鎮(zhèn)江市2024?2025學年度第一學期高三期中質量檢測

數學試卷

2024.11

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合/=｛1,2,3,4｝,B=｛x|log2(x-l)<2),則/n5的元素個數為

A.1B.2C.3D.4

?2.

2.設復數z=ZL二I,則z的虛部是

1+z

A.1B.-1C.iD.-i

3.等比數列｛a“｝的各項均為正數，若%+%+。3=7，%=+2。2，貝！J劭+=

A.588B.448C.896D.224

4.已知向量同=2夜,S=(l,-1),a+S=2V3,則向量Z在B上的投影向量為

(2,-2)D.f1,-1

A.B.(-2,2)C.

5.己知“eR,函數/(x)=產二在R上沒有零點，則實數a的取值范圍

''[-ln(x+l)-a,x>0

A.(0,+s)B.(l,+?)C.[l,+8)U{0}D.(l,+s)U{0}

6.已知。為第一象限角，且tan(e+?]+tan。=0,貝!j1+cos26_

1-cos26

A.9B.3C.-D.-

39

7.設無窮等差數列｛%｝的公差為4,其前〃項和為S“.若由<0,貝U"S.有最小值”是“d20”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

8.在△/BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c^BC=2BC-AB,則coJ的最小值為

V31

ARC.—D.-

2223

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數=cosxjsinx],貝!J

A./(X)是偶函數B./(X)的最小正周期為萬

C.的最大值為:D.在0,1上單調遞增

10.已知函數/(X)=(X-1)2(X-4)+4的導函數為f'(x)

A.〃x)只有兩個零點B./(4-x)=/(x)

C.尤=1是/⑺的極小值點D.當xNO時，/(x)20恒成立

11.如圖，圓錐SO的底面直徑和母線長均為46，其軸截面為△S43,C為底面半圓弧上一點，且

AC=2CB,SM=ASC,而=〃豆(0<%<1,0<〃<1),貝！j

C

A.存在Xe(O,l),使得

B.當〃=5時，存在;le(0,1),使得〃平面ONC

C.當2=工，〃時，四面體的體積為日百

333

D.當/N_LSC時，u=-

7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.鎮(zhèn)江的慈壽塔是金山寺的標志性建筑，創(chuàng)建于1400余年前的齊梁時期.某同學為了測量慈壽塔助的

高，他在山下工處測得塔尖。點的仰角為45。，再沿正對塔即方向前進20米到達山腳點2,測得塔尖點。

的仰角為60。，塔底點E的仰角為30。，則慈壽塔高約為米.(小L7,答案保留整數)

AB

13.已知數列｛%｝是單調遞增數列，其前“項和為5"=/，+8〃(4，8為常數)，寫出一個有序數對

(42)=，使得數列｛國｝是等差數列.

14.定義在R上的函數g(x)滿足y=g(2x+l)-2是奇函數，則g(x)的對稱中心為；若

%=g［占［+g［Wj+g［Wj+…+g］竄，eN*),則數列｛“的通項公式為--------

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在銳角三角形中，角B,C所對的邊分別是a,b,c,已知

cosA+3cos24=-2.

(1)求cos/的值；

(2)若26=3c,求sinC的值.

16.(15分)已知函數/(x)=l+x-%2,g(x)=e".

(1)求證：直線y=x+l既是曲線y=的切線，也是曲線y=g(x)的切線;

(2)請在以下三個函數：①/(x)+g(x)；②/(x>g(x)；③坐中選擇一個函數，記為y=/z(x),使

S\x)

得該函數有最大值，并求/z(x)的最大值.

17.(15分)已知"N*,數列｛%｝前"項和為"，且滿足邑=2。“-1；數列也｝滿足61=2,

2+1=2-?

b“

(1)求數列｛q,｝的通項公式；

(2)是否存在實數X,使得數列是等差數列？如果存在，求出實數彳的值；如果不存在，請說明

理由；

(3)求使得不等式2泌"Na"成立的"的最大值.

18.(17分)在四棱錐尸一48CZ)中，ZABC=ZACD=9Q°,NBCA=NCDA=3?！?尸/_1_平面48cZ),E,

尸分別為尸D,尸C的中點，4B=1.

