山東省德州市2024-2025學年高三上學期期中考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={#一1歸3},2=,忙<8},則/n&=()

A.[-2,4]B.(-2,4]

C.[-2,3]D.[—2,3)

2.以下有關不等式的性質，描述正確的是()

A.若a>b,則一<一

ab

B.若ac2Vbe則

C.若Q<b<c<0,則"十°

bb+c

D.若a>0,b>0,a+b<4,ab<4,貝！J〃<2,b<2

3.已知向量。=(T,2),S=(m,l),若Z+B與3之一3平行，則加=()

1137

A.——B.——C.-D.-

2422

4.已知等差數(shù)列{%}的前〃項和為，a3+al3=6,ai5=17,則S?2=()

A.180B.200C.220D.240

5.已知夕：x￡a,q：Y]-2x?0,若夕是夕的充分不必要條件，則〃的取值范圍是()

x+2

A.Q<—2B.aG—2

1,1

C.a<—D.a4—

22

6.已知關于》的函數(shù)尸唳工12+5+”1)在13,-2]上單調遞增，則實數(shù)”的取值范圍是

2

()

A.a<4B.a<4

C.a<3D.Q<3

7.已知函數(shù)〃x)=sin(ox+；|3>0),若方程〃x)=g在區(qū)間(O,2TI)上恰有3個實數(shù)根,

則。的取值范圍是()

試卷第1頁，共4頁

—1,—<%<2

2

8.已知函數(shù)/(')=<，若函數(shù)g(')=/(x)-女有三個不同的零點，則實數(shù)

x

In—,2<x<8

2

B.

D.

二、多選題

9.下列結論正確的是()

1.

A.cosx+------>2

COSX

/9

B.VxG(0,3),(3-x)x<—

o_

C.若x>0,y>0,—+^>272

yx

D.+2+的值域為[2,+co)

10.已知函數(shù)〃尤)=/(2x-l),則()

A.函數(shù)/(x)有兩個零點

B.x=；是/(x)的極小值點

C是/(X)的對稱中心

D.當3<x<4時，/(x+l)>/(2x-3)

11.已知數(shù)列｛%｝的各項均為負數(shù)，其前〃項和年滿足%,?，=；(”=1,2,…)，貝I]()

A.gJ,B.1一1為遞減數(shù)列

C.｛%｝為等比數(shù)列D.｛%｝存在大于-焉的項

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知正三角形的邊長為2,。為8。中點，P為邊8。上任意一點，則

APAO=

71當時，〃月一一

13.設/(x)=2sinxcosx-2sin2X--則cos2]=

14.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x-l)+/(x+l)=/(3),/(—2x+2)為偶函數(shù)，且

2025

1(^+1)/

左=1

四、解答題

15.已知V/5C中的三個角48,C的對邊分別為。，4c,且滿足asinB=JOcos).

⑴求A；

(2)若A的角平分線40交BC于。，40=2,求V/8C面積的最小值.

16.某企業(yè)計劃引入新的生產線生產某設備，經市場調研發(fā)現(xiàn)，銷售量4(x)(單位：臺)

與每臺設備的利潤x(單位：元，x>0)滿足：q(x)=<a-b^/x,25<x<225(°,6為常數(shù)).

0,x>225

當每臺設備的利潤為36元時，銷售量為360臺；當每臺設備的利潤為100元時，銷售量為

200臺.

⑴求函數(shù)q(x)的表達式；

(2)當x為多少時，總利潤/(丁)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.

17.在數(shù)列｛a?｝中，4=1,其前〃項和為S",且叫一=(〃-1)(Si+"22且〃eN*).

(1)求｛?！埃耐椆?；

⑵設數(shù)列也｝滿足“='一113”,其前〃項和為7；,若("2+9卜3"恒成立,

求實數(shù)4的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

18.已知函數(shù)〃x)=21n(x+l)-oxe"M(aeR).

⑴當a=1時，求函數(shù)/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(2)當。＜0時，求/(X)的單調區(qū)間；

⑶若函數(shù)/(x)存在正零點％,求。的取值范圍.

19.已知數(shù)列｛4｝,從中選取第i項、第％項、…第7,"項［＜%＜??＜，；“)，順次排列構成數(shù)

列他｝,其中4=4,IV左4加，則稱新數(shù)列｛4｝為｛“"｝的長度為加的子列.規(guī)定:數(shù)列｛4｝

的任意一項都是｛aJ的長度為1的子列.

