PAGE1專題12線段上的動點與幾何圖形動角的探究問題線段中動點問題多解題1．（23-24七年級上·江西九江·期末）已知點M是線段上一點，若，點N是直線上的一動點，且，則．【答案】1或【知識點】與線段有關的動點問題、線段的和與差【分析】分兩種情況：當點N在線段上，當點N在線段的延長線上，然后分別進行計算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當點N在線段上，如圖：

，，，，，，；當點N在線段AB的延長線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，分兩種情況進行計算是解題的關鍵．2．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）在數(shù)軸上，O為原點，點A對應的數(shù)為3，點B在點A的左側，且．動點M從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，動點N從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動．設運動時間為t秒，當點O，M，N中，其中一點正好位于另外兩點所確定線段的中點時，t的值為．【答案】或33【知識點】線段中點的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)、數(shù)軸上的動點問題【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸，由點，之間的關系，可得出點對應的數(shù)為，當運動時間為秒時，動點對應的數(shù)為，動點對應的數(shù)為，分點是線段的中點及點是線段的中點兩種情況考慮（由點在點，的右邊，可得出只有這兩種情況），根據(jù)中點到另外兩點的距離相等，可列出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．【詳解】解：∵點對應的數(shù)為3，點在點的左側，且，∴點對應的數(shù)為．當運動時間為秒時，動點對應的數(shù)為，動點N對應的數(shù)為．當點是線段的中點，即時，，解得：；當點是線段的中點，即時，，解得：．綜上所述，的值為或33．故答案為：或33．3．（22-23七年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，已知點、點是直線上的兩點，厘米，點在線段上，且厘米．點、點是直線上的兩個動點，點的速度為1厘米/秒，點的速度為2厘米/秒．點、分別從點、點同時出發(fā)在直線上運動，則經過秒時線段的長為6厘米．【答案】3或9或1【知識點】線段的和與差、兩點間的距離【分析】分四種情況：（1）點P、Q都向右運動；（2）點P、Q都向左運動；（3）點P向左運動，點Q向右運動；（4）點P向右運動，點Q向左運動；求出經過多少秒時線段的長為6厘米即可．【詳解】解：（1）點P、Q都向右運動時，（秒）；（2）點P、Q都向左運動時，（秒）；（3）點P向左運動，點Q向右運動時，（秒）；（4）點P向右運動，點Q向左運動時，（秒）．∴經過3或9或1秒時線段的長為6厘米．故答案為：3或9或1．【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及分類討論思想的應用，要熟練掌握．4．（21-22七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，點，，在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，1，9．它們分別以每秒2個單位長度、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左做勻速運動，設同時運動的時間為秒．若，，三點中，有一點恰為另外兩點所連線段的中點，則的值為．【答案】1或4或16．【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、幾何問題(一元一次方程的應用)、與線段有關的動點問題【分析】當運動時間為t秒時，點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為-2t-3，點B在數(shù)軸上對應的數(shù)為-t+1，點C在效軸上對應的數(shù)為-4t+9，然后分三種情況：點B為線段AC的中點、點C為線段AB的中點及點A為線段CB的中點，找出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：根據(jù)題意得：當運動時間為t秒時，點A始終在點B的左側，點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為-2t-3，點B在數(shù)軸上對應的數(shù)為-t+1，點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為-4t+9，當點B為線段AC的中點時，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；當點C為線段AB的中點時，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；當點A為線段CB的中點時，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t=16.故答案為：1或4或16．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．