(1)求證：平面P/C_L平面4EF；

(2)若P4=2,求點尸到平面NCE的距離；

(3)若二面角4-PD-C的余弦值為"，求尸N.

4

19.(17分)已知函數/(x)=axhu-x.

(1)當。=1時，討論/(x)的單調性；

(2)當x>l時，/(x)<-l,求a的取值范圍；

n[n[

(3)設〃eN*,證明：X"r=>ln("+1)>X7TT

1=1+1i=l"+1

鎮(zhèn)江市2024?2025學年度第一學期高三期中質量檢測

數學試卷答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.【答案】C【解析】5={x|l<x<5},={2,3,4}共3個元素，選C.

2.【答案】B【解析】z=3=0±=且=7,虛部為-1,選B.

1+z22

3.【答案】B【解析】為=。3+2。2，二/=4+2，二4=2或-1(舍)

+。9=+。2+。3)/=7x26=448，選B.

4.【答案】D【解析】|<?+S|=a2+2a-b+b"-S+2a-b+2=l2,■-a-b=\

Z在心的投影向量”|《=&=化」］,選D.

■2122)

5.【答案】D【解析】xKO時，e"=。無解，。W0或。>1；%>0時，ln(x+1)=—。無解,

???420貝!JQ￡(1,+8)U{0}，選D.

l+cos2。T

71L選c.

6.【答案】C【解析】tan0+—\+tan^=0,：.0=—

331-cos26]+13

2

7.【答案】A【解析】有最小值”o“d>0”，??.“S〃有最小值”是“dZO”的充分不必要條件選

A.

___2,2_/2

8.【答案】A【解析】BC=2BC-AB,.-.a2=-2BCABcosB,：.a1=-2ac--~——=-a2-c2+b2,

2ac

A221,3

/+3一/+cC—b2+—c2

???2a2=b2-c2cosN=---------------=----------22=—,選A.

2bc2bc2bc2bc2

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】AC【解析】/(x)為偶函數，A對./(%+^)=cos(x+^)|sin(x+^)|=-cosxsinx|=-f(x),

為奇函數,錯.17jr1；

/(x)Bf(x)<|sinxcosx|=^-|sin2x|V—,C對.xe0,-,/(x)=sinxcosx=sin2x,/(x)

222

在0,-單調遞增，單調遞減，D錯.

4442

10.【答案】ABD【解析】r(x)=3(x-l)(x-3)=0,x=l或3,/(x)在(-單調遞減，(1,3)單調遞

增，（3,+8）單調遞減，“X）極大值=/（1）=4,/（X）極小值=〃3）=0,.??/（X）有且僅有兩個零點，A對.

/'（X）關于x=2對稱，B對.x=l是極大值點，C錯.x20時，/（O）=O,恒成立，D對.

H.【答案】BCD【解析】BCLAC,則5c與N"不可能垂直，若8C_L/M,則8。_1面”。，則

BCLSA,則8c_1面"3矛盾，A錯.對于B,取SN中點尸，則/P//ON,過尸作PM7/CN交SC于點

M,此時M為SC中點，則面APMH平面ONC,：.AMH平面ONC,8對.對于D,如圖建系，N（0,-26,0）,

5（0,273,0）,5（0,0,6）,N（0,2島,6-6〃）麗=（0,2也〃+2退,6-6勾,C（3,退,0卜

SC=(3,V3,-6),,AN-SC=0

?**6〃+6—36+36〃=(),：.〃=—,D對.

7911

〃=一時，彳=一時，〃到平面S/8的距離是C到平面"8距離的—

，3SZ—AAZAxOSjVN=3-SZA-AOSZIAX?B,33

ii21一

yM-SAN=-^ASANh'=---S^SAB--h,其中“表示M到平面S48的距離，力是C到平面S48距離,

nn1nnilopy

VM-SAN=~S^ABS^=~'~S^SAB^=~VS-ABC="XTX_X3X473X6=——,C對，選BCD.

幺/y3yyJZ3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】31【解析】如圖，ADAC=45°,ADBC=60°,ZEBC=30°,48=20

pynn

設BC=x,貝!)。石=二1，DC=A,DC=AC,.?.屈=x+20,.0=十一

3V3-1

273273

DE=----X=----工

V3-I

13.【答案】（1,0）【解析】A=l,B=0,向=〃為等差數列，即（40可以是（1,0）.

