2.復(fù)數(shù)、平面向量(分值:73分)學(xué)生用書P209一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·新高考Ⅱ,1)已知z=1i,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.答案C解析若z=1i,則|z|=(-2.(2024·寧夏銀川二模)已知單位向量e1,e2的夾角為60°,則(e22e1)·e2=()A.0 B.1 C.1 D.2答案A解析由題意可知|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1|·|e2|cos60°=12,所以(e22e1)·e2=e222e1·e23.(2024·新高考Ⅰ,2)若zz-1=1+i,則z=A.1i B.1+iC.1i D.1+i答案C解析因為zz-1=z-1+1z-1=1+1z-1=4.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b4a),則x=()A.2 B.1 C.1 D.2答案D解析因為b⊥(b4a),所以b·(b4a)=0,所以b24a·b=0,即4+x24x=0,故x=2.5.(2024·四川綿陽模擬)已知z=|3i1|+i20241+i,則在復(fù)平面內(nèi)zA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因為z=|3i1|+i20241+i=2+11+i=2+1-i(1+i)(1-i)=6.(2024·廣東汕頭模擬)已知平行四邊形ABCD中,E為AC中點.F為線段AD上靠近點A的四等分點,設(shè)AB=a,AD=b,則EF=()A.14a12b B.34aC.12a14b D.12答案C解析如圖所示,由題意可得AC=AB+AD=a+b,而EF=EA+AF=12CA+14AD7.(2024·湖南長沙二模)關(guān)于x的方程x2+x+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個根為z1,z2,則下列選項正確的是()A.z1+z2=1 B.z1z2=1C.1z1+1z2=1答案D解析由題設(shè)方程,不妨取z1=12+32i,z2=12-32i,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知z1+z2=1,z1z2=1,故A,B錯誤;1z1+1z2=z1+z2z1z2=1,故8.(2024·山東威海二模)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且對?λ∈R,|b+λa|≥|ba|,則a·b=()A.2 B.1 C.1 D.2答案C解析因為|b+λa|≥|ba|,所以|b+λa|2≥|ba|2,所以|a|2λ2+2a·bλ+2a·b|a|2≥0對?λ∈R恒成立,所以Δ=(2a·b)24|a|2(2a·b|a|2)≤0,所以|2a·b|24(2a·b1)≤0,所以a·b=1.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2024·河南鄭州模擬)在復(fù)平面內(nèi),設(shè)O為坐標(biāo)原點,復(fù)數(shù)z2,z對應(yīng)的點分別為A,B,若OA⊥OB,則z可能是(A.2i B.13i C.3+i D.答案ACD解析設(shè)z=a+bi,a,b∈R,則z2=a2b2+2abi,z=abi,可知A(a2b2,2ab),B(a,b),即OA=(a2b2,2ab),OB=(a,b).若OA⊥OB,則a(a2b2)+2ab(b)=a(a23b2)=0,整理得a=0或a2=3b2,對比選項可知ACD正確,B錯誤.故選10.(2024·山東青島一模)已知復(fù)數(shù)z,下列說法正確的是()A.若zz=0,則z為實數(shù)B.若z2+z2=0,則z=z=C.若|zi|=1,則|z|的最大值為2D.若|zi|=|z|+1,則z為純虛數(shù)答案AC解析設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=abi,若zz=0,即(a+bi)(abi)=2bi=0,即b=0,則z為實數(shù),故A正確;若z2+z2=0,即(a+bi)2+(abi)2=0,化簡可得a2b2+2abi+a2b22abi=0,即a2=b2,即a=±b.當(dāng)a=b時,z=a+ai,z=aai,此時不一定滿足z=z=0,當(dāng)a=b時,z=aai,z=a+ai,此時不一定滿足z=z=0,故B錯誤;若|zi|=1,即|zi|=1=|a+(b1)i|=a2+(b-1)2=1,所以a2+(b1)2=1,即z表示以(0,1)為圓心,以1為半徑的圓上的點,且|z|表示圓上的點到原點的距離,所以|z|的最大值為2,故C正確;若|zi|=|z|+1,即|zi|=|a+(b1)i|=a2+(b-1)2,|z|+1=a2+b2+1,即a2+(b-11.(2024·山西省適應(yīng)性考試)蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物,如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF,它的邊長為1,點P是△DEF內(nèi)部(包括邊界)的動點,則下列選項正確的有()A.B.C.若P為EF的中點,則CP在ECD.|FE+FP|答案AD解析取正六邊形ABCDEF的中心為O,連接OA,OB,OC,OD,OE,OF,則DE=OE-OD=AF-12AD,故A正確;由題意可知CE⊥EF,若P為EF的中點如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(12,32),B(12,32),C(1,0),D(12,32),E(12,32),F(1,0),可得AC=(32,32),BD=(0,3),所以AC·BD=32,故B錯誤;設(shè)P(x,y),可知1≤x≤12,0≤y≤32,則FE=(12,32),FP=(x+1,y),可得FE+FP=(x+32,y+32),三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·江蘇南通二模)設(shè)m∈R,i為虛數(shù)單位.若集合A={1,2m+(m1)i},B={2i,1,2},且A?B,則m=.

答案1解析集合A={1,2m+(m1)i},B={2i,1,2},且A?B,則有2m+(m1)i=2i或2m+(m1)i=2,解得m=1.13.(2024·湖南長沙一模)已知平面向量a,b滿足|a|=1,b=(1,2),a⊥(a2b),則向量a,b夾角的余弦值為.

答案5解析因為b=(1,2),所以|b|=5.由a⊥(a2b),有a·(a2b)=a22a·b=|a|22|a||b|cos<a,b>=125cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=14.(2023·浙江溫州模擬)設(shè)a,b是平面內(nèi)的兩條互相垂直的直線,線段AB,CD的長度分別為2,10,點A,C在a上,點B,D在b上,若M是AB的中點,則MC·MD的取值范圍是答案[9,11]解析設(shè)直線a與直線b的交點為O,因為M是AB的中點,AB=2,