角中動態(tài)問題多解題1．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，將直角三角板的直角頂點落在直線上，射線平分，，將三角板繞點旋轉（旋轉過程中與均指大于且小于的角）將三角板繞點旋轉一周，的度數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】或【知識點】三角板中角度計算問題、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，分在上方和下方兩種情況解答：先求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，結合三角板的度數(shù)計算即可求解，根據(jù)題意，運用分類討論思想進行解答是解題的關鍵．【詳解】解：當在上方時，如圖，∵，，∴，，∵平分，∴，∴；當在下方時，如圖，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；∴的度數(shù)為或，故答案為：或．2．（23-24七年級上·山東青島·期末）如圖，平分．現(xiàn)有射線分別從同時出發(fā)，以每秒和每秒的速度繞點順時針旋轉，當旋轉一周時，這兩條射線都停止旋轉，則經過秒后，射線的夾角為．【答案】8或20【知識點】幾何圖形中角度計算問題、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計算，一元一次方程的應用．分，相遇之前與相遇之后分別討論，求出結果即可．【詳解】解：∵，平分，∴，設經過秒后，射線、的夾角為，∴或，解得：或．∵射線、分別從、同時出發(fā)，以每秒和每秒的速度繞點順時針旋轉，當旋轉一周時，這兩條射線都停止旋轉，∴，∴，∴經過秒或秒后，射線、的夾角為．故答案為：8或20．3．（23-24七年級上·河南南陽·期末）【動手操作】如圖，為直線上一點，作射線使．將一個直角三角板按圖1所示的方式擺放，直角頂點在點處，一條直角邊在射線上．將圖1中的三角板繞點以每秒的速度按逆時針方向旋轉一周，如圖2所示．當所在直線恰好平分時，旋轉時間為秒．【答案】4或10/10或4【知識點】角平分線的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據(jù)角平分線定義、平角的定義，列出方程是解答本題的關鍵．由平角的定義可得，然后根據(jù)角平分線的定義列出方程求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵所在直線平分，∴或．∵圖1中的三角板繞點以每秒的速度按逆時針方向旋轉，∴或，解得：或．故答案為：4或10．4．（22-23七年級上·江蘇無錫·期末）如圖，若，，，射線繞點O以每秒逆時針旋轉，射線繞點O以每秒順時針旋轉，射線繞點O每秒順時針旋轉，三條射線同時旋轉，當一條射線與直線重合時，三條射線同時停止運動，運動秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線．【答案】或或8【知識點】角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了角平分線的定義，一元一次方程的應用，角度的計算，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．由題意可得，在旋轉過程中，，，，根據(jù)角平分線的定義分四種情況討論，分別解方程求解即可．【詳解】解：設經過的時間為x秒，，，，在旋轉過程中，，，，令，，解得：，．即當時，三條射線停止運動．①當為、夾角的角平分線時，．，解得：，此時，不合題意；②當為、夾角的角平分線時，．，解得：；③當為、夾角的角平分線時，．解得：；④當為、夾角的角平分線時，．解得：；綜上可知，運動或或秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線，故答案為：或或8．線段上動點求時間問題1．（23-24七年級上·福建三明·期末）【知識準備】若數(shù)軸上兩點所表示的數(shù)分別為，點為線段的中點，則有兩點之間的距離，線段的中點所對的數(shù)為．（1）若，則______，______；【問題探究】在（1）的條件下，若點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動．設運動時間為．（2）為何值時，中點所對應的數(shù)為3？（3）為何值時，兩點相距4個單位長度？【答案】（1）；（2）為5時，中點所對應的數(shù)為3；（3）為或時，兩點相距4個單位長度【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、絕對值非負性、線段中點的有關計算【分析】本題考查數(shù)軸綜合問題，涉及非負式性質、非負式和為零成立的條件、數(shù)軸上線段中點坐標求法及兩點之間距離表示等知識，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離及線段中點表示方法是解決問題的關鍵．（1）利用非負數(shù)性質及非負式和為零成立的條件解方程即可得到答案；（2）根據(jù)運動速度表示出，再由線段中點坐標表示列方程求解即可得到答案；（3）根據(jù)運動速度表示出，再由數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法，分情況列方程求解即可得到答案．