(1)寫出2,8,4,7,5,6,9的三個長度為4的遞增子列；

⑵若數(shù)列包｝滿足%=3〃-1,〃eN*,其子列他｝長度加=4,且他｝的每一子列的所有項

,1111-

的和都不相同，求I+K+M+M的最大值；

Ab2b3b4

(3)若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，公差為d,d/0,數(shù)列出｝是等比數(shù)列，公比為q,當號為何

值時，數(shù)列乩｝為等比數(shù)列.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DBACADCBBCABD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】求得集合42,利用交集的意義求解即可.

【詳解】由]》一1歸3,得一34x743,解得一24xW4,所以4=[-2,4]

由2*<8=23,所以工<3,所以8=(-oo,3),

所以/「八[-2,4]A(-8,3)=[-2,3).

故選：D.

2.B

【分析】舉反例可說明選項A、D錯誤；利用不等式的性質得選項B正確；利用作差法可

得選項C錯誤.

【詳解】A.當。>0>6時，->7,選項A錯誤.

ab

B.由a,<兒2得c2>0,故選項B正確.

aa+c_a(b+c)-b(a+c)_c(a-b)

,bb+cb@+c)bg+c)，

由a<6<c<0得，a-b<0,b+c<0,所以故:>產，選項C錯誤.

0(0+c)bb+c

D.令。=3,6=；,滿足。>0,b>。,a+b<4,ab<4,結論不正確，選項D錯誤.

故選：B.

3.A

【分析】利用平面向量的坐標表示以及平行關系，列方程即可得加=-g.

【詳解】由。=(一1,2),加=(加,1)可得q+3=(m—l,3),%—B=(-3-m,5),

若若Z+B與3Z—B平行可矢口5(加一1)—3(—3—冽)=0,

解得冽=-；.

故選：A

4.C

答案第1頁，共14頁

Ia=—11

【分析】利用等差數(shù)列定義可求得」｝、，再由等差數(shù)列的前"項和公式計算可得結果.

a=2

【詳解】設等差數(shù)列｛g｝的首項為4,公差為",

+2d+4+12d=6

由43+Q13=6,ai5=17可得

ax+14(7=17

%——11

解得

d=2

因止匕S22=22%+221^=22x(-11)+22x21=220.

故選：C

5.A

【分析】先解分式不等式，根據(jù)充分不必要條件的定義結合集合間的基本關系計算即可.

【詳解】由—1_7Y40可得（1一2x）（x+2）W0（x+2*0）,解之得x<-2或記1」

x+22

設夕：x<a,對應4=（一8,a］,

q；曰4°，其解集對應8=（-雙-2）ug,+sj,

則。是q的充分不必要條件等價于4是B的真子集，所以。<-2.

故選：A

6.D

【分析】由復合函數(shù)的單調性的性質和對數(shù)函數(shù)的定義域，知道內函數(shù)在區(qū)間13,-2］上單

調遞減且函數(shù)值一定為正，建立不等式組，求得。的取值范圍.

【詳解】令:J?+辦+?！?,

則y=bgj,二y在（0,+司上單調遞減，

由復合函數(shù)的單調性可知，，在卜3,-2］單調遞減,

-->-2a<4

2,則

3>Q

(~2)2+(-2)a+a-l>0

a<3

故選：D

答案第2頁，共14頁

7.C

【分析】由題意可得sin（ox+?］=：,根據(jù)尤e（O,2兀），可得2兀+?＜20兀+2447t+2,計

I4J2''646

算即可.

【詳解】由/（"=；,可得sin［ox+：］=；,

當X￡（0,2兀）時,一＜（DX-\—＜20兀H—,

444

因為方程=；在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個實數(shù)根,

兀

所以如+?5J＜r25+7：rV47r+g解得3三1＜044白7，

6462424

所以。的取值范圍是（3占1，數(shù)471.

（2424J

故選：C.

8.B

【分析】將問題轉化為“了=/（尤）/="的圖象有三個交點”，然后作出了=/（x））="的圖

象，根據(jù)廣◎經過點（8,21n2）以及W與〃x）=ln］相切分析出。的臨界值，則。的范圍

可求.

【詳解】因為g（久）=/（久）-ax有三個不同零點，所以〃x）=依有三個不同實根，

所以V=1（X）/=G的圖象有三個交點，

在同一平面直角坐標系中作出＞=/（x）,y="的圖象，

當好◎經過點（8,21n2）時,

2

代入坐標（8,21n2）可得8a=21n2,解得a=竽;

當＞=依與〃力卜?2,8］）的圖象相切時，

答案第3頁，共14頁

設切點為限加率]y1

,因為此時/(x)=ln。所以/(x)=￡

所以切線方程為"吟U（…。），即”;吟-1,

所以“?？傻?/p>

In包-1=0

I2

結合圖象可知，若了=/@）/=研的圖象有三個交點，則與（。<2,

故選：B.

