第6節(jié)軌跡為圓（?。┑膭狱c最值問題

目標層級圖

課中講解

一.動點到定點等于定長

動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。

1、沿定點翻折軌跡是圓

例1.已知一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標洗中，點A（11,0）,點B

（0,6）,點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片,

則CB，的最小值為o

例2.如圖在RSABC中，ZB=90°,NC=30。，AB=1,D為線段AC上一動點，將ABDC

沿著BD翻折，點C的對應點為F,E為AC的中點，在D從C到A的運動過程中，當EF

最短時，CD=。

2

例3.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,4）=3,M是4）邊的中點，N是AB邊上的一

動點，將A4MV沿MN所在直線翻折得到△4MN,連接AC.在MN上存在一動點尸.連

接A'?、CP,則△A'PC周長的最小值是.

過關檢測

1.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點（不與點B

重合），將ABCP沿CP所在的直線翻折，得到△BCP,連接BA,則B，A長度的最

小值是o

2.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,/3_L8C,點尸是邊4。上一動點，將AAB尸沿成

折疊得到反5EP,連接DE,CE,已知/$=4,4）=3,BC=6,則△CDE面積的最小

值為

3

2、有公共端點的線段等長，等同于圓上點與圓心的連線

方法：往往需要畫出圓軌跡，利用圓的性質解決問題，類似于四點共圓。

例1.如圖，四邊形A3CD中，AB=AC=AD,若NC4D=80°,貝jlNCB￡>=度.

例2.如圖，邊長為&的正方形旗CD的頂點A、3在一個半徑為灰的圓上，頂點C、D

在圓內，將正方形48C。沿圓的內壁逆時針方向作無滑動的滾動.當點C第一次落在圓上

時，點。運動的路徑長為.

過關檢測

1.如圖，O。的半徑為2,AB,CD是互相垂直的兩條直徑，點P是OO上任意一點（P與

A,B,C,。不重合），過點尸作EM_L反于點M,PN1CD千點、N,點Q是MN的

中點，當點F沿著圓周轉過45。時，點Q走過的路徑長為一.

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2.如圖，已知0。的半徑為3,圓外一定點。滿足OC-5,點尸為8上一動點，經(jīng)過點。

的直線/上有兩點A、B,且。4=08,NA尸8=90°，/不經(jīng)過點C,則的最小值

二.定弦定角（包括直角所對的是直徑）

當某條邊與該邊所時的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓弧.

見直角T找斜邊（定長）一想直徑T定外心一現(xiàn)“I員I”形；

見定角一找對邊（定長）T想周角一轉心角一現(xiàn)“圓''形；

【一般解題步驟】

①讓主動點動一下，觀察從動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)從動點的運動軌跡是一段弧。

②尋找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角，這個補角一般為45。、60?；蛘咭粋€確

定的三角函數(shù)的對角等）

③找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓。

④確定圓心位置，計算隱形圓半徑。

⑤求出隱形圓圓心至所求線段定點的距離。

⑥計算最值：在此基礎上，根據(jù)點到圓的距離求最值（最大值或最小值）。

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（一）見直角

例1.如圖，RtAABC中，AB工BC,AB-6,BC-4,P是A4BC內部的一個動點，且

滿足NR$=NPBC，則線段CP長的最小值為o

例2.（2020?青羊區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=6O°,AC=2x/5,點尸

為A8邊上的一個動點，連接PC,過點P作PQ_LPC交8C邊于點。，則8Q的最大值

為一.

例3.如圖，半徑為4的0。中，CZ）為直徑，弦A8_L8且過半徑OZ）的中點，點E為QO

上一動點，于點尸.當點石從點8出發(fā)順時針運動到點。時，點尸所經(jīng)過的路徑

長為o

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過關檢測

1.如圖，已知RtAABC中，AC=5,3c=12,NACB=90。，尸是邊AB上的動點，Q是

邊8C上的動點，且NCPQ=90。，則線段CQ的取值范圍是.

（二）見定弦定角

例1.如圖，點A是直線y=T上的動點，點B是x軸上的動點，若A6=2,則A4OB面積

過關檢測

1.如圖，A4BC為等邊三角形，AB=2,若尸為AABC內一動點，且滿足NRW=NACP,

則線段依長度的最小值為一.

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學習任務

I.平行四邊形458中，NA=60>,AB=BC=2,M是4)邊的中點，N是AB邊上的一

動點，將A4A/N沿用N所在直線翻折得到△HMV,連接4C,則AC長度的最小值是

()

A.7577-1

2.如圖，在RSABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點尸在邊AC上，并且b=2,點

E為邊8c上的動點，將ACE尸沿直線所翻折，點C落在點尸處，則點尸到邊距離的

最小值是.

CE

3.如圖，E,尸是正方形ABCO的邊AD上的兩個動點，滿足A￡=O/"連接C尸交班>于

點G,連接BE交AG于點”.若正方形的邊長為4,則線段?！伴L度的最小值是—.

4.如圖，4ABC是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC上的動點，BE_LAD于E,則CE的

最小值為___________

R