第18講三角恒等變換

（4類核心考點(diǎn)精講精練）

m.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形

2024年天津卷，第14題,5分

余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分

【備考策略】L理解、掌握三角函數(shù)的兩角和差公式，能夠根據(jù)知識(shí)點(diǎn)靈活選擇公式

2.能掌握湊角求值的解題技巧

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助正弦型函數(shù)的圖像，解決三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)問題

4.會(huì)解三角函數(shù)的含參問題。

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給與正余弦定理結(jié)合，在解三角形中靈活運(yùn)用兩角

和差。

1飛?考點(diǎn)梳理?

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

2.二倍角公式

三角恒等變換知識(shí)點(diǎn).兩角和與差二倍角公式《3.輔助角公式

4.三角函數(shù)公式的關(guān)系

5.升幕與降幕公式

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn).兩角和與差二倍角公式

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

cos(a—￡)=cosacos￡+sinasincos(a+￡)=cos□cos￡—sinasinP

sin(4—￡)=sinacos—cosasinPsin(a+￡)=sinacos￡+cosasin￡

/c、tana—tan8/,c、tana+tan￡

tan(a—￡)-----------tan(0+￡)=--------------T-

1+tanatanB1—tanatanB

2.二倍角公式

22tana

sin2。=2sinacosa；cos2a=cos2a—sin2a=2cosa—1=1—2sin2a-tan2a=~—'—2-.

1—tana

3.輔助角公式:

asinx+Acosx=yja+!Jsin(x+(i)),其中tan0=(

4.三角函數(shù)公式的關(guān)系

令8=Q以-0代8「

C2a■*-------------------------C(a+6)----------------------------M?-3)

利用cos俁土q利用cos住士q利用cosA

J以一。代。

c令B=a

32a<)(a-6)

兩式相除兩式相除兩式相除

令以T代T：一）

TL2a---------0----=----0--!-------T(a+R)

5.升幕與降暴公式

1+cos2a21—cos2Q

（1）降暴公式：cos2^sinQ=---------

2

（2）升幕公式：1+cos2Q=2COS2。，1—cos2a=2sin2a.

（3）公式的常用變形：tana±tan￡=tan(?！馈?(1干tanatan￡),

1+sin2a—(sina+cos4,

1—sin2a=(sina—cos。）2,

sina±cosa=也sin(a±-^.

考點(diǎn)一、兩角和與差的正余弦、正切與二倍角公式

典例引領(lǐng)

1.（2024,黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知sinasin（a+?）=coscrsin一仇），則tan（2a+：）=（）

A.2—V3B.—2—V3C.2+V3D.—2+V3

【答案】B

【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=g,進(jìn)一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.

【詳解】由題意-^sin2a+|sinacos(z=-^cos2a—jsinacosa,即-^cos2a=]sin2a,

即tan2a=W,所以tan(2a+-)=比竺鷲=空=包=一2-倔

\47l-tan2atany1-V3-2

4

故選：B.

2.(2024?浙江?三模)若sin(a-S)+cos(cr—/?)=2V2sin(a—十)sin/?,貝(j()

A.tan(a—S)=-1B.tan(a-3)=1

C.tan(a+￡)=-1D.tan(a+/?)=1

【答案】C

【分析】利用和差角公式展開，即可得到sinacosS+coscrcos^=sinasin/?—cosasin/?,再兩邊同除cosacos3,

最后結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閟in(a—0)+cos(a—/?)=2&sin(a—sin￡,

所以sinacos/?—cosctsin/?+cosacos/3+sinasin/3=2&(sinacos：—cosasin?)sin/?,

即sinacosS—cosasin/3+cosacoSjS+sinasin￡=2sin(zsin/?—2cosasin-,

即sinacos/?+cosacos/3=sinasin/?—cosasin/?,

兩邊同除cosacos/?可得tana+1=tanatan/?—tan/3,

所以tan(a+S)=tana+tan/?

l-tanatan)?

故選：c

即叫性測(cè)I

1.（2023?全國?高考真題）已知a為銳角，cosa=匕直，貝!|sin^=（）.

