周長面積問題中的猜想歸納思想

1.猜想歸納思想

歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、

圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認(rèn)真觀察、分析

推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W(xué)生的歸納、概括、類

比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察一歸納一猜想一證明(驗(yàn)證)”，具體做法：

(1)認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

(2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)

一般性的結(jié)論；

(3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

歸納猜想類問題可以分成四大類：

(1)數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個(gè)一

般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號的關(guān)系是解這類題的

關(guān)鍵。

(2)圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為

載體考查圖形所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)

系。

(3)結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題?？紨?shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化,

是解題的關(guān)鍵。

(4)類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對象的某些

己知的性質(zhì)，推斷出另一類對象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時(shí)也指兩個(gè)對象在研究方法、

學(xué)習(xí)過程上類比，考查類比歸納推理能力。

2.作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡單作圖放入實(shí)際問題中.

首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方

法作圖.

3.翻折變換（折疊問題）

1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求

的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?龍口市期末）如圖，AX8C的周長為a,以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△4月G，

再以△NAG各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作…如此下去，則紇Q的周長為（）

1小1r1

AA.—aB.—ciC.--ciD.--u

2〃3〃2〃—11

2.（2020秋?零陵區(qū)期末）如圖，在矩形N8C。中，AD=2,CD=\,連接NC,以對角線

/C為邊，按逆時(shí)針方向作矩形N8CD的相似矩形/用GC,再連接』G，以對角線NG為

邊作矩形/瓦GC的相似矩形/芻。26，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形NgCCi的周長為（

)

???2

A-3x(與亞亞

B.3x(—)"-'c.6x(—yD.6x(—)"-1

222

3.（2021?開封二模）如圖，將AA8C沿著過BC,4B的中點(diǎn)。，E所在的直線折疊，使

點(diǎn)8落在NC邊上的用處，稱為第一次操作，點(diǎn)。到/C的距離為乙；還原紙片后，再將

ABDE沿著過BD,3E的中點(diǎn)2，耳所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在。E邊上的當(dāng)處，稱為

第二次操作，點(diǎn)2到NC的距離記為〃2；按上述方法不斷操作下去，…，經(jīng)過第〃次操作

后得到點(diǎn)。,7到NC的距離記為〃,?若％=1,則切值為（）

B

A.2--J-B.2-—C.1+」D.1+—

2"一2"2"T2"

4.如圖，正方形45。與中，48=1,與直線/的夾角為30。，延長C4交直線/于點(diǎn)4,

B

作正方形481G層，延長Q2交直線/于點(diǎn)4，作正方形A2B2C2B},延長C2B3交直線I于

點(diǎn)4，作正方形483c3當(dāng)…依此規(guī)律，則4。184。19=（）

A.嚴(yán)8B.(V3)2019C.2(V3)2018D.2(V3)2019

5.如圖，AAOB=45°,在。/上截取04=1,04=3，OA3=5,OA4=7,04=9，…，

過點(diǎn)4、4、4、4、4分別作ON的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組陰影部分，它們

6.下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖形的面積為2c機(jī)2,

第（2）個(gè)圖形的面積為8c/,第（3）個(gè)圖形的面積為18c/，…，則第（10）個(gè)圖形的面

—.填空題（共10小題）

7.（2021秋?朝陽期中）如圖，△43?的面積為a,分別延長△4AG的三條邊用G、Cd、

/百到點(diǎn)鳥、。2、4，使得弓為=耳。|，4c2=4G，44=4瓦，得到△省與。?；再分

別延長△482c2的三條邊B2C2、C2A2、A2B2到點(diǎn)為、C3、4，使得=BG，A2C3=4c2,

B2A3=A2B2,得到△483C3；....按照此規(guī)律作圖得到44紇c“，則△4紇C"的面積

為—.

