不確定下的選擇2021.11申明內(nèi)容概覽Topic1.期望效用理論Topic2.風(fēng)險(xiǎn)躲避Topic3.隨機(jī)占優(yōu)Topic4.擴(kuò)展模型Topic5.主觀概率Topic1期望效用理論風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)我們之前研究過的消費(fèi)理論與生產(chǎn)理論中，消費(fèi)者或者廠商面對的是一個(gè)確定性的狀態(tài)。當(dāng)一個(gè)人面對風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)〔選擇一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)意味著選擇一個(gè)以某種概率獲得一個(gè)消費(fèi)向量的可能性〕時(shí)如何選擇？在進(jìn)行更多研究前，對風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)進(jìn)行描述是有必要的。很顯然，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)中每一種可能的消費(fèi)向量都是消費(fèi)者可能到達(dá)的消費(fèi)向量。對于風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)中每種可能的消費(fèi)向量的概率，假設(shè)是客觀且的；如果不知道客觀概率，要主觀上賦予概率，否那么也就無法進(jìn)行分析了。風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)是分析不確定性的一種標(biāo)準(zhǔn)性的描述工具，彩票用來代表風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)：1.可能結(jié)果之一，2.概率客觀簡單彩票N=3的情況復(fù)合彩票復(fù)合彩票是由簡單彩票復(fù)合而成的彩票顯然，對于任何一個(gè)復(fù)合彩票，都能找到一個(gè)與之等價(jià)的簡單彩票，只需要令這個(gè)簡單彩票的概率滿足：我們將這種簡單彩票稱作這個(gè)復(fù)合彩票的約簡彩票在以后進(jìn)行分析的時(shí)候，就可以只分析約簡彩票的性質(zhì)，從而使分析得到簡化〔這種想法對嗎？〕結(jié)果主義假設(shè)：結(jié)果主義假設(shè)：決策者僅關(guān)心定義在最終結(jié)果上的約簡彩票，只要約簡彩票相同，兩個(gè)復(fù)雜彩票就相同——在以后的討論中，只要存在客觀概率，這一假設(shè)就成立。備選項(xiàng)集合的偏好關(guān)系：連續(xù)性開集：設(shè)A是度量空間X的一個(gè)子集。如果A中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)以該點(diǎn)為球心的小球包含于A，那么稱A是度量空間X中的一個(gè)開集閉集：是指其補(bǔ)集為開集的集合。由此可以引申在度量空間中，如果一個(gè)集合所有的極限點(diǎn)都是這個(gè)集合中的點(diǎn)，那么這個(gè)集合是閉集。獨(dú)立性獨(dú)立性牛肉比羊肉好但牛肉＋泡饃一定比羊肉+泡饃好嗎？期望效用函數(shù)在命題中說明，效用函數(shù)的形態(tài)〔是否是線性的〕與其是否具有期望效用形式等價(jià)期望效用函數(shù)期望效用函數(shù)的線性變化期望效用函數(shù)的線性變化這個(gè)命題的意義在于：對于一個(gè)有期望效用函數(shù)的效用而言，效用的差異不會(huì)隨著期望效用函數(shù)發(fā)生遞增的線性變化而變化。這一性質(zhì)說明期望效用性質(zhì)是定義在彩票空間上效用函數(shù)的基數(shù)性質(zhì)期望效用定理我們可以想象N=3的情況：不是直線的無差異曲線是直線但不平行的無差異曲線平行直線的無差異曲線意味著期望效用函數(shù)形式證明參考教材證明期望效用定理證明期望效用定理證明期望效用定理證明期望效用定理證明期望效用定理期望效用理論的價(jià)值L與L’差異很小，但如果在L與L’連線上有L“，那么就能判斷L與L’間存在一條無差異曲線，那么就能判別兩者之間的優(yōu)劣〔例1：內(nèi)省的可能〕阿萊斯悖論：阿萊斯悖論阿萊斯悖論意味著獨(dú)立性公理不存在，期望效用函數(shù)理論自然也不存在解釋期望效用理論是一種理性的理論，而阿萊斯悖論的情況僅僅是人們不理性的結(jié)果，在這種情況下應(yīng)該用理論來修正個(gè)人的決策錯(cuò)誤，而非用個(gè)人的錯(cuò)誤證明理論是錯(cuò)的阿萊斯悖論的情況僅僅是一種不合常規(guī)且概率接近0，1的特殊情況，不具備一般的意義〔所以，作為一般性的理論不需要考慮這些特例〕認(rèn)為人對不確定性的決策其實(shí)很復(fù)雜，期望效用理論描述了一局部情況，而最終的決策卻是多種情況混合后的結(jié)果。