42

—

3—V5口—1+V5r3—\/5門l+VS

L-----------D.----------L.---------U.----------

8844

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l—2sin2￡=tl,而a為銳角，

2.（2024?青海海西?模擬預(yù)測(cè)）已知cosa=-f,則cos2a的值為（)

A.-1B.7-C.-i1D.-i1

3353

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦的倍角公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

2

【詳解】根據(jù)二倍角的余弦公式可得cos2a=2cos2a—1=2x（—g）=

故選：D.

3.（2024,全國?高考真題）已知cos（a+夕）=m,tanatan/?=2,則cos（a—￡）=（）

A.-3TMB.——C.—D.3??i

33

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacosp,sinasinS的關(guān)系，結(jié)合tanatanS的值可求前者，故可求cos（a-/?）

的值.

【詳解】因?yàn)閏os（a+/?）=m,所以cosacosS—sincrsin/?=m,

而tanatan^=2,所以sinasin/?=2cosacos/3,

故cosacos/?—2cosacos/3=mBPcosacos/?=—m,

從而sinasinp=-2m,故cos（a—4）=—3m,

故選:A.

4.（2024?江西九江?三模）若2sin（a+《）=cos（"3貝Itan（a—看）=（）

A.-4—V3B.-4+A/3C.4—V3D.4+V3

【答案】C

【分析】設(shè)￡=則原等式可化為2sin（￡+；）=cos（"：）,化簡(jiǎn)后求出tan￡即可.

【詳解】令6=仇一：，則a=F+E，

所以由2sin（仇+；）=cos（仇一

得2sin（/?+5）=cos

即2cos夕=曰cosS+|sinjff,

即sin/?=（4—V3）cosjg,得tan/?=4—V3,

所以tan（a-2）=tan3=4—V3,

故選：C.

考點(diǎn)二、化簡(jiǎn)求值

典例引領(lǐng)

2cos65°cosl50

1.（2024?安徽六安,模擬預(yù)測(cè)）/勺值為（）

tanl5°cosl0°+sinl0

2+V312-V3八3

A.B.-C.-------D.—

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)同角的商數(shù)關(guān)系、兩角和的正弦公式、二倍角公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可求解.

2cos65°cosl502COS65°COS215°_sin25°(l+cos30°)_2+V3

【詳解】

tanl5°cosl0°+sinl0°sinl5°cosl0o+sinl0ocosl5°sin25°2'

故選：A

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))若sin(a-20。)=則sin(2a+500)=()

1177

A.--C.--D.-

8888

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得sin(a-20。)=-;，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值.

【詳解】根據(jù)題意，sin(a-20。)=^2°\=「會(huì)s2。：

、Jtan20°-V3sin20-V3cos20

sm20°cos20°_sin20°cos20°_sin20°cos20°_2sin4°_1

一2俘山20°呼cos200)-2sin(-40°)--2sin40°--2sin40°-4，

而sin(2a+50°)=sin(2a-40°+90°)=cos2(a-20°)

=1-2sin2(a-20°)=1-2x((

故選：D

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))江吧嘿叱―豆嘖=()

sin2502tan25°

.苧V2

ABcD.

-T-T2

【答案】A

【分析】切化弦后通分,根據(jù)兩角和差的正余弦公式求解即可.

sin800+cos50°V6_sin(6004-20o)4-cos(30o+20°)V^cos25。

【詳解】

sin25°2tan25°-sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin200+cos30°cos20°—sin30°sin20°V6cos25°

sin2502sin25°

_bcos200+sin20°+bcos20°-sin20。_V^cos25°_V^cos20°_乃cos25°

2sin25°2sin25°-sin25°2sin25°

_V3cos(45°-25°)V6COS25°_V3(cos45ocos250+sin45osin25°)V6cos25°

sin25°2sin25°-sin25°2sin25°

_V^cos25°+V^sin25°_V^cos25°_V6

2sin25°2sin25°-2'

故選：A.

2.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))若=anW,貝kin2e的值為()

—tan2

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)可得tan。，再由二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

［詳解］由ta吟+tan(6/)1

IM"，得

1-tan(0--)Il-ta吟tan(8-亍)2

1

所以tan(:+8-%即tan。

2

匚.rc2sin0cos02tan04

所以sm28=砧許

l+tan205

故選：D.

