練習(xí)12.1.一維諧振子受微擾的問(wèn)題，使有嚴(yán)格解的，試仿照正文中的方法，在薛定諤繪景中用近似的方法討論這一問(wèn)題，并將結(jié)果與嚴(yán)格解比較。（解答人：李澤超核對(duì)人：熊凱）解：由題意得：受微擾的一維諧振子的哈密頓量是：諧振子從時(shí)刻起其狀態(tài)滿足薛定諤方程：的含時(shí)本征矢量的展開(kāi)為：微擾的矩陣元為，具體的形式為：利用算符對(duì)本征矢量函數(shù)的；上升和下降的性質(zhì)，得：采用微擾方法近似解薛定諤方程時(shí)，薛定諤方程可一化為下式：將（6）式帶入（7）式可得到在題意條件下的微擾方程的表達(dá)形式如下：經(jīng)化簡(jiǎn)得：將的已知的低級(jí)的近似代入方程的右邊，即可以解出高一級(jí)的近似。假設(shè)初態(tài)是，則可以將零級(jí)近似代入方程的右邊，得到關(guān)于一級(jí)近似的方程如下式：當(dāng)取不同的值時(shí)，上述的方程有不同的形式，就的不同的取值對(duì)（10）式進(jìn)行討論如下：在初態(tài)的條件下，解方程組（11），所得的結(jié)果如下：當(dāng)微擾項(xiàng)式時(shí)，一級(jí)近似的形式如下;由（9）式和（13）式可以計(jì)算出微擾的二階近似：令取不同的值，確定方程組，得到下列方程組：方程組（14）在初始條件下的解為：利用微擾解的結(jié)果如上。下面對(duì)本題嚴(yán)格求解:由題意得：系統(tǒng)的哈密頓量形式如下：令：。則：以上可以等價(jià)為無(wú)微擾的情況下的薛定諤方程，其解為：本征能量取值為：取的態(tài)函數(shù)為：其中為n階厄米多項(xiàng)式。因?yàn)槭莻€(gè)小量，所以上式中的三個(gè)相乘的因式都可一展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)，三個(gè)級(jí)數(shù)求和式相乘得到的多項(xiàng)式的低階項(xiàng)（一階和二階項(xiàng)）和上面用微擾近似得到的結(jié)果及其的相近，沒(méi)有太大的差別，差別可能出現(xiàn)在三階或式四階項(xiàng)上，可見(jiàn)兩種方法的到的結(jié)果都是有價(jià)值的。#練習(xí)12.2有一系統(tǒng)，處于的一個(gè)本征態(tài)，若由小而大，緩慢的加上一個(gè)微擾，證明此態(tài)也緩慢的變化，一直保持為當(dāng)時(shí)的總哈密頓的本征態(tài)。證明時(shí)取，為一小的正數(shù)，在一級(jí)近似下用（11.42）式求（做題人：董廷旭校對(duì)人：劉強(qiáng)）證明:在相互作用繪景中，用演化算符來(lái)計(jì)算，這時(shí)有(1)由于是微擾項(xiàng)，取(2)把(2)式代入（1）式得由上式可知此態(tài)緩慢變化，一直保持為當(dāng)時(shí)總哈密頓的本征態(tài)。第二問(wèn)：12.3：計(jì)算(12.27),(12.28),(12.29).(選擇的是12.28中的第一式)（做題人：劉強(qiáng)校正:董亭序）解：#練習(xí)14.1對(duì)于一個(gè)純態(tài)的密度算符，證明：（1）；（2）在的本征值中，必有一個(gè)且僅有一個(gè)等于1；（3）。解：（1）設(shè)歸一化的純態(tài)為，由所以，（2）由得即所以，即在的本征值中，必有一個(gè)且僅有一個(gè)等于1。(3)由上題知，的本征態(tài)為則它是一個(gè)對(duì)角陣，而且對(duì)角元中只有一個(gè)元素不為0（）易得#14.2從一個(gè)描寫純態(tài)的密度算符，能否求出：（何賢文）（1）任意物理量在此態(tài)中取各值的概率？（2）此物理量取各值的概率幅？（3）描寫這個(gè)態(tài)的態(tài)矢量？解：描寫純態(tài)的密度算符，其中是歸一化的態(tài)矢量。