第18講三角恒等變換

（4類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

m.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形

2024年天津卷，第14題,5分

余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分

【備考策略】L理解、掌握三角函數(shù)的兩角和差公式，能夠根據(jù)知識(shí)點(diǎn)靈活選擇公式

2.能掌握湊角求值的解題技巧

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助正弦型函數(shù)的圖像，解決三角函數(shù)的求值與化簡(jiǎn)問(wèn)題

4.會(huì)解三角函數(shù)的含參問(wèn)題。

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給與正余弦定理結(jié)合，在解三角形中靈活運(yùn)用兩角

和差。

1飛?考點(diǎn)梳理?

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

2.二倍角公式

三角恒等變換知識(shí)點(diǎn).兩角和與差二倍角公式《3.輔助角公式

4.三角函數(shù)公式的關(guān)系

5.升幕與降幕公式

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn).兩角和與差二倍角公式

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

cos(a—￡)=cosacos￡+sinasincos(a+￡)=cos□cos￡—sinasinP

sin(4—￡)=sinacos—cosasinPsin(a+￡)=sinacos￡+cosasin￡

/c、tana—tan8/,c、tana+tan￡

tan(a—￡)-----------tan(0+￡)=--------------T-

1+tanatanB1—tanatanB

2.二倍角公式

22tana

sin2。=2sinacosa；cos2a=cos2a—sin2a=2cosa—1=1—2sin2a-tan2a=~—'—2-.

1—tana

3.輔助角公式:

asinx+Acosx=yja+!Jsin(x+(i)),其中tan0=(

4.三角函數(shù)公式的關(guān)系

令8=Q以-0代8「

C2a■*-------------------------C(a+6)----------------------------M?-3)

利用cos俁土q利用cos住士q利用cosA

J以一。代。

c令B=a

32a<)(a-6)

兩式相除兩式相除兩式相除

T(a+p)?以-8代8?T(…)

12a―

5.升幕與降暴公式

1+cos2a21—cos2Q

(1)降暴公式：cos2^：sina=---------

2

(2)升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a.

(3)公式的常用變形：tana±tan￡=tan(?！馈?(1干tanatan￡),

1+sin2a—(sina+cos4,

1—sin2a=(sina—cos。)2,

sina±cosa=也sin(a±-^.

考點(diǎn)一、兩角和與差的正余弦、正切與二倍角公式

典例引領(lǐng)

1.(2024,黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))已知sinasin(a+?)=coscrsin一仇)，則tan(2a+：)=()

A.2—y/3B.-2—V3C.2+V3D.-2+V3

2.(2024?浙江?三模)若sin(a—/?)+cos(a—/?)=2V^sin(a—sin/?,則()

A.tan（Q—￡）=-1B.tan（a—，）=1

C.tan（a+￡）=-1D.tan（a+/?）=1

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知a為銳角，cosa=貝人也巴=（）.

42

A3—/5口—1+V5f-r3—V5門(mén)—1+V5

A.-----D.------C.-----Y）.----

2.（2024?青海海西?模擬預(yù)測(cè)）已知cosa=—日，則cos2a的值為（）

1211

A.-B.-C.--D.--

3353

3.（2024,全國(guó)?高考真題）已知cos（a+夕）=m,tancrtan^=2,則cos（a—/?）=（

A.-3mB.--C.-D.3m

33

4.（2024?江西九江?三模）若2sin（a+§=cos（a—g）,則tan（a—看）=（

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

考點(diǎn)二、化簡(jiǎn)求值

典例引領(lǐng)

2cos65°cosl5°

1.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）;的值為（）

tanl5°cosl0°+sinl0

A.2B.ic.2D.三

2222

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）若sin（a-20。）=3*s^°°,則sin（2a+50。）=（

tanzO—V3

即時(shí)笆測(cè)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）一產(chǎn)^=（）

sin25°2tan25°

A.—B.—C.—D.—

2222

1+tan（0—-—）-1

2.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）若—=；，貝Usin28的值為（）

1-tan（6——）2

4

3344

A.--B.-C.--D.-

5555

3.（2024?廣東?二模）tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=（）

A.-2B.-4C.-2V3D.-4V3

sinxsinx

4.（2024?河北承德?二模）已知tan%=則

cos3xcos2xcos2xcosx

5.（2024?河北邯鄲?二模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如

圖所示的五角星中，以4民C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正邊邊形，設(shè)4CAD=a,貝"cosa+cos2a+cos3a+

cos4a=，cosacos2acos3acos4a=.