3.(2024?廣東?二模)tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=()

A.—2B.-4C.-2A/3D.-4v5

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的正余弦公式計(jì)算得解.

sin7.5°sin82.5°

【詳解】tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=+2tanl5°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°sin27.5°—cos27.5°

——=-z7——.)…+2tanl5°=-----.----——-----F2tanl5°

cos7.5sin7.5sin7.5rncos7.5

cosl5°2sinl5°_2(sin2150-cos215°)_-4cos30°

=—45/3.

+cosl5°sinl5°cosl5°sin30°

故選：D

sin%sinx

4.（2024?河北承德?二模）已知tanx=則

cos3xcos2xcos2xcosx

【答案】//埼

sinxsinx

【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)算式得=tan3x-tanx,已知tanx=由正切的倍角

cos3xcos2xcos2xcosx

公式求出tan3x即可求得結(jié)果.

sinxsin(3x—2x)sin3xcos2x-cos3xsin2x,-,csinxsin(2x-x)

【詳解】------------=---------------------------=tan3x—tanzx

cos3xcos2xcos3xcos2xcos3xcos2xcos2xcosxcos2xcosx

sin2xcosx-cos2xsinx

=tan2x—tan%,

COS2XCOSX

sinxsinx

所以-?-----------------1-----------------tan3x—tanx,

cos3xcos2xcos2xcosx

2tanx,

tan2x+tanx_2+tanx3tanx-tan3%13

而tan3久=tan(2x+x)=1lanx

1—tan2xtanx“2tan2xl-3tan2%9

因此原式=裝_]10

9

故答案為：y.

5.（2024?河北邯鄲?二模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如

圖所示的五角星中，以4B,C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)NC4D=a,貝！Jcosa+cos2a+cos3a+

cos4a=，cosacos2acos3acos4a=

B

【答案】0^/0.0625

16

【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得NC4D=a=36。，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】正五角星可分割成5個(gè)3角形和1個(gè)正五邊形,五個(gè)3角形各自角度之和180。

正五邊形的內(nèi)角和180。x(5-2)=180°x3=540°；每個(gè)角為子=108°,

三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180。-108。=72。，

三角形內(nèi)角和為180。，那么三角形頂角，即五角星尖角180。一72。x2=36。，

即NCAD=a=36".

cosa+cos2a+cos3a4-cos4a=cos36°+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos36°+cos72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)

=cos36°+cos72°—cos72°—cos36°=0;

cosacos2acos3acos4a=cos360cos72°cosl080cosl44°=(cos36°cos72°)2

rr-isrrc。2sin36°cos36°cos72°sin72°cos72°sinl44°1

因?yàn)閏os36-cos/2=---------：——o--------=-----：——%—=—：——；=

2sm362sin364sin364

1

所以cosacos2acos3acos4a=—.

16

故答案為：0；2

16

考點(diǎn)三、湊角求值

典例引領(lǐng)

1.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知sin（仇+?）=[,則sin（2a+等）=.

【答案】:/0.875

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式可求得答案.

【詳解】因?yàn)閟in（a+看）=],貝！Jsin（2a+=sin[（2a+/）+引=cos（2a+；）=1—2sin2（a+

-）=1-i=-.

6/88

故答案為：

o

2.（23-24高三上?天津?qū)幒?期末）已知cos（巳-6）=5貝Usin（號(hào)-26）=.

【答案】*

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閏os位一。)=%

所以sin(號(hào)—2。)=sin[；+6■—2。)]=cos(看—2。)

=cos2信—6)=2cos2忌一8)-1=2X(1)—1=—5.

故答案為：-g

即時(shí)啊」

1.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測(cè))已知cos2a=-y,sin(cr+￡)=-呼，ae[o,y],PG則a-0=

()

八八冗一

A..-nBc.—3nC.一5nD.一或p*3一n

44444

【答案】B

【分析】求出2a、a+夕的范圍，利用平方關(guān)系求出sin2a、cos(a+S),再由a-￡=2a-(a+S)求出

cos(a-/?),結(jié)合a-/?的范圍可得答案.

