想學水銀柱模型計算

1.玻璃瓶可作為測量水深的簡易裝置。如圖所示，潛水員在水面上將80mL水裝入容積為380mL的玻

璃瓶中，擰緊瓶蓋后帶入水底，倒置瓶身，打開瓶蓋，讓水進入瓶中，穩(wěn)定后測得瓶內水的體積為

230mLo將瓶內氣體視為理想氣體，全程氣體不泄漏且溫度不變。大氣壓強汽取1.0xl05pa,重力加

速度g取10m/s2,水的密度p取1.0X103kg/m3o求水底的壓強p和水的深度限

【答案】@=2.0x105Pa;10m

【解析】

對瓶中所封的氣體，由玻意耳定律可知

PoVo=pV

即

1.0x105x(380-80)=px(380-230)

解得

p=2.0x105Pa

根據(jù)

p=p0+pgh

解得

h=10m

2.如圖所示,豎直薄壁玻璃管的上端開口且足夠長，粗管部分的橫截面積&=2cm2,細管部分的橫截面

積S2=IcnA用適量的水銀在管內密封一定質量的理想氣體。初始狀態(tài)封閉氣體的熱力學溫度公=

330K,長度〃=22cm，細管和粗管中水銀柱的長度均為h°=2cm。大氣壓強恒為76cm^現(xiàn)對

封閉氣體緩慢加熱,細管水銀面緩慢上升。

(1)求當粗管中的水銀柱全部上升至細管時,封閉氣體的熱力學溫度十；

(2)當粗管中的水銀柱全部上升至細管時,繼續(xù)緩慢加熱，求細管水銀面繼續(xù)上升h=16cm時的熱力

學溫度展。

Li

【答案】（1）369K;（2）492K

【詳解】（1）在粗管中的水銀柱上升前，封閉氣體的壓強力=%+2無（）解得pi=80cmJ為設在粗管中的水銀

柱全部上升至細管的過程中，細管中的水銀柱上升的高度為瓦，則有九遍2=/&解得九i=4cm

當粗管中的水銀柱全部上升至細管時，封閉氣體的壓強此=Po+PK+PM解得P2—82cmHg

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有嗎色=P2（"*S解得冕=369K

⑵在細管水銀面繼續(xù)上升的過程中，封閉氣體的體積V=（〃+M&+hS2解得V=64cm3

根據(jù)蓋呂薩克定律有5一2=條解得或=492K

3.如圖，一下端人開口、上端3封閉的細長玻璃管豎直放置。玻璃管的上部封有長"=45cm的空氣柱,

中間有一段長Z：2=5cm的水銀柱，下部空氣柱的長度Z3=4cm。已知大氣壓強為=75.0cm頊。現(xiàn)

