廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(?1，0)，焦點(diǎn)分別為F1A．x22?y2=1 B．x2．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，設(shè)A．1 B．?1 C．0 D．23．若點(diǎn)P(a，b)在圓x2A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定4．在中國古代，人們用圭表測(cè)量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中正午時(shí)刻日影最長的一天被定為冬至，從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺5．過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則A．3 B．4 C．5 D．66．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長都是1，M是BC的中點(diǎn)，CN=λA．12 B．13 C．147．已知數(shù)列{xn}滿足x1=1，x2=23A．(23)n?1 B．(328．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值。在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．22 B．12 C．13二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如果AB<0，BC>0，那么直線Ax+By+C=0經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知角α∈[?π2，A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．兩條直線11．一條光線從點(diǎn)A(?2，3)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C：A．4x+3y?1=0 B．4x?3y?1=0 C．3x?4y?6=0 D．3x+4y?6=012．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1=1A．?dāng)?shù)列{aB．a(chǎn)C．?dāng)?shù)列{aD．{an}的前三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知圓x2+y2?6x+4y+12=014．已知雙曲線x24?y212=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1與F15．已知數(shù)列{an}滿足：a116．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若（1）求數(shù)列{a（2）若bn=log2a2n，求數(shù)列18．已知圓x2+y2?4=0與x（1）求AB的長；（2）求圓心在直線2x?y?3=0上，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程。19．已知點(diǎn)P(2，3)和圓Q：(x+4)2+(y+2)2=9，過點(diǎn)P（1）求切線PA，PB的長；（2）求直線AB的方程。20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PCL底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，PC=AB=2AD=2CD=2，點(diǎn)E在棱PB上．（1）證明：平面EAC⊥平面PBC；（2）當(dāng)BE=2EP時(shí)，求二面角P-AC-21．已知某條河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時(shí)，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米．（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拱橋所在拋物線的方程；（2）當(dāng)水面上漲0.5米時(shí)，木船能否通行？（3）當(dāng)水面上漲多少米時(shí)，木船開始不能通行？22．已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上頂點(diǎn)為A，離心率為（1）求橢圓C1（2）過原點(diǎn)的直線l與C相交于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別與C1相交于P，Q①證明：直線AB與直線AC的斜率之積為定值；②記△ABC和△APQ的面積分別是S1，S2，求

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)分別為F1(?2，0)、F2(2，0)，所以，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2a2?y故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，再利用雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式和代入法，進(jìn)而解方程組得出a，b的值，從而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1D1的棱長為1，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，

設(shè)AC→,B1C→的夾角為θ，連接AB1，

又因?yàn)锳C=B1C=AB1，則?ACB13．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P(a，b)在圓x2+y2=1內(nèi)，所以，a2+b2<1，

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出a2+b2<14．【答案】A【解析】【解答】解：依題意，設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種這十二個(gè)節(jié)氣構(gòu)成的日影長為等差數(shù)列an，公差為d，

則冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，則a1+a4+a7=31.5，

則a1+a1+3d+故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的定義，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而解方程組得出首項(xiàng)和公差的值，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出大寒、驚蟄、谷雨日影長之和。5．【答案】C【解析】【解答】解：過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，

設(shè)點(diǎn)Ax1,y1故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出p的值，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和拋物線的定義以及兩點(diǎn)距離公式，進(jìn)而得出AB的長。6．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則A0,-12,0,B10,12,1,M-34,14,0,C-所以，-14+λ=0，則λ=

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量共線的坐標(biāo)表示得出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)λ的值。7．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閤n2xn?1xn+1=1（n∈N*，且n≥2），則xn?1xn+1=xn2，x故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合遞推公式變形和等比數(shù)列的定義，進(jìn)而判斷出數(shù)列{xn}是以首項(xiàng)為1，公比為28．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1D1的棱長為1，建立以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則A1,0,0,C0,1,0,D0,0,0,A11,0,1,可得AC→=-1,1,0,DA1→=1,0,1,DA→故答案為：D.