【詳解】因?yàn)閍tW所以2aW[0,ir],

所以sin2a=V1-cos22a=Jl—(一g)=等，

因?yàn)閍E[o,；],S￡[—；,o],所以a+夕=

所以cos(a+S)=Jl-sin2(a+S)=Jl-=答，

又由a—/?=2a—(a+夕)知

cos(cr—S)=cos[2a—(a+0)]=cos2acos(a+S)+sin2asin(a+0)

(V5\3V102A/5(V10\V2

=VT；x-iF+^xC^o-y="T

又因?yàn)閍—/?E[0,兀],所以/—

4

故選：B.

2.(2024?山西?三模)若sin2a=7sin(￡—a)=/,且a6[?,兀],/?￡[兀則cos(a+/?)=(

A4+五B畫C在D2%一屈

?6,636

【答案】D

【分析】根據(jù)sin2a=學(xué)吉合a的范圍分析可得aE島三)，cos2a=-當(dāng)再根據(jù)sin(/?-a)=9結(jié)合6的

范圍分析可得cos(/?-a)=-等，由a+S=2a+(/?-a)結(jié)合兩角和差公式分析求解.

【詳解】因?yàn)榭趢[；,”,貝吃/￡?,2兀],且sin2a=.>0,

貝12aG兀)，可得a6[：,；)，cos2a=—V1—sin22a=

又因?yàn)镾e[兀>~Y\9則S一口€且sin(/?—a)=彳>0,

可得S—aEG，兀)，cos(/?—a)=—yjl-sin2(^?—a)——答，

所以cos(a+0)=cos[2a+(/?—a)]=cos2acos(/?—a)—sin2asin(夕—a)

_V6\x/_V30\_V3xV6_2亞一近

~\37\6/36-6

故選：D.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知tan(a—/?)=:,tan0=—巳,且a,0e(0,兀)，貝!J2a—￡=()

A.--B.-C.—D.--

4444

【答案】A

【分析】利用二倍角的正切公式求出tan2(a-夕)，再根據(jù)tan(2a-6)=tan[2(a-6)+/?]結(jié)合兩角和的正

切公式求得tan(2a-/?),根據(jù)tana=tan[(a一6)+代|求出tana,從而可得a,￡的范圍，即可得出2a一3的范

圍，即可得解.

【詳解】因?yàn)閠an(a—3)=也

所以tan2(a—/?)2tan(a-0)4

-l-tan2(a-/?)3,

故tan(2a—S)=tan[2(a—/7)+/?]tan2(a-j?)+tanj?_1

l-tan2(a-^)tanj?

由tan￡=—所以S￡管,兀),

i_i

又tana=tan[(a一夕)+刃=27-1

所以aW(0,：),

故2a—/76(-7T,0),

所以2a_/?=_￡.

故選：A.

4.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知cos(a—-cosa=￡貝！Jsin卜a+?)=()

A.—B.--C.—D.--

25252525

【答案】B

【分析】先利用兩角差的余弦公式處理?xiàng)l件，結(jié)合兩角差的正弦公式，可得cos(a+?),再利用二倍角公

式可得cos卜戊+三)，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，可求sin(2a+g).

【詳解】由cos(a——)—cosa=-=>cosacos—+sinasin——cosa=-=>cosacos——sinasin—=

V375335335

=cos(a+—

所以cos(2a+=2cos2(仇+-1=*

所以sin(2a+!)=cos2a+高］=cosG-2a)=—cos(2a+=—7

25

故選：B

5.(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測(cè))已知856一仇)=點(diǎn)貝!jsin(答+2仇)=()

A.5，C.延D.-延

9999

【答案】A

【分析】令g—a=t,故cost=I，可得sin(答+2a)=-cos2a進(jìn)而可求值.

【詳解】令￡一/=如則/=^一3故cost=%

sin(答+2a)=sin］詈+2《-t)］=sin管—2t)=—cos2t=1—2cos2t=

故選：A.

考點(diǎn)四、輔助角公式

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?云南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2sinx+cos%在%()處取得最大值,則cos%。=()

A.—B.--C.—D.--

5555

【答案】c

【分析】借助輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】/(%)=2sinx+cosx=V5sin(x+cp),其中COSR=言，sin(p=

又當(dāng)％=%o時(shí)，/(x)取得最大值，所以％o+0=I+2/c幾，k￡Z,即久0=；+2k兀一g,k￡Z,

所以cos%。=cos(：+2々打一0)=cos(；—0)—sin@='，

故選：C.

