第十講二次函數(shù)--將軍飲馬求最值（平移）

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一平移.....................................................................................................................................................1

考點(diǎn)二平移+對(duì)稱...........................................................................................................................................4

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m

上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)

P、Q即為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：

過A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平

移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。

考點(diǎn)一平移

1．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，

拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋

物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．

第1頁(yè)共24頁(yè).

（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求CP+PQ+QB的最小值；

【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；

（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線的對(duì)稱軸l于Q，如圖：

∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，

∴四邊形CC'QP是平行四邊形，

∴CP＝C'Q，

∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，

∵B，Q，C'共線，

∴此時(shí)CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，

∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，

∴C'（0，3），

∵B（4，0），

第2頁(yè)共24頁(yè).

∴BC'＝＝5，

∴BC'+PQ＝5+1＝6，

∴CP+PQ+BQ最小值為6；

2．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)Q為拋物線y＝ax2+bx+c第四象限上的一點(diǎn)，若△ACQ與△ABC的面積相等，

求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，分別與x軸、直線y＝2

交于點(diǎn)K、N，連接MN、QK，探究MN+NK+QK是否存在最小值時(shí)，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)并直接寫出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)你說明理由．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式是：y＝a（x+1）?（x﹣4），

∴2＝a．（0+1）?（0﹣4），

∴a＝﹣，

∴y＝﹣（x+1）?（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）∵A（0，2），C（4，0），

∴直線AC的解析式是：y＝﹣，

作BQ∥AC交拋物線于Q，

∴BQ的解析式是：y＝﹣﹣，

由﹣＝﹣++2得，

x1＝﹣1，x2＝5，

第3頁(yè)共24頁(yè).

當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣＝﹣3，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，﹣3）；

（3）如圖，

MN+NK+QK存在最小值是2+，理由如下：

將點(diǎn)Q向上平移2個(gè)單位到點(diǎn)R，連接NR交y＝2于N，作NK⊥x軸，交拋物線于P，

∵M(jìn)（，），R（5，﹣1），

∴直線MR的解析式是：y＝﹣+，

當(dāng)y＝2時(shí)，

﹣+＝2，

∴x＝，

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，

∴（MN+NK+QK）最?。?+＝2+．

考點(diǎn)二平移+對(duì)稱

3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，0），O（0，0），B（0，

4），把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD．

（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），且EF＝1，使四邊形ACEF

的周長(zhǎng)最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

第4頁(yè)共24頁(yè).

【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），

（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，

由題意，得，

解得，b＝1，c＝4，

∴所求拋物線的解析式為；

（3）只需求AF+CE最短，

拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，

將點(diǎn)A向上平移至A1（﹣2，1），則AF＝A1E，

作A1關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)A2（4，1），

連接A2C，A2C與對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，E為所求，

可求得A2C的解析式為，

當(dāng)x＝1時(shí)，，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．

第5頁(yè)共24頁(yè).

4．已知：拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），C（0，4），點(diǎn)B為拋物線

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝2，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC

周長(zhǎng)的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）把A（﹣2，0），C（0，4）分別代入y＝﹣x2+bx+c得，

解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4；

2

（Ⅱ）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，

∴B（6，0），

設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，

把B（6，0），C（0，4）分別代入得，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

過P點(diǎn)作PQ∥y軸交BC于Q，如圖，

設(shè)P（t，﹣t2+t+4），則Q（t，﹣t+4），

第6頁(yè)共24頁(yè).

