圓的綜合解答題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

1.如圖，/C是。。的直徑，尸/切。。于點(diǎn)A,點(diǎn)8是。。上的一點(diǎn)，且NA4c=30。,

NAPB=60°.

（i）求證：依是oo的切線；

⑵若。。的半徑為2,求弦48及尸/,尸8的長.

2.如圖1,四邊形45。內(nèi)接于。。，4C是的直徑，過點(diǎn)A的切線與8的延長線相

交于點(diǎn)P,且NA4C=2N/CD.

PP

圖1圖2

（1）求證：2P=ZBCP；

⑵過圖1中的點(diǎn)。作。E44C,垂足為￡（如圖2）,當(dāng)3c=3,4E=1時(shí)，求OE.

圖1

(1)如圖1,求證：NABD=NACB；

(2)如圖2,改變點(diǎn)A的位置，延長BD依次交/C,。。于點(diǎn)￡,F,若NABC=2NC,求證:

BF=AC；

⑶在(2)的條件下，連接尸。并延長，交2。邊于點(diǎn)若C￡=5,AE=3,求線段O”

的長.

4.如圖，4B為。。的弦，CD為。。的直徑，4B與CO相交于點(diǎn)E,連接ZC,BC,

BD,過點(diǎn)3作AF1NC于點(diǎn)尸.

⑴求證：NABF=NBCD；

⑵當(dāng)/BCD=乙4CD時(shí)，求證：ABCD■,

⑶在(2)的條件下，若48=6,乙如=22.5。，求圖中陰影部分的面積.

5.定理證明:

A

圖1圖2

(1)如圖1,PA,總是。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,求證：PA=PB；

定理應(yīng)用：

(2)如圖2,△48。是的內(nèi)接等腰二角形，AB=AC=2,ZD=60°,0c是OO的切

線，若DA〃BC,求四邊形的面積.

6.如圖，內(nèi)接于。O,2C為。。的直徑，點(diǎn)A是弧MC的中點(diǎn)，CD交。。于M,

CD交AB于E,DB=DE.

(1)求證：是。。的切線；

⑵求證：ND=2N4CD；

(3)若。8=6,DC=10,求Affi的長.

7.如圖1,C,。是半圓NCB上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑4B上一點(diǎn)，且滿足=

/CPD是無的"幸運(yùn)角"；

(2)如圖3,若直徑池=2,肱CE工AB,無的“幸運(yùn)角”為90。，求CD的長.

8.如圖，在。。中，42為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，4。為—CN2的平分線交。。于

點(diǎn)、D,連接OD交于點(diǎn)￡,過點(diǎn)/作。。的切線交3c延長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作

DG//AF,交48于點(diǎn)G.

⑴求證：OD〃/C;

(2)連接CD,若4/C=60。，請判斷四邊形/CD。的形狀，并證明你的結(jié)論;

⑶若47=4CE=2,求DG的長.

9.如圖，已知。。是△/8C的外接圓，4B是。。的直徑，P是4B的延長線上的點(diǎn)，弦CE

交48于點(diǎn)。.ZPOE=2ZCAB,NP=ZE.

(1)求證：CEJ.AB；

(2)求證：PC是。。的切線；

(3)若=PB=9,求。。的半徑.

10.如圖，。。是△4BC的外接圓，以4B為邊作等邊三角形48。，且點(diǎn)。和點(diǎn)C在48的

兩側(cè)，連接。C.

(2)在(1)的條件下，若乙1BC=15。，則R;=;

AC

(3)如圖2,CD交4B于點(diǎn)M,交。。于點(diǎn)N,若ZABC=90。,AB=BC=2,直接寫出MV

的長度：MN=.

11.如圖1,E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，0E交x軸于43兩點(diǎn)，交了軸于C、D兩點(diǎn),P

點(diǎn)為劣弧前上一個(gè)動點(diǎn)，且4(-1,0)、￡(1,0).