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出法向量，再由數(shù)量積求投影的方法和異面直線的距離求解方法，進(jìn)而得出異面直線AC與A19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)锳B<0，BC>0，則A，B異號(hào)，B，C同號(hào)，則A，C異號(hào)，

當(dāng)A>0,B<0,C<0時(shí)，因?yàn)橹本€Ax+By+C=0?y=-ABx-CB，

所以，-AB>0，-CB<0，則直線恒過第一、三、四象限；

當(dāng)A<0,B>0,C>0故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結(jié)合同號(hào)為正、異號(hào)為負(fù)的性質(zhì)，再利用分類討論的方法結(jié)合直線的斜率與縱截距與直線的圖象的關(guān)系，進(jìn)而判斷出直線Ax+By+C=0經(jīng)過的象限。10．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)榻铅痢蔥?π2，π2]，則-1≤sinα≤1，

當(dāng)sinα=1時(shí)，則方程x2+y2sinα=1為x2+y2=1，此時(shí)方程x2+y2sinα=1可能表示圓；

當(dāng)0<sinα<1時(shí)，則方程x2+故答案為：ABCD.

【分析】利用已知條件結(jié)合角的取值范圍和正弦函數(shù)的圖象，進(jìn)而得出正弦函數(shù)的值域，再利用分類討論的方法和圓、橢圓、雙曲線和兩條直線的定義，進(jìn)而判斷出方程x211．【答案】A,D【解析】【解答】解：因?yàn)閳A心C3,2，半徑r為1，反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A'-2,-3，

根據(jù)題意，可知反射光線的斜率存在，設(shè)直線y+3=kx+2?kx-y+2k-3=0

與圓C：(x?3)2+(y?2)2=1相切，所以圓心C到直線kx-y+2k-3=0的距離等于圓的半徑長，

所以，3k-2+2k-3k故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結(jié)合點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的求解方法得出點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A'的坐標(biāo)，再結(jié)合反射直線過點(diǎn)A'，從而設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，再轉(zhuǎn)化為直線的一般式方程，再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)和半徑長，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓相切位置關(guān)系判斷方法，進(jìn)而對(duì)得出反射直線的斜率，從而得出反射光線所在直線方程，進(jìn)而找出不是反射光線所在直線方程。12．【答案】A,B【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：a1=1，an+1?3an?1=0，n∈N*，

所以，an+1+12=3(an+12)，n∈N*，則數(shù)列{an+12}為首項(xiàng)為a1+故答案為：AB.

【分析】利用已知條件結(jié)合遞推公式變形和等比數(shù)列的定義，進(jìn)而判斷出數(shù)列{an+12}為等比數(shù)列，從而判斷出選項(xiàng)A；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出數(shù)列{a13．【答案】5【解析】【解答】解：圓x2+y2?6x+4y+12=0的圓心為C13,-2，半徑r1為1，

圓x故答案為：5.

【分析】利用已知條件結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長，再利用兩點(diǎn)距離公式得出兩圓心之間的距離。14．【答案】9【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線x24?y212=1中a>0,b>0,c>0,

所以a=4=2,b=12=23,c=a2+b2=22+232=4，故答案為：9.

【分析】利用已知條件結(jié)合雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出a，b的值，再利用雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出c的值，從而得出兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義得出|MF15．【答案】2【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：a1+a221+a322+a423+?+an2n?1=2n，

令故答案為：2n

【分析】利用已知條件結(jié)合換元法和數(shù)列求和公式以及Sn,an的關(guān)系式，再利用分類討論的方法和檢驗(yàn)法得出數(shù)列16．【答案】10【解析】【解答】解：因?yàn)闄E圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1-c,0、F2c,0，

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C上，設(shè)Ax1,y1，又因?yàn)辄c(diǎn)B在y軸上，設(shè)B0,m故答案為：105

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再利用向量共線的坐標(biāo)表示和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，從而解方程組和橢圓的離心率公式，進(jìn)而得出橢圓C的離心率的值。17．【答案】（1）由題意可知a解得a所以數(shù)列{an}（2）b數(shù)列{bn}的前n【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，從而解方程組求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

（2）利用bn=log2a2n18．【答案】（1）解：解法1：兩圓方程相減得?4+4x?4y+12=0即x?y+2=0圓x2+y2?4=0的圓心為(0，0)，半徑為2，圓心解法2：由x2+y2?4=0x所以|AB（2）解：解法1：由x2+y2?4=0x2+AB的垂直平分線為y=?x，由y=?x2x?y?3=0得圓心坐標(biāo)為M(1，?1)，半徑長為解法2：圓x2+y2?4=0的圓心為O(0，0)，x2+y2?4x+4y?12=0點(diǎn)N到AB的距離d=|1+1+2|2=22，半徑長為：r=解法3：設(shè)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2x2+因?yàn)閳A心在直線2x?y?3=0上，所以4λ1+λ?所以圓心在直線2x?y?3=0上，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x【解析】【分析】（1）利用兩種方法求解。解法一：利用已知條件結(jié)合兩圓方程聯(lián)立作差法得出公共弦所在的直線方程，再由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)和半徑長，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出圓心到直線的距離，從而由垂徑定理得出AB的長；解法二：聯(lián)立兩圓方程得出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式得出AB的長。

