第頁專題01平面向量的概念思維導圖核心考點聚焦考點一、向量的基本概念考點二、向量的表示方法考點三、利用向量相等或共線進行證明考點四、向量知識在實際問題中的簡單應用知識點一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數(shù)量．知識點詮釋：（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．知識點二：向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識點三：向量的有關概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．知識點詮釋：（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量．知識點詮釋：（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點詮釋：在平面內，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．規(guī)定：與任一向量共線．知識點詮釋：1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別．2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系．3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．考點剖析考點一：向量的基本概念例1．下列命題中真命題的個數(shù)是（

）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標平面上的x軸?y軸都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】（1）錯誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯誤，直角坐標平面上的軸、軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.故選：A.例2．給出下列物理量：（1）質量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】A【解析】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.故選：A.例3．下列各式中不表示向量的是（）A． B． C． D．，，且【答案】C【解析】根據題意，依次分析選項：對于A，是向量的數(shù)乘運算結果仍為向量；對于B，，是向量的加法，結果是向量，對于C，是向量的模，是實數(shù)，不是向量；對于D，向量的數(shù)乘運算結果仍為向量；故選：C．變式1．下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【答案】B【解析】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B考點二：向量的表示方法例4．用有向線段表示下列物體運動的速度．(1)向正東方向勻速行駛的汽車在2h內的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落體運動的物體在1s末的速度（用1cm的長度表示速度2m/s）．【解析】（1），以為起點，向右作有向線段，它的長度是3cm，（2），時，，以為起點，向下作有向線段，長度為：例5．用有向線段分別表示一個方向向上、大小為20N的力，以及一個方向向下、大小為30N的力（用1cm的長度表示大小為10N的力）．【解析】如圖，有向線段表示方向向上、大小為20N的力，有向線段表示方向向下、大小為30N的力，例6．在平面直角坐標系xOy中有三點，，．請用有向線段分別表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．【解析】如圖，有向線段表示A到B的位移，有向線段表示B到C的位移，有向線段表示C到A的位移.變式2．畫圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：(1)由A地向東北方向航行15km到達B地；(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達C地；(3)由C地向正南方向航行20km到達D地．【解析】（1）根據的比例尺，即圖上，作圖如下，（2）根據的比例尺，即圖上，作圖如下，（3）根據的比例尺，即圖上，作圖如下，考點三：利用向量相等或共線進行證明例7．在如圖所示的坐標紙中(每個小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．(1)，點A在點O北偏西45°方向；(2)，點B在點O正南方向．【解析】(1)∵，點A在點O北偏西45°方向，∴以O為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對角線OP的交點即為A點：(2)∵，點B在點O正南方向，∴以O為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點即為B點：例8．已知O為正六邊形的中心，在圖所標出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？【解析】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.（2）由于與長度相等且方向相同，所以.（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等.例9．如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個?(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個?【解析】（1）因為ABCDEF為正六邊形，所以中心O到各頂點的距離相等，且均等于正六邊形的邊長.因此題圖中所示的向量中與的模相等的向量有，，，，，，，，，，，共11個.（2）由題知，圖中所示的向量中與共線的向量有，、、，共4個.變式3．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量，使；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量，使，并說出向量的終點的軌跡是什么？【解析】（1）根據相等向量的定義，所作向量與向量平行，且長度相等．圖如下所示：（2）由平面幾何知識可知所有這樣的向量的終點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓．考點四：向量知識在實際問題中的簡單應用例10．如圖，某船從點O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點A處，求該船航行向量的長度（單位：nmile）．

【解析】由題意，所以向量的長度為2nmile．例11．某人從點A出發(fā)向西走4個單位長度到達點B，然后改變方向朝西北方走6個單位長度到達點C，最后又向東走4個單位長度到達點D．試分別作出向量，和．【解析】根據題意，在平面內任取一點為，按照題意要求方向，作線段，，則向量，和如下所示：例12．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．（1）試作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，向量即為所求．（2）根據題意，向量與方向相反，故向量，又，∴在中，，故為平行四邊形，∴，則（海里）．變式4．已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．【解析】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系．由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，向量如圖所示，由已知可得，為正三角形，所以．又，，所以為等腰直角三角形，所以，．故向量的模為，方向為東南方向．過關檢測一、單選題1．下列說法錯誤的是（