將玻璃管豎直插入水銀槽中，設整個過程溫度不變，穩(wěn)定后上部空氣柱的長度為l4=42cm。求：

（1）穩(wěn)定后上部空氣柱的壓強P；

（2）從玻璃管下端4進入玻璃管的水銀柱長度。

BE丁

A—1―

【答案】（l）75cm頊；（2）3.25cm

【詳解】（1）沒有插入水銀槽前有Pi—Po-pgk—70c?7z為根據(jù)玻意耳定律有PikS—pl4S

解得p—75cmHg

⑵對下部分氣體有5s插入水銀槽前有22=「+。9,2解得，5=3.750（11

則從玻璃管下端A進入玻璃管的水銀柱長度/=/1+/2+/3-/4-Z2-/5解得I=3.25cm

4.如圖所示，一定量氣體放在體積為壞的容器中，室溫為T。=300K,有一光滑導熱活塞。（不占體積）將

容器分成人、8兩室，B室的體積是A室的兩倍，4室容器上連接一U形管（U形管內氣體的體積忽

略不計）,兩邊水銀柱高度差為76cm,右室容器中連接有閥門K,可與外界大氣相通（外界大氣壓等于

76cmHg）。求：

（1）將閥門K打開后，A室的體積變成多少？

（2）打開閥門K后將容器的氣體從300K分別加熱到400K和495K,U形管內兩邊水銀面的高度差各

為多少？

￡

K

ABjz

1\\\~------------

76cm

1__

V

【答案】⑴平;⑵0,7.6cm

【詳解】（1）設大氣壓為四,開始時PAO=2PO；VAQ=43打開閥門，4室氣體等溫變化，此時PA~PO

設體積匕,根據(jù)玻意耳定律有外0%0=。4匕解得匕=040匕。=4^

⑵假設打開閥門后，氣體從￡=300K升到T時，活塞C恰好到達容器最右端，即氣體體積變?yōu)椋ィ瑝簭?/p>

PA仍為P。，即等壓變化過程，根據(jù)蓋?呂薩克定律M=算得丁=萼￡=450K因為g=400K<450K所

以

P.=PA=P。水銀柱的高度差為零；從T=450K升高到退=495K,是等容變化過程，根據(jù)查理定律篌=

PA2

F

得PAZ=Lip。水銀面的高度差為△%=（1.1—1）X76cm=7.6cm

5.如圖所示，粗細均勻的U形細管左側封閉，右側裝有閥門，水平部分和豎直部分長均為乙=10cm,管

中盛有一定質量的水銀。先開啟閥門，U形管靜止時左側水銀柱比右側高h=5cm,再關閉閥門，使

。形管以某一恒定加速度向左加速，液面穩(wěn)定后發(fā)現(xiàn)兩豎直管中液面變?yōu)榈雀?。管中氣體均視為理

想氣體，整個過程溫度不變，大氣壓強Po=75crrz均，重力加速度g=lOm/sz,求

（I）靜止時左側氣體的壓強加；

（II）關閉閥門向左加速時的加速度大小a。

【答案】（I）pi=70cmHg;（II）a=-^-m/s2

o

【詳解】（I）設。型管橫截面積為S,水銀密度為p,靜止時右側氣體的壓強為大氣壓加,

對底部液柱由平衡條件有p°S=（0+pg無）S大氣壓強加可表示為0o=pg九o其中無（）=75011解0=70。??27%

(II)設底部液柱質量為nz,向左加速穩(wěn)定時左邊氣體壓強為此，右邊氣體壓強為03兩邊液面相平，故左邊

氣體長度從Lr=L—h=5cm變?yōu)長》=L一4=7.5cm右邊氣體長度從L=10cm變?yōu)長s=L—4=

7.5cm對左邊氣體由玻意耳定律得「11/盧=「2上25對右邊氣體由玻意耳定律得p()Z/S=p3刀3s對底部液柱由

牛頓第二定律有p3s—p2s=ma其中Tn=pLS解得a=-^^-m/s2

6.若已知大氣壓強為Po，圖中各裝置均處于靜止狀態(tài)，液體密度均為p,重力加速度為g,求各被封閉氣

體的壓強。

【答案】：甲：加一四九乙：po-pg/z丙：Po-----pghT:p0+pghr

［解析】：在題圖甲中，以高為九的液柱為研對象，由平衡條件知p甲S+pghS=p0S

所以「甲=Po-pgh

在題圖乙中，以B液面為研究對象，由平衡條件知

PAS+pghS=p0S

Pt.=PA=Po-pgh

在題圖丙中，以5液面為研究對象，由平衡條件有

PAS+pghsin60°-S=p0S

所以「丙=PA'=PO-痔pgh

在題圖丁中，以液面A為研究對象，由平衡條件得

PrS=(Po+pghJS

所以PT=Po+pg/ii。

7.在兩端封閉、粗細均勻的。形細玻璃管內有一段水銀柱,水銀柱的兩端各封閉有一段空氣。當。形管

兩端豎直朝上時,左、右兩邊空氣柱的長度分別為11=18.0cm和12=12.0cm,左邊氣體的壓強為12.0

cmHg,現(xiàn)將U形管緩慢平放在水平桌面上，沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊。求U形管平