昆

8.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形N8CD的位置如圖所示，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)

為(0,2).延長CB交.x軸于點(diǎn)4，作第1個(gè)正方形4月。0；延長G4交x軸于點(diǎn)4，作第

2個(gè)正方形432c2^,…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2019個(gè)正方形的面積是

9.(2021春?瑤海區(qū)期中)如圖，一系列等腰直角三角形(編號分別為①、②、③、④、…)

組成了一個(gè)螺旋形，其中第1個(gè)三角形的直角邊長為1,則第”個(gè)等腰直角三角形的面積

10.直線上有100個(gè)點(diǎn)，我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)之間插入I個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過三次這樣

的操作后，直線上共有個(gè)點(diǎn).

11.如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)菱形，再依次連接所得菱形各邊的中

點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，

按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的面積為2,則第2013個(gè)菱形的面積為一.

［一叵=句=…

12.如圖，“把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為工的矩形”稱為第1次變換，接著

2

“把其中一個(gè)面積為工的矩形等分成兩個(gè)面積為工的矩形”稱為第2次變換，再“把其中

24

一個(gè)面積為工的矩形等分成兩個(gè)面積為工的矩形”稱為第3次變換，…一直到第100次變

48

換，我們得到一系列數(shù)：,....利用圖形可求得前10個(gè)數(shù)的和是.

2481632

13.已知邊長為1的正方形，按如圖所示的方式分割，第1次分割后的陰影部分面積每=1，

第2次分割后的陰影部分面積其=1，第3次分割后的陰影部分面積工=（，….按照這

樣的規(guī)律分割，則第〃（〃為正整數(shù)）次分割后的陰影部分面積可用〃表示為S'=—.

14.如圖，依次連接一個(gè)邊長為1的正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)正方形，再依次連接第

二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，則第二個(gè)正方形的面積

15.如圖，從原點(diǎn)N開始，以48=1為直徑畫半圓，記為第1個(gè)半圓；以3C=2為直徑畫

半圓，記為第2個(gè)半圓；以CO=4為直徑畫半圓，記為第3個(gè)半圓；以。￡=8為直徑畫半

圓，記為第4個(gè)半圓；…，按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第6個(gè)半圓的面積為一.

16.如圖，AASC的面積為1,分別取/C、8C兩邊的中點(diǎn)4、則四邊形//夕瓦的面

積為,再分別取4。、31c的中點(diǎn)4、B],A2C,22c的中點(diǎn)4、鳥，依次取下去….利

用這一圖形，能直觀地計(jì)算出鄉(xiāng)+之+與+...+巨=

442434"

17.（2021秋?廣陵區(qū)期中）讓我們一起探索有趣的“皮克定理”：用水平線和豎直線將平面

分成若干個(gè)邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫

（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請完成下表，并寫出S與x之間的關(guān)

系式：S=.

多邊形的序號①②③④

多邊形的面積S2——4

各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和X4568

(2)探索：在上面網(wǎng)格圖中畫出四個(gè)格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有兩個(gè)格點(diǎn)，并寫出所畫的

各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式：S=—；

(3)猜想：當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有〃個(gè)格點(diǎn)時(shí)，S與x之間的關(guān)系式是：S=—.

18.正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1,小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的

多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，設(shè)格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為a,格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格

點(diǎn)個(gè)數(shù)和為6,格點(diǎn)多邊形的面積為S,圖1、圖2是兩個(gè)格點(diǎn)多邊形.

(1)根據(jù)圖中提供的信息填表：

一般格點(diǎn)多邊形aba+2bS

多邊形1(圖1)61——

多邊形2(圖2)7211—

(2)在給定的正三角形網(wǎng)格中分別畫出一個(gè)面積為3、4、5的格點(diǎn)多邊形:

(3)猜想S與a、b之間的關(guān)系：S=(用含°、6的代數(shù)式表示)；

(4)若一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,6是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最

19.用網(wǎng)格線將平面分成若干個(gè)面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點(diǎn)，叫格

點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)

和為x.

（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對

應(yīng)關(guān)系如下表，請寫出S與x之間的關(guān)系式.

多邊形的序號①②③④

多邊形的面積S3456

各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和X3456

答：S=

（2）請你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2