§1-5無窮小的比較例如,極限不同,反映了無窮小趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限都是無窮小.不存在比x要快得多；與x大致相同；1定義：記作：(1)如果就說是比較高階的無窮?。?2)如果就說是比較低階的無窮小；(3)如果就說與同階的無窮小,(4)如果就說是關于的k階無窮小.記作：設是同一過程中的兩個無窮小，且特別地,若C=1時,就說與是等價的無窮??；2如又如例1證令則類似可證3例2求解令則當并且恒有所以例3求證證1.4例3求其中解令則取對數(shù)有于是1.則注意5證等價無窮小代換定理且存在（或無窮大）則也存在(或無窮大),且=若（等價無窮小代換定理）(或無窮大),6例4

求解例5求解0.7例6解解錯

8例7解只可對函數(shù)的乘積因子作等價無窮小代換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.切記:若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式則可對其中的的極限．原式9§1-6函數(shù)的連續(xù)性（一）一、連續(xù)函數(shù)的概念xy12o觀察圖形的連續(xù)性發(fā)現(xiàn)：在處無定義，在處無定義，導致不連續(xù)2-232xoyxyoy=xxoy1-1xyo110y=x.發(fā)現(xiàn)：對于有對于不存在,但從而導致不連續(xù).xyoy=xxoy1-1xyo1即考察點0處的連續(xù)性導致不連續(xù).而對于y=x來說,在0處有定義，存在,連續(xù)11y=x與相比，還滿足：極限值等于函數(shù)值.不連續(xù)的原因：(1)函數(shù)在處無定義；(2)不存在；(3)于是：1.函數(shù)在點連續(xù)的定義：(1)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果(2)存在；(3)則函數(shù)在點連續(xù).定義：12如函數(shù)

在x=2處連續(xù).再如函數(shù)y=sinx在x=0處連續(xù).因為因為解例1試討論函數(shù)在的連續(xù)性.在處連續(xù).在x=0處有定義，13解例2試討論函數(shù)在的連續(xù)性.在處連續(xù).故例3試討論函數(shù)在的連續(xù)性.解左連續(xù)不存在，在處不連續(xù).故右不連續(xù)142.左右連續(xù)定義若函數(shù)在內(nèi)有定義，且則函數(shù)在處左連續(xù).若函數(shù)在內(nèi)有定義，且于是：定理：函數(shù)在處連續(xù)的充分必要條件是：則函數(shù)在處右連續(xù).15例4

k為何值時解在處連續(xù)，此時時，當16函數(shù)的增量設函數(shù)在內(nèi)有定義，對于就稱為函數(shù)在處的增量；稱為函數(shù)的增量；相應于即173.函數(shù)在處連續(xù)的等價性定義設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量時，相應的函數(shù)增量即則稱函數(shù)在點連續(xù)，或稱為連續(xù)點.簡之，其中：則令有則回憶定義184.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),該區(qū)間叫函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.如y=sinx的圖形是連續(xù)曲線，故y=sinx在定義域內(nèi)連續(xù)。19例5證：同理可證y=cosx在定義域內(nèi)也是連續(xù)的.20二.連續(xù)函數(shù)的運算,初等函數(shù)的連續(xù)性定理1

證明設21注意:因為所以y=x在其定義域內(nèi)連續(xù).由以上知，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).3.由此知,在其定義域內(nèi)連續(xù).2.由此知,y=tanx,y=cotx在其定義域內(nèi)連續(xù).1.和、差、積可推廣到有限個.如：22定理2設函數(shù)在處連續(xù)，且而函數(shù)在點連續(xù)，則復合函數(shù)在點也是連續(xù)的.證明在點連續(xù).（復合函數(shù)連續(xù)性定理）23定理3

若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上單值、單調(diào)且連續(xù)，則它的反函數(shù)在對應的區(qū)間上也單值、單調(diào)且連續(xù)，而且它們的單調(diào)性相同.借助于該定理知,反三角函數(shù),對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)也是連續(xù)的.結論:基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理4:初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.故初等函數(shù)的定義區(qū)間即為其連續(xù)區(qū)間.（反函數(shù)連續(xù)性定理）24注意：定義區(qū)間定義域2.“定義區(qū)間”與定義域不應混淆1.該定理很重要,應熟記.如：初等函數(shù)的定義域為是離散的，是不連續(xù)的.定理4:初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.25小結1、無窮小的比較反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,2、等價無窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.一定是無窮小因子的乘積.才可作無窮小的等價代換但并不是所有的無窮小都可進行比較.3.常用的無窮小等價代換因子：注意:一定是無窮小因子