（2）利用三種方法求解。解法1：聯(lián)立兩圓方程得出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直斜率之積等于-1，進(jìn)而得出直線AB的垂直平分線，再聯(lián)立兩直線方程得出圓心坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式得出圓的半徑長，從而得出圓心在直線2x?y?3=0上，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程；解法2：利用圓x2+y2?4=0得出圓心坐標(biāo)，再利用圓x2+y2?4x+4y?12=0得出圓心坐標(biāo)，從而得出經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的圓心在這兩圓心所在直線OM方程，聯(lián)立兩直線方程得出圓心坐標(biāo)，再將兩圓方程相減得出公共弦AB所在的直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式得出點(diǎn)N到AB的距離，再由勾股定理得出半徑長，從而得出圓心在直線2x?y?3=0上，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程；解法3：設(shè)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為19．【答案】（1）解：圓Q的圓心為Q(?4，?2)，半徑r=3，因?yàn)镻A⊥QA，PB⊥QB所以，PA，PB（2）解：解法1：因?yàn)镻A⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，圓心為PQ的中點(diǎn)C(?1，12)，半徑長為|PQ|2(x+1)2+(y?由x2+y2+2x?y?14=0(x+4)2解法2：因?yàn)镻A⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，又知P(2，3)、Q(?4，?2)，故以x由x2+y2+2x?y?14=0(x+4)【解析】【分析】（1）利用圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心坐標(biāo)和半徑長，再結(jié)合勾股定理得出PQ的長，根據(jù)PA⊥QA，PB⊥QB結(jié)合勾股定理得出PA，PB的長。

（2）利用兩種方法求解。解法1：利用PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和直徑與半徑的關(guān)系，進(jìn)而得出圓的半徑長，從而得出圓解法2：利用PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，再利用P(2，3)、Q(?4，?2)得出以20．【答案】（1）證明：因?yàn)镻C⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PC⊥AC．因?yàn)锳B=2，AD=CD=1，所以AC=BC=2所以AC2+B又因?yàn)镻C∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，所以AC⊥平面PBC．又AC?平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC（2）解：解法一：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，B(2設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y，z)，因?yàn)锽E=2即x=23，y=0，z=4所以CA=(0，2設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=(x，y所以2y=023x+43z=0所以平面ACE的一個(gè)法向量為n=(2又因?yàn)锽C⊥平面PAC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為CB=(設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為θ，則cosθ=|所以，二面角P?AC?E的余弦值為22解法二：取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，B(1，?1，0)，所以BE=故CE設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=(x，y所以x+y=013x?13y+4所以，平面ACE的一個(gè)法向量為n=(3又因?yàn)锽C⊥平面PAC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為CB=(1設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為θ，則cosθ=|所以，二面角P?AC?E的余弦值為2【解析】【分析】（1）利用線面垂直的定義證出線線垂直，再結(jié)合勾股定理證出線線垂直，根據(jù)線線垂直證出線面垂直，再利用線面垂直證出面面垂直，從而證出平面EAC⊥平面PBC。

（2）利用兩種方法求解。解法一：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及線面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)而得出平面ACE的一個(gè)法向量和平面PAC的一個(gè)法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值的公式得出二面角P?AC?E的余弦值；解法二：取AB的中點(diǎn)G，連接CG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及線面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)而得出平面ACE的一個(gè)法向量和平面PAC的一個(gè)法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值的公式得出二面角P?AC?E的余弦值。

21．【答案】（1）解：以拱頂為原點(diǎn)，拱橋的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)拋物線的方程為x2=?2py(p>0)，

則點(diǎn)B(4，?5)在拋物線上，代入方程得2p=???????（2）解：當(dāng)水面上漲0.5米時(shí)，木船與拱頂?shù)木嚯x為3.75米，設(shè)F(a，?3.75)，代入方程得|EF|=2|a|=43（3）解：假設(shè)當(dāng)水面上漲h米時(shí)，木船開始不能通行，此時(shí)木船與拱橋接觸，且與拱頂?shù)木嚯x為4