）A．任一非零向量都可以平行移動 B．是單位向量，則C． D．若，則【答案】D【解析】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確；由單位向量對于可知，，故B正確；因為，所以，故C正確；因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤；故選：D2．下列各命題中，正確的是（

）A．若，則或B．與非零向量共線的單位向量是C．長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量D．若，則【答案】C【解析】對于A選項，若，則、的方向關系無法確定，A錯；對于B選項，與非零向量共線的單位向量是，B錯；對于C選項，長度不相等而方向相反的兩個向量一定是平行向量，C對；對于D選項，若，但向量、不能比大小，D錯.故選：C.3．如果將平面內所有單位向量的起點放在同一點，那么它們的終點構成的圖形是（

）A．正方形 B．圓 C．線段 D．點【答案】B【解析】把所有單位向量的起點平行移動到同一點，向量終點的集合是距離點為單位長的點，那么它們的終點構成的圖形是圓.故選：B.4．在下列結論中，正確的結論為（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．，，則【答案】D【解析】對于A項，若，則，故A項錯誤；對于B項，根據向量的模的概念，可知B項錯誤；對于C項，若，則方向不確定，故C項錯誤；對于D項，根據向量的概念，可知D項正確.故選：D.5．設是正方形ABCD的中心，則（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【答案】D【解析】對于A項，，不共線，故A項錯誤；對于B項，顯然不平行，且三點不共線，故B項錯誤；對于C項，根據正方形的性質，可知，，，的長度相等，故C項錯誤；對于D項，根據正方形的性質，方向相同，方向相同.又，，，的長度相等，所以，，故D項正確.故選：D.6．已知四邊形，下列說法正確的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【答案】A【解析】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；選項，如圖，但是四邊形不是矩形，錯誤；選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.故選：A7．設是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】因為，，所以，即，，所以四邊形是平行四邊形，因為，即，所以四邊形是菱形.故選：B8．如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（）

A．B．C．D．【答案】D【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯；因為，則，則，則，即，即，，則，，即為的中點，所以，，C錯，D對.故選：D.二、多選題9．給出下列命題，其中假命題為（

）A．兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；B．若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；C．若與同向，且，則；D．為實數(shù)，若，則與共線.【答案】ACD【解析】對于A，兩個具有共同終點的向量，由于起點不一定相同，它們的方向不一定相同，所以它們不一定是共線向量，所以A錯誤，對于B，當是不共線的四點，若，則四邊形是平行四邊形，若四邊形是平行四邊形，則，所以是四邊形為平行四邊形的充要條件，所以B正確，對于C，當與同向，且時，因為兩個向量不能比較大小，所以C錯誤，對于D，為實數(shù)，若，則與不一定共線，如時，與是任意的，所以D錯誤，故選：ACD10．給出下面四個命題，其中是真命題的是（

）A．B．零向量與任意向量平行C．是向量的充分不必要條件D．向量與向量是共線向量，則點必在同一條直線上【答案】AB【解析】對選項A：，正確；對選項B：零向量與任意向量平行，正確；對選項C：當時，；當，不能得到，故是向量的必要不充分條件，錯誤；對選項D：向量與向量是共線向量，則或點在同一條直線上，錯誤；故選：AB.11．以下選項中，能使成立的條件有（

）A． B．或C． D．與都是單位向量【答案】BC【解析】對于A、D：不妨取分別為x、y軸上的單位向量，滿足“”，滿足“與都是單位向量”，但是不成立.故A、D錯誤；對于B：由零向量與任何向量平行，可知或時，.故B正確；對于C：因為，所以.故C正確.故選：BC三、填空題12．下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯誤的是（填序號）．【答案】②③④【解析】由零向量的定義可知，①正確；時，不知道兩個向量的方向，不能得到或，②錯誤；兩個向量共線，與模是否相等無關，③錯誤；當時，滿足，，但不能得到，④錯誤.故答案為：②③④13．如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量相等的向量有個.