2.(2024?陜西銅川?三模)已知函數(shù)f(%)=sin2%-cos2%,則下列說法中不正確的是()

A./(%)的最小正周期為兀

B./(%)的最大值為應(yīng)

C./(%)在區(qū)間［-？,引上單調(diào)遞增

D-—￡)=f(r—

【答案】C

【分析】首先化解函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC,求/(久-：)，判斷函數(shù)是否是偶函數(shù)，即

可判斷D.

【詳解】依題意f(x)=VIsin卜x-￡),則函數(shù)/(x)的最大值為企，最小值正周期為“，從而可排除A,B選

項(xiàng).

■?-%G口，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，

L44J4L44J

當(dāng)2%—IE[―彳-,—5],即%￡[―I，—馬時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)2%-十6卜？引，即xe[一9,引時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

故在區(qū)間[-：,引上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選C項(xiàng).

/(x-1)=V2sin12(%一—引=V2sin(2%-；)=—&cos2%為偶函數(shù)，

從而/-5)=/(一％-總，從而可排除D選項(xiàng).

故選：C

即時(shí)檢測(cè)

\_______________________

1.(2024?湖北?二模)函數(shù)/(%)=3cosx-4sinx,當(dāng)/(%)取得最大值時(shí)，sinx=()

【答案】B

【分析】由輔助角公式、誘導(dǎo)公式直接運(yùn)算即可求解.

【詳解】/(%)=3cosx—4sinx=5Qcos%—(sin%)=5cos(x+(p),

其中cosw=j,sing='

而/(%)=3cosx—4sinx=5cos(x+<p)<5,

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)％+<p=2k五(kEZ),此時(shí)sinx=sin(—9)=—sing=—

故選：B.

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)=asinx+cos%的圖象關(guān)于直線久=一看對(duì)稱，貝！Ja=

【答案】-手

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由函數(shù)的最小正周期T=2n,X=-《為對(duì)稱軸，得到函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中

心為&，°)'代入求解，得到答案.

【詳解】/(x)=asinx+cosx=y/a2+lsin(x+<p),

顯然函數(shù)的最小正周期T=2n,

又x=-2為對(duì)稱軸，

設(shè)/(%)在％=-9右側(cè)附近的一個(gè)對(duì)稱中心為(m,0),

故4[m-孑)]=2n,解得m=1,故/(%)的一個(gè)對(duì)稱中心為0),

,?,，(9)=fa+；°，解得a=-當(dāng)

故答案為：-￥

3.(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知函數(shù)/(%)=sina)x—V3costox(co>0),若存在%16[0,兀]，使得/(%i)=—2,

則3的最小值為.

【答案】^/11

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(%),求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【詳解】函數(shù)/(%)=2sin(3%——),由％1E[0,叮],得to%]——E[——，^(X)——],

由存在汽1€[0,兀]，使得/(%。=—2,得“3——>解得32汁，

326

所以3的最小值為3.

6

故答案為：甘

6

4.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知/(、)=4sin%(sin%-V5cos%)+1相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)分別為％L%2，則

cosl%1—x2\—.

【答案】±V±0.75

4

【分析】解法一：利用三角恒等變形，化歸到一般形式/(>)=3—4sinhx+?),易知|%1—即有可能是

銳角，也有可能是鈍角，再利用函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為已知角的特值問題，即sinQxi+￡)=sin卜叼+7)=?

再去求cos(2"i+3=f,cos(2x2+9=—f，然后利用兩角差公式求COS[2%—句)]=3再利用降倍

升次的二倍角公式求得COS2Q1-X2)=白，最后即可求出結(jié)果.

解法二：根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)知這兩個(gè)零點(diǎn)一定關(guān)于直線％=9+￡對(duì)稱，也就是有一個(gè)相等關(guān)系/+&=

62

g+kn,這樣可以利用這個(gè)關(guān)系消去其中一個(gè)變量冷，就可以化簡(jiǎn)cos%-外1=±cos(2xi-5),再利用

誘導(dǎo)公式即可轉(zhuǎn)化到已知零點(diǎn)的函數(shù)值，即求出結(jié)果.