∴PQ＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，

2

∴S△PBC＝×6×PQ＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）+9，

當(dāng)t＝3時(shí)，S△PBC的值最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；

（Ⅲ）取OC的中點(diǎn)D，連接BD交直線x＝2于點(diǎn)M，如圖，則D（0，2），

∵M(jìn)N∥CD，MN＝CD＝2，

∴四邊形CDMN為平行四邊形，

∴DM＝CN，

∵M(jìn)A＝MB，

∴CN+AM＝DM+BM＝BD，

∴此時(shí)四邊形AMNC周長(zhǎng)最小，

∵BD＝＝2，AC＝＝2，

∴四邊形AMNC周長(zhǎng)的最小值為2+2+2．

5．如圖1，拋物線y＝﹣x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．

（1）求線段AC的長(zhǎng)；

（2）如圖2，E為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M、N為直線AC上的兩動(dòng)點(diǎn)

（M在N的左側(cè)），且MN＝4，作FP⊥AC于點(diǎn)P，F(xiàn)Q∥y軸交AC于點(diǎn)Q．當(dāng)△FPQ的面積最

大時(shí)，連接EF、EN、FM，求四邊形ENMF周長(zhǎng)的最小值．

第7頁(yè)共24頁(yè).

【解答】解：（1）由題意：A（﹣3，0），B（，0），C（0，3），

∴OA＝3，OC＝3，

∴AC＝＝6．

（2）如圖2﹣1中，延長(zhǎng)FQ交OA于D．設(shè)F（m，﹣m2﹣m+3），

∵tan∠CAO＝＝，

∴∠CAO＝30°，∵FQ∥y軸，F(xiàn)P⊥AC，

∴∠ADQ＝∠FPQ＝90°，

∴∠AQD＝∠FQP＝60°，

∴當(dāng)FQ最大時(shí)，△FPQ的面積最大，

∵直線AC的解析式為y＝x+3，

∴Q（m，m+3），

∴FQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，

∵﹣＜0，

∴m＝﹣，F(xiàn)Q的值最大，即△PFQ的面積最大，此時(shí)F（﹣，），

如圖2﹣2中，作FF′∥AC，使得FF′＝MN＝4，作點(diǎn)F′關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F″，連接

第8頁(yè)共24頁(yè).

EF″交直線AC于點(diǎn)M，連接FM，EN，EF，此時(shí)四邊形ENMF的周長(zhǎng)最短．

由題意點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)F′（，），

∵F″與F′關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴F″（，），

∴M（，），N（，），

∵拋物線頂點(diǎn)E（﹣，4），

∴FM＝＝，EN＝＝

，EF＝＝，

∴四邊形ENMF的周長(zhǎng)的最小值為4+++．

6．如圖1，拋物線y＝x與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C，

連AC，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)D作DE∥AC交拋物線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)

P．

（1）點(diǎn)F是直線AC下方拋物線上點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，連DF交AC于點(diǎn)G，連EG，當(dāng)△EFG的面積的

最大值時(shí)，直線DE上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)N，滿足MN⊥AC，連GM，NO，求

GM+MN+NO的最小值；

第9頁(yè)共24頁(yè).

【解答】解：（1）如圖1中，作FH∥y軸交DE于H．設(shè)F（m，m2+m+2）．

由題意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），

∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣4，C，D關(guān)于直線x＝﹣4對(duì)稱，

∴D（﹣8，2），

∴直線AC的解析式為y＝x+2，

∵DE∥AC，

∴直線DE的解析式為y＝x+，

由，解得或，

∴E（2，），H（m，m+），

∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面積為定值，

∴△DEF的面積最大時(shí)，△EFG的面積最大，

∵FH的值最大時(shí)，△DEF的面積最大，

∴FH的值最大時(shí)，△EFG的面積最大，

第10頁(yè)共24頁(yè).

∵FH＝﹣m2﹣m+，

∵a＜0．開口向下，

∴x＝﹣3時(shí)，F(xiàn)H的值最大，此時(shí)F（﹣3，﹣）．

如圖2中，作點(diǎn)G關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)T，TG交DE于R，連接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，

連接TM，GM，此時(shí)GM+MN+ON的值最?。?/p>

∵直線DF的解析式為：y＝﹣x﹣2，

由，

解得，

∴G（﹣，），

∵TG⊥AC，

∴直線GR的解析式為y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴R（﹣，），

∴RG＝4，OR＝，

第11頁(yè)共24頁(yè).

