習(xí)題課正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)．(2)能夠解決簡單的函數(shù)性質(zhì)的綜合問題．題型1形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)的最值(值域)問題例1求函數(shù)y＝cos2x＋sinx，x∈R的最大值．一題多變將本例中的條件“x∈R”改為“x∈[π4學(xué)霸筆記：求y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)最值(值域)的方法形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設(shè)t＝sinx，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據(jù)定義域來確定．若f(x)＝asin2x＋bcosx＋c，還需利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，轉(zhuǎn)化成同名三角函數(shù)求值．跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)＝sin2x＋cosx在區(qū)間[π4題型2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對(duì)稱性【問題探究】(1)正弦函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即原點(diǎn)是正弦曲線的對(duì)稱中心，除原點(diǎn)外，正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎？如果有，那么對(duì)稱中心的坐標(biāo)是什么？(2)正弦曲線是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱方程是什么？(3)類比正弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，你能寫出余弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心嗎？例2求函數(shù)y＝3sin(2x＋π3學(xué)霸筆記：正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值、余弦值取得最大值或最小值；正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱中心一定是正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值、余弦值為0.跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)y＝cos(2x＋π3A．關(guān)于點(diǎn)(π3B．關(guān)于點(diǎn)(π6C．關(guān)于直線x＝π6D．關(guān)于直線x＝π3題型3正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3下述四條性質(zhì)：①最小正周期是π，②圖象關(guān)于直線x＝π3對(duì)稱，③圖象關(guān)于點(diǎn)(π12，0)對(duì)稱，④在[－A．y＝sin(x2+π6)B．y＝sin(2C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝sin(2x＋π學(xué)霸筆記：研究三角函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)方面是通過數(shù)形結(jié)合、整體代換的數(shù)學(xué)思想研究三角函數(shù)的定義域、圖象、周期性、奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性、最值或值域等．跟蹤訓(xùn)練3(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(2x＋π3A．f(x)的一個(gè)周期為－πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4πC．f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝πD．f(x)在(π2隨堂練習(xí)1.函數(shù)y＝sin2x的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是()A．x＝－π2B．x＝－C．x＝π8D．x＝2．函數(shù)y＝cos2x的圖象()A．關(guān)于直線x＝－π2B．關(guān)于直線x＝－π4C．關(guān)于直線x＝π8D．關(guān)于直線x＝5π3．已知函數(shù)f(x)＝4sin(ωx＋π6)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的距離為π6，則函數(shù)f(A．(0，π4)B．(－π2，－C．(π3，π2)D．(－4．函數(shù)f(x)＝－2sin2x＋cosx－3的值域?yàn)開___________．課堂小結(jié)1.會(huì)求形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函數(shù)的最值(值域)．2．會(huì)求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．3．靈活掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．習(xí)題課正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合問題例1解析：由已知得y＝1－sin2x＋sinx，令sinx＝m(－1≤m≤1)，則y＝1－m2＋m＝－(m－12)2＋5當(dāng)m＝12時(shí)，函數(shù)有最大值為5一題多變解析：f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx，x∈[π4令sinx＝t，t∈[22∴g(t)＝－t2＋t＋1，t∈[22對(duì)稱軸t＝12，故函數(shù)g(t)在t∈[2又g(22)＝－12+所以函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx，x∈[π4，π跟蹤訓(xùn)練1解析：f(x)＝1－cos2x＋cosx＝－cos2x＋cosx＋1，設(shè)t＝cosx，∵x∈[π4，2π3所以g(t)＝－t2＋t＋1，t∈[－12二次函數(shù)拋物線的對(duì)稱軸為t＝－12×-由于g-12＝－14g(22)＝－12+22所以函數(shù)的最小值是14問題探究提示：(1)有(kπ，0)k∈Z.(2)是軸對(duì)稱圖形，方程為x＝π2＋kπ，(k∈Z(3)對(duì)稱軸方程是x＝kπ(k∈Z)，對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(π2＋kπ，0)(k∈Z例2解析：由2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2+所以對(duì)稱軸為x＝kπ2+π12由2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2-π所以對(duì)稱中心為(kπ2-π6跟蹤訓(xùn)練2解析：由余弦函數(shù)的對(duì)稱中心為(kπ＋π2，0)，令2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2+π12，k∈Z，易知A、B錯(cuò)誤；由余弦函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝kπ，令2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2答案：D例3解析：條件①：y＝sin(x2+π條件②：當(dāng)x＝π3代入B，函數(shù)取得最大值，滿足關(guān)于x＝π3對(duì)稱；代入C，函數(shù)取得最小值，滿足關(guān)于x＝π3條件③：x＝π12條件④：在[－π6，π3]上，代入B，2x－π6∈[－π2，π2答案：B跟蹤訓(xùn)練3解析：T＝2π2＝π，故f(因?yàn)閒4π3＝cos(8π3+π3)＝cos3π＝－1，故y＝ffπ12＝cos(π6+π3)＝0，故f(x當(dāng)x∈(π2，π)時(shí)，2x＋π3∈(答案：ABC[隨堂練習(xí)]1．解析：由2x＝π2＋kπ，得x＝kπ2-π4，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－答案：B2．解析：y＝cos2x的對(duì)稱軸滿足2x＝kπ，k∈Z，即x＝kπ2，k∈Z，當(dāng)答案：A3．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4sin(ωx＋π6)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的距離是π6，所以14×2所以f(x)＝4sin(3x＋π6令π2＋2kπ≤3x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π9+2k所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[π9+2kπ3當(dāng)k＝－1時(shí)，(－π2，－π4)?[－5π所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－π2，－π答案：B4．解析：f(x)＝－2sin2x＋cosx－