【詳解】解法一：因?yàn)?(%)=4sinx(sinx—V3cosx)+1=4sin2%—4V3sinxcosx+1

=2x(1—cos2x)—2V3sin2x4-1=3-4sin(2x+J

由f(%)相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)分別為第1/2，不妨設(shè)sin(2%i+?)=sin(2%2+?)='

由于正弦值為j的相鄰兩個(gè)角一定是第一象限角和第二象限角，

4

所以cos(2%i+?)=Rcos(2&+?)=-，，

則cos[2(%i—x2)]=COS+V)—(2%2+十)]

x=

=cos(2%i+cos(2X2+看)+sin(2xr+總sin(2x2+勻=，*(-+||

所以COS2(/—久力=…尸=?

又因?yàn)榈闹芷跒?所以兩個(gè)零點(diǎn)有可能落在半個(gè)周期之內(nèi)，也有可能落在半個(gè)周期之外且一個(gè)

周期之內(nèi)，即%G（0,JT）,

又不妨設(shè)<汽2，則COS,1—X2I=COS（X2—%1）=COS（；q—X2）=±

解法二：由解法一知/（%）=3—4sin（2x+子），貝!Jsin（2xr+=sin（2x2+看）=*

根據(jù)函數(shù)丫=sin（2%+9可知，%i，%2關(guān)于％=看+（k€Z對(duì)稱，

即久1+到=2（看+=：+kn,則％2=g+左兀一%i，又不妨假設(shè)%1<%2，

所以cos|%i—x2\=cos（x2—久）1=cos（（g+k?！?i）=cos（—2%i+：+憶兀）‘

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，

cos|x1—x2\=cos(2/-孑)=cos(2%i+看-=cos(2xr+/+=sin(2xr+=：，

當(dāng)々為奇數(shù)時(shí)，

cos|x-￡-%21=_cos(2第]——_cos(2%]+-----_cos(2%]H--—H—)=一,由(2%]+=-4

綜上可知cos|%i-x2\=±|.

4

故答案為：

4

2

5.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2coscox+sin2o)x—1(3>0)/(%i)=/(%2)=

日,|修一支21的最小值為號(hào)，則3=()

A.1B.1C.2D.3

2

【答案】A

【分析】先由二倍角的余弦公式，輔助角公式化簡(jiǎn)〃》）,再由y=sin%與y=芹目交的兩個(gè)交點(diǎn)的最近距離

為:~~6=結(jié)合［（23%1+：）—（23%2+：）］min=-X2lmin=（解出即可.

【詳解1/（%）=2cos2tox+sin2tox—1=cos2cox+sin2a）x=V2sin（2a）x+：）,

因?yàn)榘薠I）=/（%2）=f-

所以sin（2o）%i+：）=sin（2a）x2+：）=%

因?yàn)楫?dāng)％E［0,2叫時(shí)，sin%=:對(duì)應(yīng)的久的值分別為g2,

所以y=sin久與y=；相交的兩個(gè)交點(diǎn)的最近距離為1-y=2h

Noo3

又出—的最小值為號(hào)，

所以［（2（0%1-。3%2+?）］min=2但%-久2Imin=號(hào)

2n1

即23、號(hào)=---=>0)=-

32

故選：A.

fl好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.（22-23高三上?天津?yàn)I海新?期中）若a是第三象限角，且sin（a+0）cos0—sin/?cos（a+S）=—卷

則tana等于（)

A.-5B.一卷C.AD.5

【答案】C

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式求出sina,然后由同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合a是第三象限角即可求出tana

【詳解】由題意，sin(a+/?)cos/?—sin0cos(a+/?)=—^=sin(a+/?—/?)=sina,

由于a是第三象限角，則cosa<0,于是cosa=-sin2a=-

貝”tana=^=5

故選：C

2.（23-24高三上?云南昆明?開學(xué)考試）已知tan（a—；）=4,貝!Jsin2a=（

A.2B.2

1717

C.15D._15

1717

【答案】D

【分析】先利用兩角和正切公式，求得tana=-|,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

【詳解】由tan(a-：)=4,可得tana=tan[(a-+引=4+15

1-4X13

d小.c2sinacosa2tana15

乂由sin2a=—：-----=----=----.

sm2a+cos2atan2a+l17

故選：D.