放時兩邊空氣柱的長度。在整個過程中，氣體溫度不變。

【答案】：22.5cm7.5cm

【解析】：設U形管兩端豎直朝上時，左、右兩邊氣體的壓強分別為。和o2,由力的平衡條件有

P1=「2+Q1~，2)

。形管水平放置時，兩邊氣體壓強相等，設為Po此時原左、右兩邊氣柱長度分別變?yōu)?/和勿，顯然原左邊

氣柱的長度將增加，右邊則減小，且兩邊氣柱長度的變化量大小相等

ll-11=%2-

由玻意耳定律有

=PW

Pih=Ph'

聯(lián)立解得

li=22.5cm,I2=7.5cm。

8.如圖所示,一根兩端開口、橫截面積為S=2cm?足夠長的玻璃管豎直插入水銀槽中并固定（插入水銀

槽中的部分足夠深）。管中有一個質量不計的光滑活塞，活塞下封閉著長L=21cm的氣柱，氣體的溫

度為力i=7°C,外界大氣壓取p（）=1.0X105Pa（相當于75cm高汞柱壓強）。

（1）若在活塞上放一個質量為m=0.1kg的祛碼，保持氣體的溫度力不變，則平衡后氣柱為多長？（g

=10m/s2）

（2）若保持祛碼的質量不變,對氣體加熱，使其溫度升高到t2=77℃,此時氣柱為多長？

（3）若在（2）過程中，氣體吸收的熱量為10J,則氣體的內能增加多少？

【答案】：（l）20cm（2）25cm（3）8.95J

【解析】：（1）被封閉氣體的初狀態(tài)為a=p（）=1.0x105Pa,Vi—LS—42cm3,7]=280K

末狀態(tài)壓強P2=Po+*=L05xl（）5pa,%=L?S,6=西=280K

根據(jù)玻意耳定律，有PiVt—P2V2,即PiLS—p2L2S,

得L2=20cm。

（2）對氣體加熱后，氣體的壓強不變，P3=g,V3=L3S,為=350K

才艮據(jù)蓋—呂薩克定律，有J?！?，即有g=有9-,

J-3J-2J-3

得乙3=25cm。

（3）氣體對外做的功W=gSh=P2s（%—，）=1.。5J

根據(jù)熱力學第一定律AU=Q+W

得△U=10J+（-1.05J）=8.95J,

即氣體的內能增加了8.95Jo

9.如圖所示，內徑相同的兩。形玻璃管豎直放置在空氣中，中間用細軟管相連,左側。形管頂端封閉,右

側U形管開口，用水銀將部分氣體A封閉在左側。形管內，細軟管內還有一部分氣體。已知環(huán)境溫度

恒為27。（2，大氣壓強為76。向力,穩(wěn)定時，A部分氣體長度為20cm,管內各液面高度差分別為砥=

10cm、h2—12cm。

⑴求人部分氣體的壓強；

（2）現(xiàn)僅給4部分氣體加熱，當管內氣體溫度升高了501時，A部分氣體長度為21cm,求此時右側

。形管液面高度差％2'。

【答案】：（1）54cm廊（2）8cm

【解析】：（1）設左側A部分氣體壓強為初，軟管內氣體壓強為上，由圖中液面的高度關系可知，Po=孰+①，

P2—Pi+hi,解得Pi—p0—（瓦+無2）=54cmHg。

（2）由理想氣體狀態(tài)方程有

71—Z，，

解得Pi—60cmHg;

由于空氣柱長度增加1cm,則水銀柱向右側移動1cm,因此液面高度差=8cm,由p/—po~（/ij+九2'）,

解得吊'=8cm。

10.如圖所示，內徑均勻的。形細玻璃管一端開口，豎直放置,開口端與一個容積很大的貯汽缸8連通，封

閉端由水銀封閉一段空氣已知-231時空氣柱入長62cm,右管水銀面比左管水銀面低40cm,當

氣溫上升到279時，水銀面高度差變化4cm。B貯汽缸左側連接的細玻璃管的體積變化不計，A.B

兩部分氣體的溫度始終相同。

（1）試論證當氣溫上升到27。＜2時,水銀面高度差是增大4cm還是減小4cm?