【詳解】解：（1），且，，且，解得，故答案為：；（2）設運動時間為，則表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，中點所對應的數(shù)為3，，解得；（3）設運動時間為，則表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，兩點相距4個單位長度，分兩種情況討論如下：①當相遇前，，解得；②當相遇后，，解得；綜上所述，當為或時，兩點相距4個單位長度．2．（23-24七年級上·陜西商洛·期末）如圖，點C是線段上一點，，，點P從點A處出發(fā)，以的速度沿向右運動，終點為點B處；點Q從點B處出發(fā)，以的速度沿向左運動，終點為點A處．已知點P和點Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P的運動時間為．(1)當點P運動到點C處時，線段的長度為__________；(2)當P，Q兩點重合時，求t的值；(3)是否存在某一時刻，使得C，P，Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點？若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)值為4或7或．【知識點】線段中點的有關計算、行程問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了一元一次方程在線段上動點問題中的應用，線段的中點，能根據(jù)不同的中點進行分類討論是解題的關鍵．（1）先求出當點P運動到點C處時，所用時間，再求出點Q移動的路程即可解答；（2）當、兩點重合時，、兩點運動的距離之和為線段的長；（3）分類討論：①當點是線段的中點時，②當點是線段的中點時，③當點是線段的中點時．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為，（2）解：由題意可得：，，當、重合時，，解得：；（3）由題意可得：，①當點是線段的中點時，，解得：；②當點是線段的中點時，，解得：；③當點是線段的中點時，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．3．（23-24七年級上·陜西西安·期末）如圖，已知線段，點以每秒的速度從點沿向點運動，經過1秒后點以每秒的速度從點沿向點運動，當點到達點時，、同時停止運動，設點運動的時間為秒．(1)當時，求線段的長度；(2)當為何值時，線段的長為？(3)當為何值時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點？【答案】(1)(2)當為6或時，線段的長；(3)當為6，或時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點．【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查的是線段的和差運算，一元一次方程的應用，理解題意，清晰的分類討論是解本題的關鍵．（1）先求解當時，，，再利用線段的和差運算即可得到答案；（2）利用線段的和差關系建立方程求解即可；（3）分三種情況：當點為的中點時，當點為的中點時，當點為的中點時，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當時，，，∴．（2）由題意，，，當點在點左側時，，解得；當點在點右側時，，解得．綜上所述，當為6或時，線段的長．（3）當點為的中點時，，解得；當點為的中點時，，解得；當點為的中點時，，解得．綜上所述，當為6，或時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點．線段上動點定值問題1．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）在數(shù)軸上點A，，所表示的數(shù)分別是，6，．(1)求的長；(2)若點是的中點，用含的代數(shù)式表示的長；(3)若點以每秒5個單位的速度向左運動，同時，點以每秒20個單位的速度向右運動，點從原點開始以每秒1個單位的速度向右運動，記的中點為，的中點為，試通過計算說明的結果是定值．【答案】(1)8(2)當時，；當時，．(3)是定值，理由見解析【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、線段中點的有關計算【分析】本題考查列代數(shù)式及數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點之間距離的計算公式是解題的關鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離的計算公式即可解決問題．（2）對點與點的位置進行分類討論即可解決問題．（3）設運動時間為，用含有的代數(shù)式分別表示出及的長即可解決問題．【詳解】（1）解：因為點，所表示的數(shù)分別是，6，所以．（2）解：因為點是的中點，所以，則點表示的數(shù)是2．當時，．當時，．（3）解：設運動的時間為，則點運動后對應點所表示的數(shù)為，點運動后對應點所表示的數(shù)為，點運動后對應點所表示的數(shù)為，因為的中點為，所以點所表示的數(shù)為．因為中點為，所以點所表示的數(shù)為，所以，，，所以．2．（23-24七年級上·北京·期末）如圖，線段，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線運動，M為的中點．(1)出發(fā)多少秒后，？(2)當P在線段上運動時，試說明為定值．(3)當P在延長線上運動時，N為的中點，下列兩個結論：長度不變；的值不變．