第九章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第二節(jié)用樣本估計(jì)總體·考試要求·1．結(jié)合實(shí)例，合理使用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)．2．結(jié)合實(shí)例，掌握樣本的數(shù)字特征，了解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．3．結(jié)合實(shí)例，能夠利用樣本的集中趨勢(shì)與離散程度估計(jì)總體的集中趨勢(shì)與離散程度．必備知識(shí)落實(shí)“四基”

√2.(教材改編題)從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為[66，70)，[70，74)，…，[94，98]八組，并整理得到如右的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品的數(shù)量是(

)A．20部 B．40部C．64部 D．80部D

解析：由頻率分布直方圖，可知評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品的數(shù)量為400×0.050×4＝80(部)．√

核心回扣1．頻率分布直方圖的畫法第一步：求極差；第二步：決定組距與組數(shù)，組距＝______；第三步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第四步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表；第五步：畫頻率分布直方圖．2．頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖．橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示______，各小長(zhǎng)方形的______表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．注意點(diǎn)：各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和等于___．

面積1

√2．(多選題)已知某班10名男生引體向上的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表所示，則下列說法正確的是(

)

A．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為8.4個(gè)B．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的第25百分位數(shù)為7.5個(gè)C．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為8.5個(gè)D．這10名男生引體向上測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為9個(gè)成績(jī)/個(gè)10987人數(shù)1432√√√

一個(gè)數(shù)據(jù)最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)4.百分位數(shù)(1)第p百分位數(shù)的定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有_____的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有____________的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．(2)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步，按__________排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝________．第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．p%(100－p)%從小到大n×p%

√

應(yīng)用設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

)A．0.01 B．0.1C．1 D．10C

解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)axi＋b(i＝1，2，…，n)的方差是數(shù)據(jù)xi(i＝1，2，…，n)的方差的a2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.√核心考點(diǎn)提升“四能”

統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用1．某商場(chǎng)在售的三類食品共200種的分布情況如圖所示，質(zhì)檢部門要從中抽取一個(gè)容量為40的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，則抽取的植物油類食品的種數(shù)是(

)A．8種 B．12種C．24種 D．30種B

解析：由題意，利用分層隨機(jī)抽樣方法從中抽取容量為40的樣本，可知需要抽取的植物油類食品的種數(shù)是40×30%＝12.√2．(2024·德州模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)是評(píng)估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，300)和[300，500]六檔，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度污染”和“嚴(yán)重污染”六個(gè)等級(jí)．如圖是某市2月1日至14日連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，則下面說法中正確的是(

)A．這14天中有5天空氣質(zhì)量為“中度污染”B．從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好C．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214D．連續(xù)3天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是5日到7日√

3．(多選題)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)“90后”比“80前”多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)“90后”比“80后”多√√√ABC

解析：由題圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占總?cè)藬?shù)的56%，超過一半，A正確；互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×39.6%＝22.176%，超過20%，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員(包括“90后”“80后”“80前”)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%，B正確；互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×17%＝9.52%，超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，C正確；互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×39.6%＝22.176%，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，且“80后”中從事技術(shù)崗位的比例未知，D不一定正確．故選ABC．

統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；條形圖和直方圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率．

頻率分布直方圖【例1】某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績(jī)(單位：分)，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，觀察頻率分布直方圖，回答下列問題．(1)求分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；解：設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.010＋0.015＋0.020＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為0.25.補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示．(2)根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，請(qǐng)你估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要多少分．解：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在區(qū)間[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，在區(qū)間[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，所以排名前10%的分界點(diǎn)成績(jī)?cè)赱80，90)內(nèi)，設(shè)為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界點(diǎn)成績(jī)?yōu)?8分，即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分．

(2024·四川模擬)某市為了解全市環(huán)境治理情況，對(duì)本市的200家中小型企業(yè)的污染情況進(jìn)行了摸排，并把污染情況各類指標(biāo)的得分綜合折算標(biāo)準(zhǔn)分(最高為100分)，統(tǒng)計(jì)并制成如圖所示的頻率分布直方圖，則這次摸排中標(biāo)準(zhǔn)分不低于70分的企業(yè)數(shù)為(

)A．30

B．60

C．70

D．130C

解析：根據(jù)頻率分布直方圖，標(biāo)準(zhǔn)分不低于70分的企業(yè)的頻率為(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35，所以標(biāo)準(zhǔn)分不低于70分的企業(yè)數(shù)為0.35×200＝70.√

總體集中趨勢(shì)的估計(jì)考向1百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)【例2】(1)為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅(jiān)持每日測(cè)溫報(bào)告，以下是高三(1)班、(2)班各10名同學(xué)的體溫(單位：℃)記錄(從低到高)．高三(1)班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0；高三(2)班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1.若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則n－m等于(

)A．0.6

B．0.5

C．0.4

D．0.3√

(2)某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有20人，他們的年齡分布如表：

下列說法正確的是(

)A．29.5歲是這20人年齡的一個(gè)25%分位數(shù)B．29.5歲是這20人年齡的一個(gè)75%分位數(shù)C．36.5歲是這20人年齡的一個(gè)中位數(shù)D．這20人年齡的眾數(shù)是5歲年齡/歲45403632302928人數(shù)2335241√

1．求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì)．2．求中位數(shù)時(shí)一定要先將數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，則沒有眾數(shù)．考向2與頻率分布直方圖有關(guān)的數(shù)字特征計(jì)算【例3】在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則(

)A．這種疾病患者的年齡小于等于30歲的概率約為0.2B．這種疾病患者的年齡的中位數(shù)小于45歲C．這種疾病患者的年齡的眾數(shù)約為45歲D．這種疾病患者的平均年齡約為48歲√C

解析：小于等于30歲的概率為0.001×10＋0.002×10＋0.012×10＝0.15，故A錯(cuò)誤；中位數(shù)左、右兩側(cè)的長(zhǎng)方形的面積和相等，結(jié)合圖形可以看出中位數(shù)大于45，故B錯(cuò)誤；而眾數(shù)為最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)，所以眾數(shù)為45歲，故C正確；平均年齡為(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)，故D錯(cuò)誤．

1．最高的小長(zhǎng)方形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)．2．中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．3．平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．1．(2024·日照模擬)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為(

)A．64 B．65C．64.5 D．66B

解析：因?yàn)?.030×10＝0.3＜0.5，(0.030＋0.040)×10＝0.7>0.5，所以中位數(shù)位于[60，70)內(nèi)．設(shè)中位數(shù)為x，則0.030×10＋(x－60)×0.040＝0.5，解得x＝65，即中位數(shù)的估計(jì)值為65.√2．對(duì)以下兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，下列說法不正確的是(

)甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A．甲組的極差是29 B．甲組的中位數(shù)是25C．乙組的眾數(shù)是21 D．甲組的平均數(shù)比乙組大√

√

(2)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備