∵GM＝TM＝RN，

∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．

∴GM+MN+NO的最小值為4+．

7．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左

側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，且3OC＝4OB，對(duì)稱軸為直線x＝，點(diǎn)

，連接CE交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，連接AF交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式和直線CE的解析式；

（2）如圖②，過E作EP⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)QG+QB最小

時(shí)，線段MN在線段CE上移動(dòng)，點(diǎn)M在點(diǎn)N上方，且MN＝，請(qǐng)求出四邊形PQMN周長(zhǎng)

最小時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；

【解答】解：（1）由題意C（0，4），

∴OC＝，

∵3OC＝4OB，

∴OB＝3，

∴B（3，0），

∵拋物線的對(duì)稱軸x＝，

∴A（﹣，0），

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．

第12頁(yè)共24頁(yè).

設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線CE的解析式為y＝﹣2x+4．

（2）如圖1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），

∴直線AF的解析式為y＝x+，

由，解得或，

∴G（，），

∵QH∥CO，BC＝＝5，

∴＝，

∴QH＝BQ，

∴GQ+BQ＝GQ+QH，

∴當(dāng)G、Q、H三點(diǎn)共線時(shí)，GQ+BQ的值最小，最小值為，此時(shí)Q（，）．

如圖2中，將點(diǎn)Q沿CE方向平移個(gè)單位得到Q′，作點(diǎn)Q′關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)Q″，

連接PQ″交直線CE于M，此時(shí)四邊形PQNM的周長(zhǎng)最?。?/p>

第13頁(yè)共24頁(yè).

易知Q′（，2），Q″（，），

∵P（2，4），

∴直線PQ″的解析式為y＝x+，

由，解得，

∴M（，），

∵M(jìn)N＝，可得N（，），

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為．

8．如圖，拋物線y＝x2+x﹣交x軸于點(diǎn)A、B．交y軸于點(diǎn)C．

（1）求直線AC的解析式，

（2）若P為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、CP，以PC為對(duì)角線作平行四邊形ACDP，

當(dāng)平行四邊形ACDP面積最大時(shí)，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，此時(shí)線段MN在直線AQ上滑動(dòng)

（M在N的左側(cè)），MN＝，連接BN，PM，求BN+NM+MP的最小值及平行四邊形ACDP的

最大面積；

第14頁(yè)共24頁(yè).

【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+x﹣＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣

∴C（0，﹣），

設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，

∴解得：

∴直線AC解析式為y＝﹣x﹣；

（2）設(shè)與AC平行的直線解析式為y＝﹣x+h，

聯(lián)立y＝x2+x﹣與y＝﹣x+h，

當(dāng)Δ＝0時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離最大，

∴7+h＝0，

∴h＝﹣，

∴y＝﹣x﹣，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣），

此時(shí)平行四邊形ACDP面積最大；

S四邊形ACDP＝2S△ACP＝2（S梯形AEFC﹣S△AEP﹣S△FCP）＝2××（+）﹣2×

﹣2×＝﹣；

點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，C（0，﹣），

第15頁(yè)共24頁(yè).

∴Q（0，），

則AQ的直線解析式為y＝x+，

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AQ的對(duì)稱點(diǎn)為B'（a，b），

∴，

∴，

∴B'（﹣1，2），

過點(diǎn)B'作MN的平行線，過M作B'N的平行線，兩線相交于點(diǎn)B''，

過點(diǎn)B''作x軸平行線，過點(diǎn)B'作y軸平行線，相交于點(diǎn)G，

∴MN＝B''B'，

∵直線AQ與x軸的夾角為30°，

∴∠B''GB'＝30°，

∴B''G＝，B'G＝，

∴B''（﹣，），

當(dāng)B''，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，BN+NM+MP的值最小，

∴BN+NM+MP＝B''P+NM，

∵B''P＝，

∴BN+NM+MP的最小值為+；

9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，

C（4，﹣5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AD

的最小值；

第16頁(yè)共24頁(yè).