⑴如圖1,連結(jié)尸C,取尸。中點(diǎn)G,連結(jié)。G,則0G的最大值為；

(2)如圖2,連接NC、AP,CP、CB.若平分”CD交P4于。點(diǎn)，求工。的長；

PC+PD

⑶如圖3,連接尸4尸。，當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動時(shí)(不與5、C兩點(diǎn)重合)，求證：一本二為定值,

PA

并求出這個(gè)定值.

12.如圖1,五邊形/3CDE是。。的內(nèi)接五邊形，AB=AE,對角線于點(diǎn)尸.

(1)①若ZACB=40°,貝I]NBDE=；

②猜想/8/E和NC8D的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)AD經(jīng)過圓心O時(shí)，若BF=2,AF=4,求DE；

(3)作OGL/C于點(diǎn)G,求=7的值.

13.如圖，四邊形N8CZ)是。。的內(nèi)接四邊形，48=40=6,4840=90。，點(diǎn)E在弦4D上

(不與端點(diǎn)重合)，NCBE=45°,過點(diǎn)C作CF，/。，垂足尸在么。延長線上，連接CE.

⑴求。。的半徑長；

⑵若NDCF=NABE,求證：直線CF是。。的切線；

⑶過點(diǎn)。作。G1/。交。。于點(diǎn)G,交5c于點(diǎn)7/,連接猜想a4E//和乙4班有怎樣

的數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論.

14.如圖，已知48為。。的直徑，尸為。。上一點(diǎn)，/C平分48/斤且交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)

C作CD_LN尸于點(diǎn)。，延長48,。。交于點(diǎn)E,連接3C,C廠.

(1)若5C=5,NC=12,求。。的半徑；

(2)求證：CD是。。的切線；

⑶是否存在常數(shù)屋使得ABC-AF=k,若存在，求出左的值，若不存在，請說明理由.

DF

15.如圖，OO是矩形的外接圓，NA4D的角平分線交DC的延長線于點(diǎn)

E,交。。于點(diǎn)尸.連結(jié)2。，BF,DF,已知40=2.

⑴證明：△8D尸為等腰直角三角形.

⑵若點(diǎn)C平分弧DP,求△公廳的面積.

⑶當(dāng)尸的某一邊的長度是E尸的2倍時(shí)，求8的長.

16.如圖1,點(diǎn)G為等邊△/8C的重心，點(diǎn)。為2C邊的中點(diǎn)，連接GZ）并延長至點(diǎn)。，使

得DO=DG,連接G5,GC,OB,OC.

⑴求證：四邊形80CG為菱形.

（2汝口圖2,以。點(diǎn)為圓心，OG為半徑作。。

①判斷直線N5與。。的位置關(guān)系，并予以證明；

②點(diǎn)M為劣弧8c上一動點(diǎn)（與點(diǎn)5、點(diǎn)C不重合）,連接BM并延長交NC于點(diǎn)E,連接CM

并延長交4B于點(diǎn)尸，求證：4E+N尸為定值.

17.如圖，ZUBC是。。的內(nèi)接三角形，是。。的直徑，ZA=30°,BC=4,弦CDLAB

于尸，點(diǎn)E是48延長線上一點(diǎn)，且//=￡尸，連接DE.

(1)填空：ZSCZ)=_°；

⑵判斷DE與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

⑶取C8的中點(diǎn)連接求圖中陰影部分的面積.

18.已知：如圖1,△4BC內(nèi)接于(DO,NM是。。的直徑，月刊平分N54C.

圖1圖2圖3

(1)求證：AMLBC-

(2)如圖2,分別在弧期、弧CM上取點(diǎn)。和E,連接40、AE交BC于點(diǎn)、F、G,連接

DE,求證：NBGE+N4DE=180°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接加，若BG=AD,ZABD-ZBAE=^ZAFG,

AC-BD=5,/G=3廂，求NC的長.