（1）任意物理量A在態(tài)中取值的概率：（2）設(shè)物理量A的本征矢量為，相應(yīng)的本征值是，態(tài)矢量是由有限個(gè)態(tài)疊加得到的，即物理量A在狀態(tài)中取各值的概率幅為（3）處于純態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的密度算符是將上式中的作用于態(tài)矢，有即是在上式中，1是算符的一個(gè)本征值。：在坐標(biāo)表象中，密度算符的矩陣元可以表示為即有#14.3一個(gè)純態(tài)，由態(tài)矢量描寫轉(zhuǎn)為密度算符描寫后，是丟失了一些信息呢還是一點(diǎn)信息也沒(méi)有丟失？（完成人：肖鈺斐審核人：谷巍）解：一個(gè)純態(tài)，由態(tài)矢量描寫轉(zhuǎn)為密度算符描寫后，是一點(diǎn)信息也沒(méi)有丟失。密度算符一個(gè)物理量A在態(tài)中的平均值可以寫成(1)物理量A在態(tài)中取值的概率(2)由（1）和（2）兩式可知，密度算符可以完全替代態(tài)矢量來(lái)描寫純態(tài)，密度算符包含了態(tài)矢量的一切信息。#14.4對(duì)于（14.27）式類型的密度算符[滿足（14.28）式的條件]，證明（14.20）和（14.21）二式成立。（做題者：班衛(wèi)華審核者：何賢文）證明：由題意，得取一組基，利用完全性關(guān)系，有對(duì)純態(tài)，#練習(xí)14.5當(dāng)（14.19）式中參與混合態(tài)的狀態(tài)是歸一化且互相正交時(shí)，重新證明密度算符的性質(zhì)即（14.20）和（14.21）二式。（張偉）證明：取一組基，利用完全性關(guān)系，有上式即為（14.20）式#練習(xí)14.6由一個(gè)單電子自旋態(tài)，已知在此態(tài)中自旋三個(gè)分量的平均值、、，求：（1）此態(tài)的密度矩陣；（2）此態(tài)成為純態(tài)的條件。解：（1）已知，，令由，得（1）（2）（3）又由密度算符的性質(zhì)，所以（4）由(1)、(2)、(3)、(4)可解得：（2）滿足純態(tài)的條件是即得所以此態(tài)成為純態(tài)的條件是。#14.7有一自旋混合態(tài)，其參與態(tài)及概率如下：（高思澤）求這個(gè)態(tài)的密度矩陣，判斷此態(tài)是否混合態(tài)。求能給出同樣密度矩陣的兩個(gè)正交態(tài)及相應(yīng)的參與概率。用（2）中所求得的結(jié)果反過(guò)來(lái)去計(jì)算密度矩陣作為驗(yàn)證。解：這個(gè)態(tài)的密度矩陣為可以算出，所以此態(tài)為混合態(tài)。（2）是厄米算符，求出其本征態(tài)和本征值。令其本征態(tài)，本征值為p，則解得：本征態(tài)和本征值為：可知正交，其相應(yīng)的本征值即為相應(yīng)的參與概率。用（2）中所求得的結(jié)果反過(guò)來(lái)去計(jì)算密度矩陣可知（2）所求的正交態(tài)得出的密度矩陣與題目給出的自旋混合態(tài)是一樣的。#15.1將狄拉克方程（15.11）式左乘以，再將（15.11）式的左矢形式右乘以，二式相加，從而證明由狄拉克方程可以導(dǎo)出連續(xù)方程。（孟祥海）并證明證明：狄拉克方程：（15.11）將（15.11）式左乘以得到（1）將（15.11）式的左矢形式右乘以得到（2）將（1）式加上（2）式得到（3）化簡(jiǎn)得到另并且，上式可表述為即得證。#15.2不用具體矩陣形式，證明：（1）（2）（3）式中和是位形空間中的矢量算符，互相對(duì)易。（孟祥海）證明：（1）是自旋空間算符，是位形空間算符。因此，與是相互對(duì)易的。所以可以利用公式（1）（2）（1）+(2)得，即得證。（2）利用公式且與也是相互對(duì)易的。上式可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋杭吹米C。（3）由和的定義式：其中，所以，#練習(xí)15.3證明(15.27)(15.28)和(15.29)三式.（邱鴻廣）證明：（15.27）式：（15.28）式：利用及即得到：（15.29）式：（未證明）練習(xí)17.1證明當(dāng)給定后，（17.20）中式的四個(gè)態(tài)是相互正交的。即；；.（杜花偉）證明：根據(jù)可得到：當(dāng)給定后，而N為歸一化常數(shù)：