復(fù)數(shù)的幾何意義(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),則()A.z=1+i B.z=1+iC.z+i是實(shí)數(shù) D.z+i是純虛數(shù)【解析】選C.因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),所以z=1i.所以z+i=1i+i=1,所以z+i是實(shí)數(shù).2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列選項(xiàng)中正確的是 ()A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】選D.因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小,所以A,B不正確,又|z1|==,|z2|==,所以|z1|<|z2|,故C不正確,D正確.3.向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=3+2i,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=1i,則|+|為 ()A. B. C.2 D.【解析】選A.因?yàn)閦1=3+2i,z2=1i,所以=(3,2),=(1,1),則+=(2,1),所以|+|==.4.若i為虛數(shù)單位,圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則等于()A.2+I B.2iC.2+i D.2i【解析】選B.點(diǎn)Z(2,1)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z=2+i,與z互為共軛復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,所以=2i.5.在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i,則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.12i B.1+2iC.3+4i D.34i【解析】選D.由題意知=(2,1),=(1,3).=+=(1,3)+(2,1)=(3,4),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i.6.(多選題)下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R的說法正確的是 ()A.=abiB.若=z,則b=0C.若|z|=0,則z=0D.若|z|≠0,則ab≠0【解析】選ABC.由復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R,得=abi,選項(xiàng)A正確;若=z,則a+bi=abi,b=b,所以b=0,選項(xiàng)B正確;若|z|=0,則a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,選項(xiàng)C正確;若|z|≠0,則a2+b2≠0,所以a,b至少有一個(gè)不為0,選項(xiàng)D不正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(2cos300°,2sin300°)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z=________,|z|=________.

【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)(2cos300°,2sin300°),得(1,),對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1i,|z|=2.答案:1i28.復(fù)平面上,實(shí)軸上的點(diǎn)A(3,0)與虛軸上的點(diǎn)B(0,4),則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部為________,虛部為________.

【解析】復(fù)平面上,實(shí)軸上的點(diǎn)A(3,0)與虛軸上的點(diǎn)B(0,4),則=(3,4),對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=34i的實(shí)部為3,虛部為4.答案:34三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x1+(y+1)i=xy+(xy)i.(1)求實(shí)數(shù)x,y的值;(2)求.【解析】(1)因?yàn)閤,y為實(shí)數(shù),所以2x1,y+1,xy,xy都為實(shí)數(shù),由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得(2)=xyi=3+2i.10.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+1i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量,復(fù)數(shù)z1=1+i對(duì)應(yīng)向量,由|z+1i|=|z(1+i)|=1,得||=||=1,所以動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡是以C(1,1)為圓心,半徑為1的圓,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C為圓心,以1為半徑的圓,畫出方程|z+1i|=1表示的軌跡,如圖,而|z|則表示該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離,由平面幾何知識(shí)可知,使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離取最大(最小)值的點(diǎn)在直線OC與圓的交點(diǎn)處.所以|z|最大值為|OC|+r=+1,最小值為|OC|r=1.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)設(shè)復(fù)數(shù)z=(2t2+5t3)+(t2+2t+2)i,t∈R,則以下結(jié)論中正確的是()A.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.復(fù)數(shù)z可能是純虛數(shù)C.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方D.復(fù)數(shù)z一定是實(shí)數(shù)【解析】選BC.因?yàn)閦的虛部t2+2t+2=(t+1)2+1恒為正,所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方,且z一定是虛數(shù),排除D.又z的實(shí)部2t2+5t3=(t+3)(2t1)可為正、為零、為負(fù),所以選項(xiàng)A不正確.當(dāng)t=3或時(shí)B正確.2.歐拉公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”,根據(jù)歐拉公式可知,e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.e2i=cos(2)+isin(2),對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(cos(2),sin(2)),由于π<2<,因此cos(2)<0,sin(2)<0,所以點(diǎn)(cos(2),sin(2))在第三象限.3.(多選題)復(fù)平面內(nèi),下列關(guān)于復(fù)數(shù)的敘述正確的是 ()A.原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是0B.純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上C.實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)D.虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是虛數(shù)【解析】選ABC.復(fù)平面內(nèi),原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是0,選項(xiàng)A正確.純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,選項(xiàng)B正確.實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù),選項(xiàng)C正確.虛軸上除原點(diǎn)以外的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是虛數(shù),選項(xiàng)D錯(cuò)誤.4.設(shè)復(fù)數(shù)z=m(3+i)(2+i)(m∈R,i為虛數(shù)單位).在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.復(fù)數(shù)z=(3m2)+(m1)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(3m2,m1).當(dāng)m>1時(shí)P在第一象限;當(dāng)m<時(shí)P在第三象限;當(dāng)<m<1時(shí)P在第四象限;當(dāng)m=時(shí)P在y軸上;當(dāng)m=1時(shí)P在x軸上.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)A,B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosBtanA)+itanB對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.因?yàn)锳,B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,所以A+B>,即A>B,sinA>cosB.cosBtanA=cosB<cosBsinA<0,又tanB>0,所以點(diǎn)(cosBtanA,tanB)在第二象限.二、填空題(每小題5分,共20分)5.復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(2,3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為______.

【解析】復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(2,3)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2+3i,共軛復(fù)數(shù)為=23i.答案:23i6.復(fù)數(shù)z1=3與z2=2i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離為______.

【解析】復(fù)數(shù)z1=3與z2=2i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)Z1(3,0),Z2(2,)間的距離為|Z1Z2|==2.答案:27.已知z|z|=1+i,則復(fù)數(shù)z=______.

【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),由題意得x+yi=1+i,即(x)+yi=1+i,所以解得所以z=i.答案:i8.已知復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2a2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,且z≠0,則a的值為________.

【解析】由題意,得a2-2a=0,得a=0或a=2.當(dāng)a=2時(shí)z=0,與題意不符.答案:0三、解答題(每小題10分,共30分)9.如果復(fù)數(shù)z=(m2+m1)+(4m2【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.所以解得m<或m>.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為∪.10.已知兩向量a,b對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1=3,z2=+mi(m∈R),且a,b的夾角為60°,求m的值.【解析】因?yàn)閍,b對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=3,z2=+mi(m∈R),所以a=(3,0),b=.又a,b的夾角為60°,所以cos60°=,即=,解得m=±.11.設(shè)復(fù)數(shù)z=(2x+a)+(2x+a)i,x,a