選擇一個正確的結論，并求出其值．【答案】(1)出發(fā)6秒后；(2)，理由見解析；(3)選，，理由見解析．【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查了兩點間的距離，解答本題的關鍵是用含時間的式子表示出各線段的長度．（1）分兩種情況討論，點P在點B左邊，點P在點B右邊，分別求出t的值即可．（2），，，表示出后，化簡即可得出結論．（3），，，，分別表示出，的長度，即可作出判斷．【詳解】（1）解：設出發(fā)x秒后，當點P在點B左邊時，，，，由題意得，，解得：；當點P在點B右邊時，，，，由題意得：，方程無解；綜上可得：出發(fā)6秒后．（2）解：，，，；（3）解：選；，，，，定值；變化．3．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）直線l上依次排列點A，B，C，D，已知，，點E是線段的中點，點F是線段的中點．

(1)如圖1，當點B與點C重合時，求線段的長．(2)如圖2，當線段從圖1位置沿直線l向右運動時，的值是否為定值？若是定值，請求出的值；若不是定值，請說明理由；(3)當線段從圖1位置沿直線l向右平移a個單位長度時，若滿足，則求a的值．【答案】(1)7(2)是定值，3(3)3【知識點】線段中點的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查與線段中點有關的計算，正確的識圖，理清線段之間的和差關系，是解題的關鍵．（1）根據(jù)中點的性質，求出的長，進而求出的長即可；（2）設的長為，根據(jù)線段的和與差，以及中點的性質，表示出的長，即可得出結論；（3）根據(jù)線段之間的和差關系，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：當點B與點C重合時，則：，，∵點E是線段的中點，點F是線段的中點，∴，∴；（2）是定值；設的長為，則：，∵點E是線段的中點，點F是線段的中點，∴，∴，為定值．（3）由題意，得：，∴，∵點E是線段的中點，點F是線段的中點，∴，∴，∵，∴，∴．4．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【背景知識】數(shù)軸是重要的數(shù)學學習工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結合．已知結論：數(shù)軸上點表示的數(shù)分別為，則兩點之間的距離；線段的中點表示的數(shù)為．【知識運用】（）點表示的數(shù)分別為，若與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)．則兩點之間的距離為______；線段的中點表示的數(shù)為______．【拓展遷移】（）在（）的條件下，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，點是線段的中點．①點表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；②在運動過程中，點中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間；③線段的長度隨時間的變化而變化，當點在點左側時，是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求常數(shù)及該定值；若不存在，請說明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此時定值．【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、線段中點的有關計算【分析】（）根據(jù)題意，求出，再根據(jù)結論解答即可求解；（）根據(jù)題意，表示出秒后點表示的數(shù)，再根據(jù)線段中點計算公式求解即可；根據(jù)線段中點計算公式分三種情況解答即可求解；根據(jù)兩點之間的距離公式求出，得到，當時即可求出常數(shù)的值，進而求出定值．【詳解】解：（）∵與互為倒數(shù)，與互為相反數(shù)，∴，，∴；線段的中點表示的數(shù)為；故答案為：；；（）秒后，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∵點是線段的中點，∴點表示的數(shù)是，故答案為：；當點為中點時，則，解得，不合，舍去；當點為中點時，則，解得；當點為中點時，則，解得；∴運動時間的值為或；當點在點左側時，，，∴，當時，∴，此時，定值．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算公式，線段中點計算公式，掌握兩點間的距離計算公式和線段中點計算公式是解題的關鍵．幾何圖形中動角定值問題1．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖1，點O在直線上，射線、在直線上方，，．

(1)若，請說明射線是的角平分線；(2)射線在直線上方，平分，，①當時，求的度數(shù)②當時，是否存在常數(shù)k使得的值為定值？若存在，請求出常數(shù)k的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①或；②存在；時，為定值【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】（1）先求出，根據(jù)，求出，求出，得出，即可證明結論；（2）①分兩種情況：當在左側時，當在左側時，分別畫出圖形，求出結果即可；②根據(jù)，，得出一定在內部，得出，，表示出，得出結果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴射線是的角平分線．（2）解：設度，則度，，①當在左側時，如圖所示：