【點睛】思路點睛：求解函數(shù)零點的數(shù)目問題，采用數(shù)形結合思想能高效解答問題，通過數(shù)

與形的相互轉化能使問題轉化為更簡單的問題，常見的圖象應用的命題角度有：

（1）確定方程根的個數(shù)；

（2）求參數(shù)范圍；

（3）求不等式解集；

（4）研究函數(shù)性質.

9.BC

【分析】根據(jù)基本不等式的三個要求“一正，二定，三相等”來判斷各個選項即可.

【詳解】A選項：因為cosxe[-l,l],故不滿足“一正”，A選項錯誤;

B選項：因為xe（0,3）,所以（37）>0,X>0,所以（3-x）xV廣[=|,當且僅當

3

（3-x）=x,即x='e（0,3）時取等號，所以B選擇正確；

C選項：x>0,y>0,所以a>0,匕>0,所以至+222,匡工=2S,當且僅當在=上,

yxyxyxyx

即y=血工時取等號，所以C選項正確；

D選項：因為+2〉0,所以，^+2+—-----22lx?+2x=2,當且僅當

6+2\&+2

答案第4頁，共14頁

4^=7^=時取等號，但4rz=7^無解，所以6+2+-^=>2,所以D

V%2+2Vx2+2Vx2+2

選項錯誤.

故選：BC.

10.ABD

【分析】求得函數(shù)/("的零點可判斷A；求得導函數(shù)，求得/''(x)=0的根，可得極小值點，

從而可判斷B；求得/'(x)=6/_2x的對稱軸x=J,可得/⑺的對稱中心判斷C；利用函

數(shù)/(“在(；,+◎上單調遞增可判斷D.

【詳解】由/(x)=/(2x-l)=0,解得了=0或x=g,所以函數(shù)〃x)有兩個零點，故A正

確；

由f(x)=x2(2x-l),得f(x)=2x(2x-l)+2x2=6x2-2x=6x(x-j),

令((x)=0,解得x=0或x=g,

11

當時，/,(x)<0,當時，/z(x)>0,

所以X=；是/(尤)的極小值點，故B正確；

由函數(shù)/'(x)=6x2-2x的對稱軸為x=J,此時的對稱中心是兩個極值點的中點，

6

所以］是/(X)的對稱中心，故C不正確；

當時，f'(x)>0,所以/'(X)在(g+s)上單調遞增，

若3cx<4,可得3<2x-3<x+l<5,所以/(尤+1)>〃2尤-3),故D正確.

故選：ABD.

11.ABD

【分析】令〃=1,可得出方的值，令"=2,可得出關于電的方程，可解出電的值，可判斷

A選項；由遞推關系結合數(shù)列的單調性可判斷B選項；假設數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，推導出

S；=E$3,求出“的值，可判斷C選項；利用反證法可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，當〃=1時，由題意可得因為為<0,所以，％=-；，

答案第5頁，共14頁

當〃=2時，由邑=1-可得出一5=「，整理可得4城-22-1=0,

因為。2<0，解得。2=1f，A對；

對于B選項，當"22時，由S.可得S"-i,

4%4an_,

上述兩個等式作差可得%=-,

4%4%

,111(11)11

因為%-------=T-----------|<°，即一<----，

4%4an_,41a,,an_x)an%

所以，數(shù)列B對;

對于C選項，若數(shù)列｛。,｝為等比數(shù)列，則蜷=%%，

111,11

因為4=荷,邑"項,83=有，則用=-------=S1S3,

16第4。14%

設等比數(shù)列｛%｝的公比為“，則〃(l+q)2=%q(l+q+/),解得4=0,不合乎題意,

所以，數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，C錯；

對于D選項，假設對任意的“eN*,%〈-喘5，

則為”叫-^卜-此

1111

此時，=語:'-疝1'一而萬>一何'與假設矛盾，假設不成立，D對.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛：本題在推斷選項CD的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證

法來進行推導.

12.3

【分析】由已知可得/OL3C,從而利用萬.而=粉2+赤.而可求值.

【詳解】因為三角形/3C是正三角形，。為BC中點，

所以/O_LBC,所以/O_L。尸，又正三角形48c的邊長為2,所以AOTAC?-CO?=也，

所以萬?割=(就+麗)?刀二刀。+而?刀=(6y=3.

故答案為：3.

答案第6頁，共14頁

13.

