專(zhuān)題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型等腰直角三角形，是初中數(shù)學(xué)中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見(jiàn)常用的性質(zhì)大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“對(duì)稱(chēng)”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比”、“45°輔助線(xiàn)”、“半個(gè)正方形”等角度拓展延伸，常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學(xué)習(xí)中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，有些難度，同時(shí)獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問(wèn)題！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等直內(nèi)接等直模型 2模型2.等直+高分線(xiàn)模型 8 15模型1.等直內(nèi)接等直模型等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作出一個(gè)新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點(diǎn)為原等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，其他兩頂點(diǎn)落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點(diǎn)，且∠EPF=90°。結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦?。┳C明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)是的中點(diǎn)同理可得：，，∵AB=AC，∴AE=FB；又是直角，是等腰直角三角形，同理：易證是等腰直角三角形?！郃E+AF=FB+AF=AB，∴。，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴?！逜E=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．例2．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出下列四個(gè)結(jié)論：①是等腰三角形；②M為中點(diǎn)時(shí)，；③；④和的面積之和等于9，上述結(jié)論中始終正確的有（）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4例3．（23-24九年級(jí)上·四川內(nèi)江·期末）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，∠MPN為直角，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①EF＝OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例4．（23-24八年級(jí)上·山西呂梁·期末）綜合與探究問(wèn)題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在等腰直角三角板中，，，為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)上，得到，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線(xiàn)，分別與邊，交于，兩點(diǎn)，如圖1所示．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)，分別是，的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)類(lèi)比探究：如圖3，當(dāng)，不是，的中點(diǎn)，但滿(mǎn)足時(shí)，判斷形狀，并說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用：①如圖4，將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線(xiàn)，分別與，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，是否仍然具有（2）中的情況？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，射線(xiàn)，分別與直線(xiàn)，交于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，若，，則________（用含，的式子表示）．模型2.等直+高分線(xiàn)模型等直+高分線(xiàn)模型模型是指在等腰直角三角形過(guò)其中一個(gè)角所在頂點(diǎn)作另一個(gè)底角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)。條件：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．結(jié)論：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．證明：，，，，，，，，，，在和中，，．平分，，∵，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形．，，，平分，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，，∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。例1．（23-24九年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在中，于D，平分，且于E，與相交于點(diǎn)F，H是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)G，以下結(jié)論中：①是等腰三角形；②；③；④．正確的結(jié)論有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例2．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，等腰中，于點(diǎn)D，的平分線(xiàn)分別交于E、F兩點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③；④，其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（23-24八年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)．（1）說(shuō)明：；（2）說(shuō)明：；（3）試探索，,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例4．（23-24八年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．(1)若，求證：垂直平分；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)．①請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②求證：平分．1．（23-24山東威海九年級(jí)上期中）已知中，，，D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接、、得到下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②面積的最大值是2；③的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③2．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)G，連接BG，DG與AC相交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰直角中，，于點(diǎn)D，的平分線(xiàn)分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M為中點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)E，與CD交于F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四邊形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2024·江蘇淮安·三模）如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2024·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊上，且，連接AE交BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接OF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)O作交DC于占N，，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④8．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形中，，于，的平分線(xiàn)分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤四邊形是菱形，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤9．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤與的面積和無(wú)法確定．上述結(jié)論中始終正確的有（

）

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④10.（23-24九年級(jí)上·廣東河源·期中）如圖，在正方形中，，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線(xiàn)段的端點(diǎn)重合）且，連接．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，有下列四個(gè)結(jié)論：①始終是等腰直角三角形；②面積的最小值是2；③至少存在一個(gè)，使得的周長(zhǎng)是；④四邊形的面積始終是4．其中結(jié)論正確的有（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④11．（2024·重慶·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在直角邊上，且，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）的面積等于四邊形的面積的倍；（3）；（4）．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·期中）如圖，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)在邊上，且，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)，，以下四個(gè)結(jié)論：①；②正方形的面積為9；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2024·黑龍江·校考一模）如圖，在面積為的正方形中，是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)分別交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)．下列結(jié)論：；；③四邊形的面積為．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）A． B．C． D．14．（23-24八年級(jí)上·廣東茂名·期中）如圖所示，在等腰直角?ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，則FC的長(zhǎng)是．15．（2024廣東九年級(jí)模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡(jiǎn)圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠CME=2∠ADE，EM=．16．（23-24九年級(jí)上·陜西榆林·期末）如圖，在正方形中，，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接、、，則線(xiàn)段的最小值為．17．（2024·山東德州·二模）如圖，在等腰直角中，，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)若，則______；（用含的式子表示）；(2)求證：；(3)猜想線(xiàn)段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（23-24江蘇泰州八年級(jí)上期中）在中，，，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線(xiàn)、與點(diǎn)D、點(diǎn)E，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．

(1)觀(guān)察線(xiàn)段和之間有怎樣的大小關(guān)系，并以圖②為例，加以說(shuō)明；(2)觀(guān)察線(xiàn)段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并以圖③為例，加以說(shuō)明；(3)把三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E從C點(diǎn)沿射線(xiàn)方向移動(dòng)，是否構(gòu)成等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2023·山東菏澤·二模）【課本再現(xiàn)】(1)如圖1，正方形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O