【答案】3【解析】根據正六邊形的性質和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個.故答案為：314．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有對.

【答案】2【解析】由題意∥AB可知，，所以，所以.因為，所以，，所以，，所以.又M，O，N三點共線，所以，，故相等向量有2對.故答案為：2.15．某人從A點出發(fā)向西走了到達點，然后改變方向向西偏北走了到達點，最后又改變方向，向東走了到達點，則的模=．【答案】【解析】如圖示，由題意可得向量共線，且，則四邊形為平行四邊形，故，故答案為：四、解答題16．在矩形中，，點、分別為和的中點，在以、、、、、為起點或終點的向量中，相等的非零向量共有多少對？【解析】在矩形中，，點、分別為和的中點，所以和為邊長相等的正方形，如圖所示，由題意得，，有3對（即、、）；，有6對（即、、、、、）；，有1對；，有1對，有1對，共有對；加上它們的方向相反的向量也有12對，所以總共有對．17．在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1．(1)試以為終點畫一個有向線段，設該有向線段表示的向量為，使．(2)在圖中畫一個以為起點的有向線段，設該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？【解析】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長度相等，即，即可得到向量；（2）如圖，畫出一個滿足條件的向量，點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓.18．如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．(1)寫出與向量相等的向量；(2)寫出與向量共線的向量．【解析】（1）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴，，∴.故與向量相等的向量是，.（2）由共線向量的條件知，與共線的向量有，，，，，，.平面向量的概念隨堂檢測1.如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量運算得.【詳解】由圖知，故選：B.2.如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量與的關系是（

）A．＝ B． C．＞ D．＜【答案】B【解析】與是等腰梯形的兩腰，則它們必不平行，但長度相同，故，又向量不是實數(shù)，是不能比較大小的.故選：B.3.下列命題中正確的個數(shù)是（

）①起點相同的單位向量，終點必相同；②已知向量，則四點必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，【詳解】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，對于B，向量，則四點共線或，故B錯誤，對于C，若，當時，不一定平行，故C錯誤，對于D，若三點共線，則，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，故選：A4.下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為【答案】D【分析】對A，向量模相等，則向量相等或相反；對B，向量共線定理判斷；對C，利用向量平行（或共線）的性質判斷，對D利用非零向量的單位向量的求解方法求解.【詳解】若，則或，所以選項A錯誤；若，此時不存在，選項B錯誤；若，由，，不一定得到，選項C不正確；由向量為非零向量，根據單位向量的定義，選項D正確.故選：D.5.（多選）下列說法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線，則或C．若，則 D．是與非零向量共線的單位向量【答案】CD【分析】根據向量的基本概念，以及零向量和單位向量的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，向量的方向不一定相同，所以A錯誤；對于B中，向量與的長度不一定相等，所以B錯誤；對于C中，由，根據零向量的定義，可得，所以C正確；對于D中，由，可得與向量同向，又由的模等于，所以是與非零向量共線的單位向量，所以D正確.故選：CD.6.給出下列四個說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則.其中錯誤的說法有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①只有零向量的模是0，因此應有，不是0，錯；②模相等的向量方向不確定，不一定相同或相反，錯；③兩向量平行，只要方向相同或相反或有一個為零向量，模不作要求，錯；④當時，不一定共線，錯．故選：D．7.已知P在所在平面內，滿足，則P是的（

）A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】表示到三點距離相等，為外心．故選：A．8.若是任一非零向量，是單位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正確的有（

）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【答案】D【解析】①｜｜＞｜｜不正確，是任一非零向量，模長是任意的，故不正確；②∥，則與為共線向量，故不正確；③，向量的模長是非負數(shù)，故正確；④｜｜=1，故正確；⑤是單位向量，是單位向量，兩向量方向不一定相同，故不正確.故選：D.9.（多選）下列說法正確的是（

）A．與是非零向量，則與同向是的必要不充分條件B．是互不重合的三點，若與共線