3

【分析】利用降幕公式化簡可得〃x)=2sin2x-l,由已知可求得sin2x=g,再利用同角的

三角函數(shù)的平方關系可求cos2x.

【詳解】

/(x)=2sinxcosx-2sinsin2x+cos2\x---1

I4,

由/(%)=—［，所以2sin2x—1=—1，所以sin2x=4,

因為2xe[m，7r),又sin2x=；1,所以2》?[兀，無)，

32

所以cos2x=-Vl-sin22x=-2V2

故答案為一早

14.1-2026

【分析】通過條件可得/(x)是周期為4的函數(shù)，由/■(-2x+2)為偶函數(shù)得/(2-x)=f(2+x),

通過給x賦值可計算出/(g),利用函數(shù)的周期性可得結果.

【詳解】由/(x-l)+/(x+l)=/(3)得，/(x)+/(x+2)=/(3),/(x+2)+/(x+4)=/(3)，

.?./(x)=/(x+4),故/(x)是周期為4的函數(shù).

(一2x+2)為偶函數(shù)，.?./(2-2x)=〃2+2x),.?./(2-x)=/(2+x),

令x4得-HU，

令x=l,得1(1)=/(3).

在/(x-l)+/(x+l)=/(3)中,令x=2,得〃1)+/(3)=/(3),

.?/l)=f(3)=0.

令.|,得故/]]=一C=T，

令心得dih/gb?！?一/匕.一1.

由函數(shù)的周期性得，

答案第7頁，共14頁

2025f

E化+i)/左(―2+3+4—5)+??十(-2022+2023+2024-2025)-2026=-2026.

k=\\

故答案為：1；-2026.

【點睛】方法點睛:

①若f（x+。）=-/（x）,則函數(shù)/（X）的周期T=2I〃I；

②若〃x+“)=I，則函數(shù)〃x)的周期T=2|a|；

/(x)

③若/(x+a)=-焉，則函數(shù)〃x)的周期7=2|°|；

④若/(尤+0=f(x+b),則函數(shù)/(x)的周期T=1a-61；

⑤若/(')+/('+〃)=6,則函數(shù)“X)的周期T=2|〃|.

6(1)4.

⑵孚

【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，化簡后求解即可;

11A1A1

(2)根據(jù)角平分線性質，得一加sin/=—x2xbsin—+—x2xcsin—=—(b+c),再利用基本

222222

不等式求解即可.

【詳解】（1）因為asinB=Gbcos4,所以由正弦定理得5詁人口5=百$111_500$/,

又因為sin3w0,所以sin/=JJcos4，

即tan/=6，又/€(0,兀)，所以/=W；

]j/IA1

(2)S，ABC=S，ABD+SAACD，gp-Z,csin^=-x2x6sin—+-x2xcsiny=-(6+C),

化簡得如與T"C>2：，

所以6be=2(Z?+c)>4Jbe,

所以打冶所以

4

當且僅當6=。=用時取“=”，

所以S=!歷situ2L應?且=譴，所以“BC面積的最小值為生A.

223233

答案第8頁，共14頁

2400八…

i,0<x<25

Vx+H

16.(l)q(x)=，600-40W,25<x<225

0,x>225

(2)當x為100元時，總利潤取得最大值為20000元.

【分析】(1)根據(jù)題意列出方程組，求出6的值即可得到函數(shù)4(尤)的表達式;

(2)根據(jù)函數(shù)q(x)的表達式得出利潤的表達式，分段討論出各段的最大值，比較后得到最

大值.

a-b?莊=360

【詳解】(1)由題意知

?-Z)-V100=200)

a=600

得

6=40

R,0<X<25

Jx+11

故q(x)=<600-40^,25<x<225.

0,x>225

(2)設總利潤/(x)=x-g(x),

2400x八…

,,0<x<25

Vx+H

由(1)得〃x)=，600x-40xy/x,25<x<225

0,x>225

7400r

當0<x<25時，/(x)=-^==2400

yjX+11

/(x)在(0,25］上單調遞增,

所以當x=25時，/(x)有最大值10000.

當25cxV225時，/(x)=600x-40xy/x,/'(x)=600-606,

令/'(x)=0,得x=100.

答案第9頁，共14頁

當25<x<100時，r(x)>0,/(x)單調遞增,

當100<xW225時，/'卜）<0,1（X）單調遞減,

所以當x=100時，f（x）有最大值20000.

當尤2225時，/（x）=0.

答：當x為100元時，總利潤取得最大值為20000元.