通過引入“懊悔〞的概念就可以解釋阿萊斯悖論〔前一種情形選到0時(shí)懊悔會(huì)更大，所以綜合期望效用和懊悔兩個(gè)因素后，就會(huì)做出阿萊斯悖論中的選擇〕放棄獨(dú)立性公理，代之以更一般的假設(shè)馬金納悖論假設(shè)人們可以面對三種情況，去威尼斯，看關(guān)于威尼斯的電影，呆在家里正常的選擇順序是：去威尼斯，看電影，呆在家里如果有兩個(gè)彩票：去威尼斯+0.01去看關(guān)于威尼斯的電影去威尼斯+0.01呆在家里顯然，獨(dú)立性公理意味著第一種彩票是更好的，但是，如果引入“失望〞的概念，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果去不成威尼斯，看關(guān)于威尼斯的電影可能會(huì)引發(fā)失望的情緒，以至于不如呆在家里，所以，選擇第二種彩票也是很正常的。在這里，“失望〞跟阿萊斯悖論中的“懊悔〞一樣，都讓人可能做出不符合獨(dú)立性公理的選擇不依賴獨(dú)立性公理會(huì)怎么樣？市場會(huì)淘汰不按照獨(dú)立性公理選擇的人？如果市場上存在荷式交易，那么不按照獨(dú)立性公理選擇的人就會(huì)輸錢假設(shè)有彩票，但有，那么，最初如果消費(fèi)者有簡單彩票，為了獲得復(fù)合彩票，消費(fèi)者會(huì)支付一些錢，但在復(fù)合彩票的一局部被兌現(xiàn)后，消費(fèi)者又會(huì)支付一些錢，把彩票換成簡單彩票，但實(shí)際上消費(fèi)者除了多付了一些錢之外，沒有任何的改善，因此，這樣的消費(fèi)者會(huì)被淘汰理論上，試圖用凸性劣集合代替獨(dú)立性公理這種替代要比獨(dú)立性公理更普遍，而且也能得到一定的結(jié)論引致偏好引致偏好指的是由事前的行動(dòng)而導(dǎo)致的偏好，比方，如果吃魚就偏好白葡萄酒，如果吃肉就偏好紅葡萄酒。很顯然，對紅葡萄酒和白葡萄酒的偏好實(shí)際上是根據(jù)吃什么而產(chǎn)生的，那么如果不知道吃什么，實(shí)際上也就不知道對兩種葡萄酒偏好哪一個(gè)。但問題是，我們假設(shè)中的偏好本不應(yīng)該是依賴事前行動(dòng)的結(jié)果的，否那么很多問題就難以解釋事前行動(dòng)結(jié)果的不確定性可能會(huì)導(dǎo)致選擇的不確定性〔這也是不確定性分析的一個(gè)重要組成局部〕Topic2風(fēng)險(xiǎn)躲避風(fēng)險(xiǎn)躲避定義在確定數(shù)量的貨幣上的效用函數(shù)u(·)為伯努利效用函數(shù)〔其實(shí)就是馬斯克萊爾教材中對這一類特殊的期望效用函數(shù)的叫法〕詹森不等式風(fēng)險(xiǎn)躲避意味著：〔詹森不等式〕風(fēng)險(xiǎn)躲避風(fēng)險(xiǎn)中性滿足詹森不等式意味著伯努利效用函數(shù)為凹函數(shù)，即風(fēng)險(xiǎn)躲避者的效用函數(shù)為凹函數(shù)，嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)躲避意味著嚴(yán)格凹函數(shù)。這也意味著貨幣的邊際效用是遞減的?！踩绻蔷€性的，那么消費(fèi)者是風(fēng)險(xiǎn)中性的〕分析風(fēng)險(xiǎn)躲避程度的方法風(fēng)險(xiǎn)躲避的等價(jià)形式應(yīng)用2：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)躲避的度量

前述的理論只是指出消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)偏好的類型，沒有提及風(fēng)險(xiǎn)偏好的度量問題，需要找到新的指標(biāo)，對風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行度量想來用u(·)在某點(diǎn)的曲率來描述在改點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，是一個(gè)可行的方法，但u的二階導(dǎo)數(shù)會(huì)因?yàn)閡的線性變化而變化，所以用u的一階導(dǎo)數(shù)來單位化〔其實(shí)用u也可以〕，因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)為負(fù)，取負(fù)號(hào)之后，就可以通過比照該系數(shù)大小來進(jìn)行比照了絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