14.【答案】an=An+2【解析】歹=g(2x+l)-2關于(0,0)對稱，則g(-2x+l)-2+g(2x+l)-2=0

g(l-2x)+g(l+2x)=4,則g(x)關于(1,2)對稱，(第一空)

2〃+1)2n+l

+…+g?+1J

〃+1

2an=4+4]-?+4=4(2〃+1),則4=4〃+2.

共2〃+1個

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】(1)cosA+3^2COS2^4-=-2,???6cos224+cosA-1=0,(2cos/+1)(3cos4-1)=0而△/BC為銳

角三角形，cosA>0,???cosA=—.

3

(2)2sin5=3sinC=>2sin(4+C)=3sinCn2?cosC+—sinC=3sinC，???4A/2COSC=7sinC，：?

37

tanC=逑，smC-痙

79

16.【解析】(1)設y=x+l與g(x)=e”切于尸[od。)，g'(x)=e，"'-k=ex°

???切線方程為y=e與(x-X0)+e”°,令e"=1=>%=0此時g(x)=eX在％=0處的切線方程為y=x+l,即

(y=X+\

歹=x+l是g(x)的切線聯立(2，=0=>x=0，?,?/(%)在％=0處的切線為>=x+l

y=l+x-x

y=X+\也是/（X）的切線.

(2)①中X'+°時，>+“，顯然無最大值.若選②，=(1+%-工2卜X,

f2x2xx

A(x)=(l-2x+l+x-x)e=(-x-x+2)e=-(x+2)(x-l)e,力⑴在(一雙一2)上單調遞減；(一2,1)上單

調遞增，(1,+8)上單調遞減，x-—力時，且力⑴-0,/z(l)=e,e>0,???/z(x)max=e.

14丫_丫2(1—2x)e"—(1+x—f)e，r2_oY

若選③〃(x)J+：：x,h\x)=-——--/----------二=弋盧Mx)在(_8,0)上單調遞增；(0,3)上

單調遞減；(3,+8)上單調遞增Xf+8時，且//("-0,/z(o)=l,1>0,/z(x)max=1.

17.

a=

【解析】(1)Sn=2c1n—1(J)，S〃+]=2Q〃+[—1(D，G)?(D=1n+\2"〃+i—2?！?，〃用=2a“，而q=2%—1,

.??佝=1w0.??{%}成首項為1,公比為2的等比數列，??.an=2〃T.

1111b1

（2）假設存在，???n

如一4bn-A2-bn-九(2-4泡一1bn-A

一b〃

益僅遣；；［（2匕為常數，..?占=可占74解得2'

；.存在幾=1使1戶J成等差數列，且公差為1.

.??2〃11+1卜2"1n〃+122"-2n”鼻1

（3）由（2）知一-—=1+—1）-1=??,?1?b=1+—

6.TI'?In）2-2

n+1叫「。"=弟-3=及<0???&｝在"€N*上單調遞減，注意到C4=（>1,C5=g<l,

令c“2"-2

二"N5時，C?<c5<1,???"max=4?

18.【解析】（1）證明：???PA1ABCD,：.PALCD,X-ZACD=90°,-.CDVACPAC\AC^A,???

CD_L平面尸/C,又「E,F分別為PD,PC的中點EF//CD,二斯_L平面P/C,?斯u平面ZEF,

平面NEF_L平面/PC

（2）如圖建系

???AB=1,ZBCA=ZCDA=30°,ZABC=ZACD=90°,：.AC=2,BC=C,AD=4,CD=273

???Z（0,2,0）,C（0,0,0）,￡>（2V3,0,0）,尸（0,2,2）,（技1,1）,F（0,1,1）,S=（0,2,0）,CE=（V3,1,1）,

設平面ACE的一個法向量n=（x,y,z）

\CF-n\A/3

：.F到平面ACE的距離d=\J

\n\T

（3）仿（2）建系，設尸/=機，.?.尸（0,2,加），AP=［0,0,m）,而=（26,一2,-加），函=（26,0,0）,

設平面APD和平面PDC的一個法向量分別為4=（西,兇,2］）,%=（工2，%/2）

mZ]=0—2Z—mz=0

n%=22=>改=（0,加,一2）

—-2yl—mZ1=02-\/3%2=0