（2）求—23P時貯汽缸B中氣體的壓強。

【答案】：⑴水銀面高度差增大⑵140cm為

【解析】:（1）假設水銀柱不動,由查理定律得舄=黑=獸

±1±2

所以Ap=*AT顯然在AT、7］相同情況下，初始壓強加越大，升高相同溫度時，壓強的增量越大，而初始

狀態(tài)時，024VpB,所以加入VApg,則A中水銀上升，水銀面高度差增大。

（2）設一23℃時，B中氣體壓強為pm,玻璃管的橫截面積為S,對A中理想氣體有馬上二一半即

(ps-40)x625_(p/-44)x605對B中氣體有?坦=咳=且

250300T力，7]T2AT

聯(lián)立得PB=140cmHgo

11.-U形玻璃管豎直放置,左端開口，右端封閉,左端上部有一光滑的輕活塞。初始時，管內汞柱及空氣

柱長度如圖所示。用力向下緩慢推活塞，直至管內兩邊汞柱高度相等時為止。求此時右側管內氣體

的壓強和活塞向下移動的距離。已知玻璃管的橫截面積處處相同；在活塞向下移動的過程中，沒有發(fā)

生氣體泄漏;大氣壓強Po=75.0crnHg。環(huán)境溫度不變。

【答案】：144cm頊9.42cm

【解析】：設初始時，右管中空氣柱的壓強為Pl,長度為Z1；左管中空氣柱的壓強為P2=Po,長度為，2?；钊?/p>

下推無后，右管中空氣柱的壓強為pj,長度為1；左管中空氣柱的壓強為的'，長度為勿。以cmHg為壓強單

位。由題給條件得：

Pi=7>2（20.0—5.00）cmHg...................................................①

7,（八20.0—5.00\m

由玻意耳定律得

Plh=pl'h'....................................................................③

Pi=144cmHg..............................................................④

依題意得

Pi=P1......................................................................⑤

芍=4.00°cm+25"0°cm—h....................................⑥

由玻意耳定律得

p[i=..................................................................⑦

聯(lián)立④⑤⑥⑦解得

h—9.42cm...............................................................⑧

12.如圖所示,在長為2=57cm的一端封閉、另一端開口向上的豎直玻璃管內，用4cm高的水銀柱封閉

著51cm長的理想氣體，管內外氣體的溫度均為33℃o現(xiàn)將水銀徐徐注入管中，直到水銀面與管口相

平，此時管中氣體的壓強為多少？接著緩慢對玻璃管加熱升溫至多少時，管中剛好只剩下4cm高的

水銀柱？（大氣壓強為p0=76cmHg）

【答案】：85cmHg318K

【解析】:設玻璃管的橫截面積為S,初態(tài)時，管內氣體的溫度為：

7]=306K..........................................................................................................................................①

體積為：

弘二51Scm3...................................................................................................................................................②

壓強為：

a=Po+九=80cmHg..............................................................................................................................(3)

當水銀面與管口相平時,設水銀柱高為則管內氣體的體積為：

%=(57—H)Scm3.........................................................................................................................................④

壓強為：

P2=Po+H=(76+H)cmHg......................................................................................................................⑤

由玻意耳定律得：

p1V1=p2V2......................................................................................................................................................⑥

代入數(shù)據(jù),解得：

H—9cm........................................................................................................................................................⑦

所以

p2—85cmHg...................................................................................................................................................(7)

設溫度升至T時，水銀柱剛好高為4cm，管內氣體的體積為：

%=53scm3............................................................................................................................................................⑧

壓強為：

禽=+%=80cmHg..........................................................................................................................................?

由蓋一呂薩克定律得：

其=竺..................................................................?

zT

代入數(shù)據(jù)，解得：

T=318K....................................................................................