)的另一個(gè)解釋考慮概率溢價(jià)的定義：對此等式中的進(jìn)行兩次微分，當(dāng)趨近于0的時(shí)候，有：即：這意味著：x點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)越大，在x點(diǎn)發(fā)生微小不確定性所產(chǎn)生的概率溢價(jià)變動(dòng)速度越快，這也意味著對于同樣的，消費(fèi)者要求的概率溢價(jià)也就越大，這就說明，消費(fèi)者在x點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度也就越大不同個(gè)體之間的比較下述表述都說明u2比u1具有更大的風(fēng)險(xiǎn)躲避態(tài)度〔i〕和〔ii〕的證明根據(jù)〔ii〕的描述，令，其中是遞增的凹函數(shù)等式兩邊對x求導(dǎo)，可以得到：由于，這樣，可以得到：由于是遞增的〔一階導(dǎo)數(shù)為正〕凹函數(shù)〔二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)〕，所以不同財(cái)富水平的比較 比較不同財(cái)富水平的風(fēng)險(xiǎn)躲避，可以通過考慮在不同財(cái)富水平上變化同樣大小的財(cái)富，相當(dāng)于是比較u1(z)=u(x1+z)和u2(z)=u(x2+z)的風(fēng)險(xiǎn)躲避程度 遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避意味著隨財(cái)富增加，消費(fèi)者的風(fēng)險(xiǎn)躲避程度將下降關(guān)于遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避的等價(jià)表述遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避的等價(jià)表述是：相對風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)在關(guān)于不同財(cái)富水平下風(fēng)險(xiǎn)躲避程度的討論中，我們對于財(cái)富發(fā)生同比例變化時(shí)產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)躲避態(tài)度會(huì)感興趣〔百萬和億的身家的人對于五十萬的不確定性所抱有的風(fēng)險(xiǎn)躲避態(tài)度不一定說明兩種情況下的真實(shí)情形，但五十萬的變動(dòng)與五千萬的變動(dòng)，就能充分說明不同財(cái)富水平下真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)躲避態(tài)度〕為做到這一點(diǎn)，假設(shè)，令t=1，此時(shí)，我們從絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避中知道，在t=1這一點(diǎn)上，風(fēng)險(xiǎn)躲避態(tài)度可以用刻畫，這樣，在t=1附近的微小變動(dòng)下有顯然，相對風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)是一種更強(qiáng)的概念，遞減相對風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)意味著遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)遞減相對風(fēng)險(xiǎn)躲避的等價(jià)表述討論時(shí)間：你如何安排你的養(yǎng)老資金Topic3隨機(jī)占優(yōu)隨機(jī)占優(yōu)與期望效用函數(shù)在上一節(jié)內(nèi)容中介紹的風(fēng)險(xiǎn)躲避系數(shù)、確定性等價(jià)、概率溢價(jià)等內(nèi)容實(shí)際上是在討論期望效用函數(shù)〔U(·)〕的差異問題隨機(jī)占優(yōu)實(shí)際上比較的是不同彩票支付的分布函數(shù)〔F(·)〕，并以此作為依據(jù)，在不同彩票間進(jìn)行選擇：如果一種彩票收益的分布函數(shù)F(·)毫無疑問的給出了比另一個(gè)G(·)更高的收益，那么，就可以在兩種彩票之間做出區(qū)分如果一種彩票收益的分布函數(shù)F(·)比G(·)風(fēng)險(xiǎn)更小，也可以以此作為理由對彩票進(jìn)行區(qū)分想想馬克維茨的資產(chǎn)組合理論在本節(jié)的討論中，我們假定F(0)=0，且對于某一個(gè)x，有F(x)=1一階隨機(jī)占優(yōu)什么是分布F(·)比分布G(·)有更高的收益？