17.（1）??=-

n

（2）（-=o,2].

n—1

【分析】（1）利用打?！钡年P系得結合累乘法可得通項；

n

（2）根據(jù)（1）的結論得出“=（2〃-1）x3",由錯位相減法得7；,再分離參數(shù)幾《式±2

3n

根據(jù)基本不等式計算即可.

【詳解】（1）因為。廣5一心/〃蟲）,代入〃電

n—1

整理得?！?

n

匚n-1n-21

所以4=-----=-〃-2,…,％=彳。1，

nn-12

以上（〃-1）個式子相乘得，

12n-1a,1

a?=%??？-------=一=一?

23nnn

當〃=1時，%=1,符合上式，所以%=L

n

（、

（2）b?=-2-1x3"=（2〃-l）x3".

”）

所以（,=1x3+3x32+…+（2〃-l）x3",①

37；=1X32+---+（2M-3）X3H+（2H-1）X3"+1,②

①-②得，-2T”=1X3+2X32+---+2X3"-（2?-1）X3,,+1

=3+2x32~2^3"x3-（2M-1）x3M+1=（r2n+2>3"+1-6,

所以7；=（“-1）x3向+3.

答案第10頁，共14頁

加2+9n3

由加⑵J）&（〃2+9）X3,得:A<-----二—I—，

3n3n

因為4+耳1=2,當且僅當〃=3時，等號成立,

3〃〃

所以X<2,即2的取值范圍是(-*2].

18.(l)(2-e)x--y=0

(2)單增區(qū)間是(-1,+8),無單減區(qū)間；

⑶叫

【分析】(1)求得切點坐標，由導函數(shù)求出切點處導函數(shù)的值得到切線斜率，寫出切線方程;

(2)代入?yún)?shù)后求導函數(shù)，由導函數(shù)求得單調區(qū)間；

(3)令導函數(shù)/'(x)為新的函數(shù)再求導，根據(jù)。的取值進行分類討論，利用函數(shù)單調性和函

數(shù)零點的定義即可得到。的取值范圍.

【詳解】(1)由題知/(0)=0,/(x)=21n(x+l)-xet+1,

于是/'(司=2-(尸+疣力，

所以切線的斜率左=/'(0)=2-e,

于是切線方程為V=(2-e)x,即(2-e)尤-y=0

(2)由已知可得“X)的定義域為(T+8),

且f'(x)=---+加川)=2-如+1『一,

v7X+1I)X+1

因止匕當Q<0時，2—40+1)2哲+1>0,從而廣(x)>0,

所以/(X)的單增區(qū)間是(T,+8),無單減區(qū)間；

(3)由(2)知，/3=2一心+1)%,

令g(無)=2-a(x+l)2ex+1,g'(x)=-a(x+l)(x+3)eJ+1,

當時，(x+l)(x+3)ei>0.

①當aV0時，可知/'(x)>0,/(x)在(-1,+動內單調遞增,

又/(。)=0,故當x>0時，/(%)>0,所以/(x)不存在正零點;

答案第11頁，共14頁

②當0<Q<_時，g，(x)=-Q(x+l)(x+3)e，+i<0,又g(O)=2_〃e〉0,

gfln--l>|=2-afln->|5=2-l[\x^\=：l-fln-2^<(,

\a)<aJ\a)\a)\

所以存在a滿足g(a)=O,

所以/'(x)在(Ta)內單調遞增，在(a,+8)內單調遞減.

令〃(x)=lnx-x+1,則當x>0時，Af(x)=--1,

故〃(x)在(0,1)內單調遞增，在(1,+8)內單調遞減，

從而當工〉1時，h{x)</z(l)=0,即lnx<x-l,

所以/(ln2_j=21n(lnA_q(lnLi]e叱=2InfIn-fIn—1^<0,

\a)\ci)\a)VJ\)

又因為〃0)=0,所以〃a)>o,因此，3xoe^,lnj-l1使得/'(xobO

即此時存在正零點尤。；

2

③當aN—時，xe(0,+oo),g'(x)=-<7(x+l)(x+3)e"i<0,

e

從而g(x)為減函數(shù).

又g(0)=2-ae40,所以當x>0時，g(x)<0.

故尤e(O,+s)時，/'(x)<0恒成立，又"0)=0,故當x>0時，/(x)<0,

所以函數(shù)/(x)不存在正零點;

綜上，實數(shù)。的取值范圍為

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有正零點，由函數(shù)零點的定義需要找到兩個正數(shù)的函數(shù)值符號

相反.本題在分析過程中因為參數(shù)。的值會影響導函數(shù)的值，所以對。進