考點(diǎn)三、湊角求值

典例引領(lǐng)

1.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知sin（仇+^）=%則sin（2a+等）=.

2.（23-24高三上?天津?qū)幒?期末）已知cos位一%貝Ijsin（號(hào)-26）=.

1.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知cos2a=—y,sin（a+，）=—唱，戊SE［―y,o］,則a-0=

（）

A.-B.—C.—D.二或立

44444

,,

2.（2024?山西?三模）若sin2a=今sin（￡—a）=?,且a6［：,冗］,S￡［兀~T\則cos（a+0）=（

A0aB包C漁D206

?6,636

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知tan（a—￡）=：,tan/?=一巳,且a,￡e（0,兀），則2a—￡=（）

A.--B.-C.—D.--

4444

4.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知cos（a—1）—cosa=￡則sin白優(yōu)+?）=（）

A.—B.--C.—D.--

25252525

5.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知cosa）=3貝!Jsin（詈+2a）=（）

A.ZB.，C.返D.-這

9999

考點(diǎn)四、輔助角公式

典例后闞

1.(23-24高三下?云南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2sinx+cos%在汽。處取得最大值,則cos%。=()

A.咨B.—這C.漁D.—漁

5555

2.(2024?陜西銅川?三模)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x,則下列說(shuō)法中不正確的是()

A.f(x)的最小正周期為n

B./(x)的最大值為企

C./⑴在區(qū)間曰上單調(diào)遞增

D-/1一白二八一比一看)

1.(2024?湖北?二模)函數(shù)/(%)=3cosx—4sinx,當(dāng)f(%)取得最大值時(shí)，sin%=()

A.4-B.-4-C.-3D.--3

5555

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)=asinx+cos》的圖象關(guān)于直線(xiàn)久=一看對(duì)稱(chēng)，則a=

3.(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)已知函數(shù)/(%)=sin3U-V^cos3%(3>0),若存在%1E[0,五]，使得/(打)=-2,

則3的最小值為.

4.(2024,全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知/(%)=4sin%(sin%-V^cos%)+1相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)分別為久L%2，則

cos%—x2\=.

5.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2cos23%+sin2a)x—l(co>0)/(%D=f(x2)=

今氏一支21的最小值為號(hào)，則3=()

A.1B.1C.2D.3

2

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(22-23高三上?天津?yàn)I海新?期中)若a是第三象限角，且sin(a+S)cosS-sin’cos(a+S)=-得,

則tana等于()

A.-5B.--C.—D.5

1212

2.(23-24高三上?云南昆明?開(kāi)學(xué)考試)已知tan(a—：)=4,貝！Jsin2a=()

B.2

17

3.（23-24高三上?天津南開(kāi)?期中）已知sin（a-看）=sin（a+1），貝!Itana=.

4.（23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí)）△ABC中，已知cos24=支貝iJsinA=.

5.（22-23高三上?天津?yàn)I海新?期中）已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2,l）,則tan8=,

cos20—2sin20_

cos26,

6.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知tana=tan/?=—巳,且E（0,兀），則2a-/?=

7.（23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）已知2sina+cosa=0.

（1）求tan（a-：）的值；

⑵求斗W的值；

sin（nr+a）

（3）當(dāng)a是第四象限角時(shí)，求cos（a+?）的值.

能力提升

1.（23-24高三上?天津河西?階段練習(xí)）已知tan（e+J）=-3,則巴乒孚號(hào)上?等于（）

\4/sin（?！?）—sin（萬(wàn)+6）

2

A.-B.0C.-2D.2

3

2.（23-24高三上?天津和平?階段練習(xí)）函數(shù)f（x）=sin久+Wcosx在區(qū)間[o,；]上的最小值為

（）

A.V3B.V2C.1D.2

3.（23-24高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）銳角a,￡滿(mǎn)足a+2￡=號(hào)，tan]tan0=2—百，則a和0中的

較小角等于_.

4.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）若tana=日（色，則sin（2a+；）=.

5.（23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（久）=sin（x+看）+sin（久一5）+cosx+a的最大值為

1,

（1）求常數(shù)a的值;

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

6.（23-24高三上?天津?期中）己知