每一個(gè)認(rèn)為多比少好的期望最大化者均認(rèn)為分布F(·)比分布G(·)好對于任一單位的貨幣，在分布F(·)下比分布G(·)下獲得該單位貨幣的概率大兩者意味著同樣的情況嗎？一階隨機(jī)占優(yōu)定義是從數(shù)量的角度〔多比少好〕做出定義令u(x)=x，可見F下預(yù)期更多命題意味著兩者代表相同情況關(guān)于命題的理解命題證明從略一階隨機(jī)占優(yōu)并不意味著：優(yōu)分布的每個(gè)可能收益均大于劣分布的每個(gè)可能收益，在右圖中，優(yōu)分布與劣分布的可能收益是完全相同的分布F(·)一階隨機(jī)占優(yōu)于分布G(·)，意味著在分布F(·)下，x的期望值要大于分布G(·)，但這并不意味著如果在分布F(·)下，x的期望值要大于分布G(·)，分布F(·)一階隨機(jī)占優(yōu)于分布G(·)，根據(jù)定義，一階隨機(jī)占優(yōu)意味著優(yōu)分布的位置要全面的低于劣分布從劣分布導(dǎo)出一個(gè)優(yōu)分布例的一個(gè)特例：從劣分布到優(yōu)分布的分布形態(tài)二階隨機(jī)占優(yōu)二階隨機(jī)占優(yōu)的出發(fā)點(diǎn)與一階隨機(jī)占優(yōu)的出發(fā)點(diǎn)不同，二階隨機(jī)占優(yōu)試圖通過比較分散度或風(fēng)險(xiǎn)來比較兩種彩票的優(yōu)劣。在金融學(xué)中關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)的理論中，風(fēng)險(xiǎn)與收益可以建立替代關(guān)系，但在二階隨機(jī)占優(yōu)的研究中，為了說明問題，姑且假設(shè)兩個(gè)彩票的預(yù)期收益都是相同的在此情況下〔兩種彩票預(yù)期收益相同〕，如果一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)躲避者更偏愛哪一種彩票〔風(fēng)險(xiǎn)小〕，哪一種彩票就是二階隨機(jī)占優(yōu)的一階隨機(jī)占優(yōu)與二階隨機(jī)占優(yōu)在定義上的差異是否具有相同期望值〔一階隨機(jī)占優(yōu)顯然不同〕U是否是凹函數(shù)顯然，如果F二階隨機(jī)占優(yōu)于G，那么，F(xiàn)也一階隨機(jī)占優(yōu)于G期望保持?jǐn)U張：從優(yōu)分布導(dǎo)出一個(gè)劣分布期望保持?jǐn)U張微小風(fēng)險(xiǎn)增加：從優(yōu)分布到劣分布的另一種方法二階隨機(jī)占優(yōu)的等價(jià)形式讓我們來看看(iii)，我們不妨假設(shè)有一個(gè)很大的x(所有可能值中最大的那個(gè))，就有F(x)=G(x)=1，那么根據(jù)分部積分法即前頁圖中面積A=面積B。那么進(jìn)一步的，可以看出，在小于最大值時(shí)討論：十八屆三中全會(huì)Topic4擴(kuò)展模型為什么要進(jìn)行擴(kuò)展回憶我們在定義期望效用函數(shù)、討論風(fēng)險(xiǎn)偏好、以及隨機(jī)占優(yōu)等問題的時(shí)候：我們討論的實(shí)際上是能夠在未來帶來某種可能性收入的彩票我們并沒有考慮除收入以外的不確定性，也沒有考慮造成收入差異的原因因此，我們既有的理論對不確定性的解釋是比較有限的，從工作的選擇問題上，我們就可以對原有的理論產(chǎn)生疑心：為什么選擇公務(wù)員、事業(yè)單位等等，為什么希望要北京戶口等等，這些工作的貨幣收入并非最高為什么回避從事危害健康的行業(yè)，為什么不愿意遠(yuǎn)離家鄉(xiāng)，等等在這局部的學(xué)習(xí)中，我們將對之前關(guān)于不確定性的理論進(jìn)行擴(kuò)展不確定性的自然狀態(tài)描述一些隨機(jī)的結(jié)果可能要比貨幣支付能更好的描述風(fēng)險(xiǎn)備選項(xiàng)，比方色子的點(diǎn)數(shù)、轉(zhuǎn)盤的數(shù)字等等〔信息比貨幣支付更全面〕，這些隨機(jī)結(jié)果可能成為影響支付的原因統(tǒng)計(jì)學(xué)里：隨機(jī)變量〔randomvariable〕表示隨機(jī)現(xiàn)象〔在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象〕各種結(jié)果的變量〔一切可能的樣本點(diǎn)〕隨機(jī)變量例如輪盤賭博，如果有同樣的點(diǎn)數(shù)代表同樣的支付，就會(huì)出現(xiàn)這樣的問題〔轉(zhuǎn)三次給一個(gè)支付〕擴(kuò)展的期望效用表示該定義描述了每種狀態(tài)下一個(gè)不同的函數(shù)us(·)(而不僅是定義在貨幣數(shù)量上的伯努利效用函數(shù))擴(kuò)展