考點21導數與函數的單調性知識梳理1．函數的單調性與導數在區(qū)間(a，b)內，函數的單調性與其導數的正負有如下關系：如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)為該區(qū)間上的增函數；如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)為該區(qū)間上的減函數．二者關系：(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)內單調遞增(或遞減)的充分不必要條件，這是因為f′(x)>0能推出f(x)為該區(qū)間上的增函數，但反之不一定．如函數f(x)＝x3在R上單調遞增，但f′(x)＝3x2≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數的充分不必要.(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)內單調遞增(或遞減)的必要不充分條件(f′(x)＝0不恒成立)．二．已知函數單調性求參數范圍(1)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上單調遞增，則在區(qū)間D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上單調遞減，則在區(qū)間D上f′(x)≤0恒成立；(3)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上存在增區(qū)間，則f′(x)>0在區(qū)間D上有解；(4)已知可導函數f(x)在區(qū)間D上存在減區(qū)間，則f′(x)<0在區(qū)間D上有解．精講精練題型一求單調區(qū)間【例1-1】函數的單調增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，由得，解得，因此函數的單調增區(qū)間是.故選：C.【例1-2】函數的單調遞減區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，解得，則函數的單調遞減區(qū)間為.故選：C.【方法總結】利用導數求函數單調區(qū)間的方法(1)當導函數不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調區(qū)間．(2)當方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調區(qū)間．(3)若導函數對應的方程、不等式都不可解，根據f′(x)結構特征，利用圖象與性質確定f′(x)的符號，從而確定單調區(qū)間．若所求函數的單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用并集“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開．【舉一反三】1．函數y＝4x2＋eq\f(1,x)的單調增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，－1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))【答案】B【解析】由y＝4x2＋eq\f(1,x)，得y′＝8x－eq\f(1,x2)，令y′>0，即8x－eq\f(1,x2)>0，解得x>eq\f(1,2)，∴函數y＝4x2＋eq\f(1,x)的單調增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故選B.2．函數的單調遞增區(qū)間為()A． B．C．和 D．和【答案】B【解析】函數的定義域為，且.由，可得，解得.所以，函數的單調遞增區(qū)間為.故選：B.3．設函數，若函數的圖象在點(1，)處的切線方程為y=x，則函數的增區(qū)間為()A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)【答案】C【解析】的定義域為，∵函數的圖象在點(1，)處的切線方程為y=x，∴解得：∴欲求的增區(qū)間，只需，解得：即函數的增區(qū)間為(，)故選：C題型二已知單調性求參數【例2-1】已知函數，若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A【解析】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為．由于在區(qū)間上單調遞增，則，所以，解得.因此，實數的取值范圍是．故選：A.【例2-2】若函數在上為減函數，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因為在的最大值為，所以.故選：A.【例2-3】)若函數存在單調遞減區(qū)間,則實數b的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，由題意可得存在，使得，即存在，使得，等價于，由對勾函數性質易得，故選B.【舉一反三】1．設函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】函數在上單調遞減，當時，，在時恒成立，即，，又在單調遞減，故，故．故選：B．2．若函數在上是減函數，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵在上是減函數，所以在上恒成立，即，即，∵，∴，故選：A.3．函數是上的單調函數，則的范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】函數是上的單調函數，即或(舍)在上恒成立，解得故選：D4．已知函數，若函數在上單調遞減，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為函數在上單調遞減，所以，即，令，由于在都是增函數，所以在單調遞增，所以，所以，又，解得.故選：D.題型三單調性的應用【例3-1】已知函數，則不等式的解集為()A． B．C． D．【答案】A【解析】，是偶函數，，設，則，所以是增函數，時，，即時，，所以在上，是增函數．又是偶函數，所以不等式化為，所以，解得或．故選：A．【例3-2】已知且，且，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】設，則，令，解得，令，解得，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以，即，因為，所以，因為，，所以，，，結合函數的單調性易知，即，因為，所以，，故選：A.【舉一反三】1．已知，，，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，時，，則在上遞減，時，，則在上遞增，由可得，化為∴，則，同理，；，，因為，所以，可得，因為在上遞減，，∴，故選：C．題型四圖象問題【例4】的導函數的圖象如下圖所示，則函數的圖象最有可能是圖中的()

A． B．C． D．【答案】A【解析】由的圖象可知：當時，，當時，，所以在和單調遞減，在單調遞增，可排除B、C、D．故選：A．【舉一反三】1．已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由導函數得圖象可得：時，，所以在單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.2．己知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如下圖所示，則的圖象是()A． B．C． D．【答案】A【解析】函數的圖象可知在上，，逐漸變大，故函數單調遞增，增加速度越來越快；在上，，逐漸變小，故函數單調遞增，增加速度越來越慢；在上，，逐漸變小，函數單調遞減，遞減速度越來越快；在上，，逐漸變大，函數單調