專題02二次函數(shù)解析式

一、知識導航

知識點整理：

一般式y(tǒng)=ax1-\-bx+c(aw0)

頂點式y(tǒng)=〃(％—0)2+左(〃。0)頂點坐標為(hg

交點式y(tǒng)w。)與x軸的交點為(x1?0),(x2,0)

二、典例精析

一、a也c中有一個未知量

例一已知二次函數(shù)y=a/。o)的圖象過點(1,3),求該二次函數(shù)的表達式.

解：將點(1,3)代入y=+。o)

得:3=QX]2+〃X1+Q解得a=l

所以y=%2+%+l

例二已知二次函數(shù)y=〃(％+5)(%—2)(〃。0)的圖象的頂點坐標為(-3,5),求該二次函數(shù)的表達式.

解：將點(-3,5)代入y=a(x+5)(x-2)(aw0)

得：5=a(—3+5)x(—3—2)解得〃=_；

113

所以y=-—(x+5)(x-2)=--%2--x+5

二、a,A,c中有兩個未知量

例三若拋物線y=%2+法+。(〃。0)經(jīng)過點a,Q)和(3,o)兩點，求該拋物線的表達式.

解：將點(1,0)和(3,0)代入y=%2+匕％+0(〃。0)

0=l2+/?xl+cb=-4

得:解得＜

O=32+Z?X3+Cc=3

所以y=-4%+3

例四已知拋物線y=ar?+5%的對稱軸為直線尤=1,且函數(shù)圖象經(jīng)過點(3,-3),求該拋物線的表達式.

解：將點(3,-3)代入

得2/1解得1

-3=9a+3b1

所以y=-x2+2x

三、a,b,c均為未知量

類型(一般式y(tǒng)=++b%+c(aw0)

例五已知拋物線y=a/+法+。(〃。o)經(jīng)過(2,0),(-1,0),(0,1)三點，求該拋物線的表達式.

解：將點(2,0),(-1,0),(0,1)代入y=a/+"+c(〃w0)

1

0=QX22+6x2+。2

91

得:<0=4x(—1)+6x(—l)+c解得<b=—

l=cC=1

所以y=一工X2+!工+1

.22

類型二(頂點式丫=。(%—/1)~+左(。20)頂點坐標為(h,k))

例六已知拋物線的頂點坐標為(2,3),且拋物線經(jīng)過點(3,0),求該拋物線的表達式.

解：設拋物線解析式為y=a(x-/i)2+k(a^0)

?.?頂點坐標為(2,3)y=a(x-2)2+3

將點(3,0)代入得0=a(3—2y+3

解得a=-3

所以y=—3(x—2?+3=-3/+12x-9

類型三(交點式y(tǒng)=Q(x-%J(x-%2)(Qw。)與％軸的交點為(4。),(x2,0))

例七已知拋物線的對稱軸為直線%=1,與無軸交于點(-1,0),若點(-2,5)在拋物線上，求該

拋物線的表達式.

解：：對稱軸為直線％=1,與x軸交于點(-1,0)

與％軸另一交點為(3,0)

設拋物線解析式為y=<7(X+1)(X-3)

將點(-2,5)帶入得5=〃(-2+1)(-2-3)解得〃=1

所以拋物線解析式為+1)(%-3)=x2-2%-3

三、中考真題演練

1.(2023?遼寧丹東?中考真題)拋物線>=加+次一4與x軸交于點A(TO),*2,0),與y軸交于點C.

⑴求拋物線的表達式；

2.(2023.四川巴中.中考真題)在平面直角坐標系中,拋物線y=o?+6x+c(a#0)經(jīng)過點4T0)和8(0,3),

3.(2023?浙江金華?中考真題)如圖，直線>+石與x軸，丁軸分別交于點A,B,拋物線的頂點P在

直線A3上，與x軸的交點為CD,其中點C的坐標為(2,0).直線8C與直線產(chǎn)。相交于點E.

(1)如圖2,若拋物線經(jīng)過原點O.

①求該拋物線的函數(shù)表達式；

4.(2023?四川遂寧?中考真題)在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=1f+灰+c經(jīng)過點。(0,

4

0),對稱軸過點8(2,0),直線/過點C(2,-2),且垂直于y軸.過點8的直線《交拋物線于點M、N,交

直線/于點Q,其中點M、。在拋物線對稱軸的左側(cè).

（圖1）（圖2）

(1)求拋物線的解析式;

5.(2023?四川廣安?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象交x軸于點AB,交V軸于點C,點8

的坐標為(1,0),對稱軸是直線x=-l,點尸是x軸上一動點，PMLx軸，交直線AC于點以，交拋物線于

點N.

⑴求這個二次函數(shù)的解析式.

6.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖,拋物線>=&+Zu+c與x軸交于點A（T,O）、3（2,0）,且經(jīng)過點。（-2,6）.

⑴求拋物線的表達式；

7.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線>=62+法+3（awO）與x軸交于A（-1,O）,B（3,0）兩點,

（1）求拋物線的解析式;

8.（2022?山東淄博.中考真題）如圖，拋物線y=-N+bx+c與無軸相交于A,8兩點（點A在點B的左側(cè)）,

4

頂點。（1,4）在直線/：y=—x+t_h,動點尸（m,n）在x軸上方的拋物線上.

(1)求這條拋物線對應的函數(shù)表達式;

9.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)一次函數(shù)y=；x+l的圖像與彳軸交于點A,二次函數(shù)＞=加+云+可。wo)的

圖像經(jīng)過點A、原點。和一次函數(shù)y=

圖1圖2

(1)求這個二次函數(shù)的表達式;

10.(2022?山東東營?中考真題)如圖,拋物線y=加+6x-3("0)與無軸交于點4-1,0),點2(3,0),與＞

軸交于點C.

（1）求拋物線的表達式;

11.（2022?四川資陽?中考真題）己知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為41,4）,且與無軸交于點8（-1,0）.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

12.（2022.遼寧朝陽?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ox2+2x+c與x軸分別交于點4（1,

13.（2022?遼寧鞍山?中考真題）如圖，拋物線丁=-；/+云+。與x軸交于A（一1,O）,臺兩點，與y軸交于

點C（0,2）,連接BC.

(1)求拋物線的解析式.

14.(2022?山東荷澤.中考真題)如圖，拋物線y無2+bx+c(aw0)與x軸交于4(—2,0)、8(8,0)兩點，與y

軸交于點。(0,4),連接AC、BC.

⑴求拋物線的表達式；

15.(2022?遼寧丹東?中考真題)如圖1,拋物線y=ca2+x+c