課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期上課題三角函數(shù)的概念教科書(shū)教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，理解任意角的三角函數(shù)的概念；2.在三角函數(shù)定義的過(guò)程中進(jìn)一步認(rèn)知函數(shù)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想方法的作用；3.經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過(guò)程，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念.教學(xué)難點(diǎn)：用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù).教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課問(wèn)題引入：在客觀世界中存在大量循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的周期現(xiàn)象，比如日出日落、鐘擺運(yùn)動(dòng)等，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是這類(lèi)現(xiàn)象的代表，在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，那么勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫(huà)呢？如右圖所示,圓上的點(diǎn)以為起點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角的大小變化刻畫(huà)點(diǎn)的位置變化.根據(jù)弧度制的定義，角的大小與圓的半徑無(wú)關(guān)，我們能否建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)的位置變化情況?【設(shè)計(jì)意圖】開(kāi)門(mén)見(jiàn)山引出研究?jī)?nèi)容、過(guò)程與研究方法，指明點(diǎn)隨著角度的變化而變化，明確構(gòu)建函數(shù)模型的目標(biāo)，讓學(xué)生初步了解本節(jié)課學(xué)習(xí)的方向，為具體研究指明方向.引導(dǎo)探究，形成新知分析要解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要什么工具？①建立函數(shù)模型,要利用直角坐標(biāo)系.②根據(jù)任意角的定義，需要借助單位圓.如圖，以單位圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線(xiàn)為軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.把該問(wèn)題抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始在單位圓上的運(yùn)動(dòng).問(wèn)題1：這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的有哪些變量，判斷它們之間是否具有函數(shù)關(guān)系.如果有，能否寫(xiě)出函數(shù)解析式？（1）點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中涉及的變量有：點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)角度；（2）判斷變量：間的哪兩個(gè)變量能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？過(guò)過(guò)點(diǎn)作軸于,根據(jù)勾股定理可知，即，顯然變量、間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不符合函數(shù)定義.在弧度制學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道變量之間的關(guān)系，并且變量與的關(guān)系和與的關(guān)系等價(jià)，所以我們研究變量與的關(guān)系.問(wèn)題2:若角終邊與單位圓交于點(diǎn)，如何求點(diǎn)的坐標(biāo)呢？追問(wèn)1：當(dāng)我們遇到一般性問(wèn)題應(yīng)該如何研究？特殊化：不妨設(shè)，此時(shí)點(diǎn)在第一象限,構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)向軸引垂線(xiàn)交軸于,中,可得,,即,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.追問(wèn)2:當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？同樣,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限,可得,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.追問(wèn)3：任意給定一個(gè)角，點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定嗎？因?yàn)閱挝粓A的半徑不變，點(diǎn)的坐標(biāo)只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角確定時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是也唯一確定.追問(wèn)4：在展示的運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，觀察角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，有什么發(fā)現(xiàn)？能否運(yùn)用函數(shù)的語(yǔ)言刻畫(huà)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)、都是唯一確定的，有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：任意角(弧度)→唯一實(shí)數(shù)；①任意角(弧度)→唯一實(shí)數(shù)．②一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，無(wú)論是橫坐標(biāo)，還是縱坐標(biāo)，都是唯一確定的.所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為指向，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿(mǎn)足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角(弧度)的函數(shù)，為引出三角函數(shù)的定義做好鋪墊.下面給出這些函數(shù)的定義：如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，那么把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記做，即；把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記做，即；把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記做，即.問(wèn)題3:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？實(shí)數(shù)(弧度)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的縱坐標(biāo)→正弦函數(shù)；實(shí)數(shù)(弧度)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)→余弦函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0時(shí)，角的終邊在軸上，此時(shí)，所以無(wú)意義.因此，對(duì)于確定的角，的值也是唯一確定的，所以也是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)，稱(chēng)為正切函數(shù).實(shí)數(shù)(弧度)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比→正切函數(shù).追問(wèn)1:任意角三角函數(shù)的定義是否符合高中函數(shù)的定義呢？正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù).由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).按照函數(shù)的定義與常用的符號(hào)，我們通常將它們記為正弦函數(shù)：；余弦函數(shù)：；正切函數(shù)：.將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù).追問(wèn)2：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?很明顯，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集，即，對(duì)于正切函數(shù)而言，要求點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即角的終邊不能位于軸上，那么正切函數(shù)的定義域?yàn)?追問(wèn)3：這個(gè)定義相對(duì)于銳角三角函數(shù)的定義有什么不同呢?任意角的三角函數(shù)是通過(guò)角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義的，銳角三角函數(shù)是通過(guò)直角三角形邊長(zhǎng)的比值定義的，在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數(shù)也可用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義，此時(shí)終邊上的點(diǎn)都在第一象限，因此銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，而任意角的三角函數(shù)值可以是負(fù)數(shù).追問(wèn)4：“任意角的三角函數(shù)”與“銳角三角函數(shù)”這兩個(gè)概念有什么異同?銳角三角函數(shù)的自變量是銳角，應(yīng)理解為；；.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將任意角三角函數(shù)納入到函數(shù)中，豐富學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知，另外，注意任意角為軸線(xiàn)角的特殊情況，讓學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.理解概念，運(yùn)用新知例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐標(biāo)系中，作，此時(shí)的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵.例2如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為.求證：，，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題：①你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示和嗎？②在你所作的圖形中，，，表示什么？你能找到它們與任意角的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？解：設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，則，.所以得到,即.因?yàn)榕c同號(hào)，所以，即.同理可證：，.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)，使學(xué)生找到、，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明.追問(wèn)：例2實(shí)際上給出了任意角的三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價(jià)的，能否用嚴(yán)格的的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述這個(gè)定義嗎？一般地，對(duì)于任意角，角終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它到原點(diǎn)的距離為，那么，，.顯然任意角的三角函數(shù)值不會(huì)隨點(diǎn)的位置的變化而變化.應(yīng)用新知，總結(jié)提升任意角三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，我們以后要學(xué)習(xí)的有關(guān)三角函數(shù)其他知識(shí)都建立在我們對(duì)三角函數(shù)的概念的理解與認(rèn)識(shí)上，所以同學(xué)們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)和體會(huì)今天所學(xué)的知識(shí).三角函數(shù)是如何定義的？我們除了學(xué)習(xí)單位圓定義，還有什么定義方法？①單位圓定義法:建立直角坐標(biāo)系，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)為，即可由點(diǎn)坐標(biāo)得到三角函數(shù)定義.正弦函數(shù)：;余弦函數(shù)：;正切函數(shù)：.②終邊定義法:建立直角坐標(biāo)系，對(duì)于任意角，角終邊上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它到原點(diǎn)的距離