19.如圖，/C是。。的直徑，弦助交NC于點(diǎn)E,就=2而，連結(jié)48，AD.

圖3

(1)如圖1,若/。=50。，求/C4。的度數(shù).

⑵如圖2,點(diǎn)N在弦/。上，作MN，AD,&W分別交弦48,/C于點(diǎn)M,P,

MN=BE,過8作3尸〃跖V交/C于點(diǎn)尸.

①求證：BF=MN.

②如圖3,連接ME,若BM=4,ME=2后,求NP,PE的長.

20.如圖，A48c內(nèi)接于O。，A8是。。的直徑，BC=BD，DE_L/C于點(diǎn)E,DE交BF

于點(diǎn)下，交4B于點(diǎn)G,/BOD=2/F,連接BD.

F

(1)求證：3尸是。。的切線；

⑵判斷AOGB的形狀，并說明理由;

⑶當(dāng)AD=2時(shí)，求/G的長.

21.已知：點(diǎn)E是正方形48cD外一點(diǎn)，連接DE,BE±DE.

E

圖3

(1)如圖1,若BE=2,DE=20,求的長；

(2)如圖2,過點(diǎn)A作"_LAE1于點(diǎn)尸.求證：DE=2DF+BE；

(3)如圖3,連接EC并延長至點(diǎn)G,使得CG=CE,連接。G,當(dāng)。G=DC時(shí)，請直接寫出

22.如圖，在半徑為5的半圓。中，48是它的直徑，點(diǎn)C是半圓上異于43點(diǎn)，過點(diǎn)C

作且點(diǎn)E是半徑0c的中點(diǎn)，8E的延長線交/。于點(diǎn)G,交8的

延長線于點(diǎn)尸.

⑴求證：/C平分/0CD；

(2)求證：4D是。。的切線；

⑶若4c尸=2//BC,半圓。內(nèi)(包含邊界)存在點(diǎn)H,使NAHF=NADF,求￡77的取

值范圍.

23.如圖，。。的直徑48為10cm,弦NC為6cm,N2C5的平分線交O。于點(diǎn)。.

⑴求的長；

⑵試探究◎、CB、CD之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶連接OD，P為半圓403上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作尸￡，。。于點(diǎn)E,設(shè)AOPE的內(nèi)心為

當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)3運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長.

24.如圖，△4BC中，4B=/C,點(diǎn)。為8c邊上一點(diǎn)，以8。為直徑作。。，/C是。。的

切線，過點(diǎn)3作8EL/C交C/的延長線于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，連接/月.

(1)求證△48尸之△/(?￡>；

⑵請你添加一個(gè)條件使四邊形/F5。為菱形.

⑶在(2)的條件下，若。=1,求的長.

25.已知：ZUBC內(nèi)接于O。，過點(diǎn)A作8C的垂線交。。于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)E,連接50.

(2汝口圖2,連接CO,延長。。交40于點(diǎn)尸，若AF=BD,求證：AC=BC

⑶如圖3,在(2)的條件下，BO交AD于點(diǎn)、G,過點(diǎn)A作。。的切線交C8的延長線于點(diǎn)

H,且4?/=280,FG=3,求線段2H的長.

26.如圖，直徑ZN13C,垂足為點(diǎn)連接03、AC,K為線段上一點(diǎn)，連接CK,

180°-NCKO=2NC4O.

(1)如圖1,求證:CK〃8O；

(2)如圖2,。為弧48上一點(diǎn)，DE1BC,垂足為點(diǎn)G,連接OD交5c于點(diǎn)。，Q為H3

中點(diǎn)，求證:。￡=4?！?

27.如圖，48為。。直徑，尸為48延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。。切線，切點(diǎn)為C,

CD1AB,垂足為D,連接/C和3C.

(1)如圖1,求證：CB平分NPCD；

⑵在上取點(diǎn)E,使得/4CE=2NPCB；

①如圖2,￡為下方。。上一點(diǎn)，連接