3.（23-24高三上?天津南開?期中）已知sin（a-總=sin（a+1），貝?。輙ana=

【答案】2+6/百+2

【分析】根據(jù)和差角公式，結(jié)合同角關(guān)系即可求解.

【詳解】由sin（a—=sin（a+：）可得siincrcos——cosasin—=sincrcos——Fcosasin—,

6633

11.,V3V3-l.1+V3一.sina1+V3.行

所以日sina—-cosa=-sina4——cosa,即0n----sina=----cosa=>tana=---=下一=2n+V3,

22222cosaV3-1

故答案為：2+V3

4.（23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí)）△ABC中，已知cos2A=g貝UsinA=

【答案】黑卷同

【分析】利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.

【詳解】在△/8C中，0</<兀，則sin/>0,

由cos2Z=1,得1—2sin2i4=1,即siMZ=

所以sinZ=—.

10

故答案為：?jiǎn)?/p>

10

5.（22-23高三上?天津?yàn)I海新?期中）已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-2,1）,則tan?=

cos20—2sin20_

cos26,

【答案】I

【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角恒等變換即可求解.

【詳解】因?yàn)榻?。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（—2,1）,

所以由三角函數(shù)定義可知tan。=-%

cos20—2sin20_cos20—2sin20sin01

且tan。

cos20cos20—sin20'COS02’

grpicos20—2sin20cos20-2sin20_l-2tan202

所乂cos20cos20—sin201—tan203

故答案為：—I，|.

6.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知tana=tan/?=-1,且E（0,兀），則2a-￡=

【答案】一等

【分析】利用正切的二倍角公式和兩角差的公式進(jìn)行求解即呆.

【詳解】因?yàn)閠ana=|>0,tan￡=—^<0,a]E（0,兀）,

所以a€（0,萬），SE（5,兀），

因?yàn)閠an2a==彰=^>0,

l-tan2a1一（工）4

所以2aE（仇萬），BE（萬，兀），因此一兀V2a-/?V0,

31

tan2a-tanj?_

因?yàn)閠an（2a-6）=1,

l+tan2atan0i+|x（-ij

所以21一/?=一等，

故答案為：

4

7.（23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）已知2sina+cosa=0.

⑴求tan（a-：）的值；

已）求巴的值；

sin（n+a）

（3）當(dāng)a是第四象限角時(shí)，求cos（a+1）的值.

【答案】（1）一3

⑵2

2V5+V15

10

【分析】（1）利用已知條件求出tana,再結(jié)合差角的正切公式，即可求解.

（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子即可求解.

（3）由（1）知，tana,結(jié)合a是第四象限角可求出sina、cosa的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.

【詳解】(1)若cosa=0,貝iJsina=±L顯然不滿足2sina+cosa=0,

?"nmilnsinacosa

..cosaH0貝l]2----1-----=0n,

cosacosa

2tan(z+1=0貝!Jtana=—j

tana-tan^

/.tan(a-=___________4_——Q

JT—D?

1+tanatan—

4

(2)由(1)知tana=—1

sin(T-a)_cosa

—=2.

sin(n+a)-sinatana

(3)由(1)知tana1

2

又a是第四象限角，

..V5

sintz1sina=——

cosa2解得

2A/5

sin2a+cos2a=1cosa=——

5

..n2V5+V15

..cos(a+g)=cosacosy—sinasin-=------.

310

B能力提升

1.（23-24高三上?天津河西?階段練習(xí)）已知tan（，+9=-3,則*加；瑞?等于（)

2

A.-B.0C.-2D.2

3

【答案】C

【分析】利用兩角和的正切公式求出tan。,再由誘導(dǎo)公式即可得解.

【詳解】?*atan（。+：）=l+tan0仁

~13，

l-tan0

tan0=2

.sinC+8)+cos("

+。)_-COS0-COS02cos62

sin(n-6)-sin(；+6)sin0-cos0cos0-sin0l-tan0

故選：C

2.（23-24高三上?天津和平?階段練習(xí)）函數(shù)/（%）=sinx+Wcosx在區(qū)間［o,