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，C（4，﹣5），

∴AD＝AB＝5，B（4，0），

∴OA＝1，

∴A（﹣1，0），

將點(diǎn)A，C代入y＝﹣x2+bx+c，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）連接OC，交對(duì)稱軸x＝1于點(diǎn)Q，

∵PQ⊥y軸，

∴AO∥PQ，

∵AO＝PQ＝1，

∴四邊形AOQP是平行四邊形，

∴AP＝OQ，

∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ

若使EQ+PQ+AP值為最小，則EQ+OQ的值為最小，

∵E，C關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，

∴EQ＝CQ，

∴EQ+OQ＝CQ+OQ，

此時(shí)EQ+OQ的值最小，最小值為線段OC長(zhǎng)，

∵C（4，﹣5），

第17頁(yè)共24頁(yè).

∴，

∴EQ+PQ+AP的最小值為，

即EQ+PQ+AP的最小值為；

10．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

點(diǎn)D為頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，AE與y軸交F．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)D和F的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M、N是拋物線對(duì)稱軸上兩點(diǎn)，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，

C，M，N四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小，若存在，求出這個(gè)周長(zhǎng)最小值，并求出a的值；

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣2）2﹣8，

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（2，﹣8），

由題意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），

設(shè)直線AE解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線AE解析式為y＝﹣x﹣2，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)（0，﹣2）．

（2）如圖1中，作點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接FF′交對(duì)稱軸于G，在CF上取一點(diǎn)C′，

使得CC′＝，連接C′F′與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，此時(shí)四邊形CMNF周長(zhǎng)最?。?/p>

第18頁(yè)共24頁(yè).

∵四邊形CMNF的周長(zhǎng)＝CF+NM+CM+FN＝5+CM+NF，CM+NF＝C′N+NF＝C′N+NF′＝

C′F′（兩點(diǎn)之間線段最短），

∴此時(shí)四邊形CMNF的周長(zhǎng)最?。?/p>

∵C′F＝3

∴GN＝C′F＝，

∴﹣（a+）＝2+，

∴a＝﹣，

∵C′F′＝＝5，

∴四邊形CMNF的周長(zhǎng)最小值＝5+5＝10．

11．如圖，過點(diǎn)A（5，）的拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸是直線x＝2，點(diǎn)B是拋物線與x軸的一

個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求a、b的值；

（2）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求△OBC的面積；

（3）設(shè)點(diǎn)P在直線OA下方且在拋物線y＝ax2+bx上，點(diǎn)M、N在拋物線的對(duì)稱軸上（點(diǎn)M在

點(diǎn)N的上方），且MN＝2，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線OA于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ最大時(shí)，請(qǐng)直接寫

出四邊形BQMN的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)．

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【解答】解：（1）∵過點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx的對(duì)稱軸是直線x＝2，

∴

解之，得；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，m）．由（1）可得拋物線，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，﹣3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0）．

當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，有BC2+BD2＝CD2．

∴，

解之，得，

∴；

當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，有CD2+BD2＝BC2．

∴，

解之，得，

∴；

當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，有CD2+BC2＝BD2．

∴，此方程無解．

綜上所述，當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí)，△OBC的面積是或；

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（3）設(shè)直線y＝kx過點(diǎn)，可得直線．

由（1）可得拋物線，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，PQ最大，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)是．

∴PQ最大時(shí)，線段BQ為定長(zhǎng)．

∵M(jìn)N＝2，

∴要使四邊形BQMN的周長(zhǎng)最小，只需QM+BN最?。?/p>

將點(diǎn)Q向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的

對(duì)稱點(diǎn)，直線BQ2與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)N，此時(shí)四邊形BQMN的周

長(zhǎng)最小．

設(shè)直線y＝cx+d過點(diǎn)和點(diǎn)B（4，0），

則

解之，得

∴直線過點(diǎn)Q2和點(diǎn)B．

解方程組得

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∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為