝{x|－3<x≤－2，或x＝3}．(2)方法一：根據(jù)題意作出維恩圖如圖所示．由圖可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．方法二：∵(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，∴?UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}．∴A＝{1,3,9}．歸納提升：解決集合運(yùn)算問題的方法1.解決集合的混合運(yùn)算問題時，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分，如求(?UA)∩B時，先求出?UA，再求交集；求?U(A∪B)時，先求出A∪B，再求補(bǔ)集。2.當(dāng)集合是用列舉法表示時(如數(shù)集)，可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合是用描述法表示時(如區(qū)間形式表示的集合)，則可運(yùn)用數(shù)軸求解。對點(diǎn)訓(xùn)練(1)如圖所示，I是全集，M，P，S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是(

)A．(M∩P)∩S

B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩?IS

D．(M∩P)∪?IS(2)已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2,3)，B＝[－3,2]，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．C

典例剖析補(bǔ)集運(yùn)算中的參數(shù)問題(1)設(shè)全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求實(shí)數(shù)a的值．(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪?RB＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.思路探究：解題時要注意對參數(shù)取值的檢驗(yàn)．(1)中需對a的值是否滿足A?U進(jìn)行檢驗(yàn)．(2)中要驗(yàn)證“＝”能否取到．a(chǎn)≥2

解析：(1)∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.∴U＝{2,3，a2＋2a－3}＝{2,3,5}．當(dāng)a＝2時，A＝{|2a－1|,2}＝{3,2}，A?U，符合題意；當(dāng)a＝－4時，A＝{|2a－1|,2}＝{9,2}，A不是U的子集，故舍去．∴a＝2.(2)?RB＝{x|x≤1，或x≥2}，由于A∪?RB＝R，如圖所示，所以a≥2.歸納提升：由集合的補(bǔ)集求解參數(shù)的方法(1)有限集：由補(bǔ)集求參數(shù)問題，若集合中元素個數(shù)有限時，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合知識求解。(2)無限集：與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題，若集合中元素有無限個時，一般借助數(shù)軸分析求解。對點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，令集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，因?yàn)锽＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是[2，＋∞)．補(bǔ)集思想的應(yīng)用——正難則反典例剖析若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1個元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________________.思路探究：若采取分類討論的方法，所分情況較多，求解比較麻煩，可考慮構(gòu)造“補(bǔ)集”，然后再利用“補(bǔ)集”的補(bǔ)集求解。歸納提升：運(yùn)用補(bǔ)集思想解題的步驟當(dāng)從正面考慮情況較多，問題較復(fù)雜時，往往考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想。其解題步驟為：第一步，否定已知條件，考慮反面問題；第二步，求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍；第三步，取反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍的“補(bǔ)集”。對點(diǎn)訓(xùn)練已知集合A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________________.解析：因?yàn)锳＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，我們不妨先考慮當(dāng)A∩B＝?時a的取值范圍，在數(shù)軸上表示集合A，B，如圖所示．忽視全集已知集合A＝{x|x2－4mx＋1＝0，x∈R}，B＝(－∞，0)，若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。典例剖析誤區(qū)警示：當(dāng)出現(xiàn)“至少”“至多”或正面直接求解情況較多時，我們可以考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想去解決，但必須明確全集是誰，只有正確求出全集，才可能求出補(bǔ)集。圖示法典例剖析進(jìn)行集合的交、并綜合運(yùn)算時，為了保證運(yùn)算的準(zhǔn)確性、有效性、簡捷性，通常需要借助Venn圖或數(shù)軸這兩個有力的工具，數(shù)形結(jié)合來分析得出結(jié)果。一般來說，用列舉法表示的數(shù)集或者研究比較抽象的集合之間關(guān)系時，用Venn圖比較方便，如(?