則，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴；當在左側時，如圖所示：

，∴，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴；綜上分析可知，或；②存在；∵，，∴一定在內部，如圖所示：

∵，，又∵平分，∴，∵，，∴，∴當，即時，為定值．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，角的倍數(shù)關系，一元一次方程的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，注意進行分類討論．2．（23-24七年級上·福建福州·期末）點O在直線上，在直線的下方作射線、，滿足（其中），將射線繞著點O逆時針旋轉得到射線．(1)①如圖1，當時，直接寫出的度數(shù)_____；②若比大，求出的值；(2)如圖2，若，射線從開始繞著O點以的速度逆時針旋轉至結束，設旋轉時間為t，射線是由射線繞O點逆時針旋轉得到，作射線平分，當為定值時，求t的取值范圍及對應的定值．【答案】(1)①；②或或(2)當時，，是定值【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，一元一次方程的應用：（1）①根據(jù)題意并結合圖形可得，代入數(shù)據(jù)計算即可；②分當，當時，當時，當時，四種情況畫出圖形討論求解即可；（2）分當時，當時，兩種情況畫出圖形分別求出即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵將射線繞著點逆時針旋轉得到射線，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為，故答案為：；②當，∵將射線繞著點逆時針旋轉得到射線，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；當時，∵將射線繞著點逆時針旋轉得到射線，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；當時，此時，不符合題意；當時，∵將射線繞著點逆時針旋轉得到射線，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；綜上所述，的值為或或；（2）解：①當時，如圖，∵射線從開始繞著點以每秒的速度逆時針旋轉，射線平分，射線繞著點逆時針旋轉得到射線，∴，，，∴，，∴，∴，不是定值；當時，∵射線從開始繞著點以每秒的速度逆時針旋轉，射線平分，射線繞著點逆時針旋轉得到射線，∴，，，∴，，∴，∴，是定值；綜上所述，當時，，是定值．3．（23-24七年級上·福建三明·期末）已知，，平分，平分．(1)如圖1，當、重合時，求的度數(shù)；(2)按以下條件探究：探究一：從圖1所示位置繞點順時針旋轉到圖2位置，的值是否為定值?若是定值，請求出這個值；若不是，請說明理由；探究二：當從圖1所示位置繞點逆時針旋轉時，是否存在，使得?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)探究一：的值是定值；探究二：【知識點】角平分線的有關計算、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查的是角平分線的有關計算和角的和差計算，正確理解題意和角平分線的定義是解題關鍵，（1）根據(jù)角平分線的定義得，即可解出；（2）探究一：設，則，，求出值即可；探究二：先用含n的式子分別表示，再根據(jù)等式列方程并解方程即可解決．【詳解】（1）解：當、重合時，，.，∵平分，∴.，∵平分，∴.，∴.；（2）解：探究一：的值是定值，理由如下：設，則，，∵平分，∴.，∵平分，∴.，∴，∴的值是定值；探究二：如圖3，當時，，，，∴，∵平分，∴.∵平分，∴，∴.∵，∴，解得：，符合題意，∴．幾何圖形中動角數(shù)量關系問題1．（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三點在同一直線上．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線，分別從，位置開始，同時繞點以每秒的速度順時針勻速旋轉，平分，平分，設旋轉的時間為秒．①當時，的度數(shù)是否等于一個定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；②當為何值時，？【答案】(1)；(2)①是，；②6秒或30秒．【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了結合圖形中角度的計算，角平分線的定義，一元一次方程的應用；（1）根據(jù)三角形是等腰直角三角形，，得出，進而即可求解；（2）①當時，，．根據(jù)角平分線的定義可得，，進而求得，根據(jù)即可求解；②當時，由①可得，，．分別求得，根據(jù)建立方程，當時，同理可得，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，，．．（2）①的度數(shù)是等于一個定值為，理由如下．，旋轉速度相同，設，當時，則，．平分，．平分，．．．②當時，由①可得，，．．當時，則，解得．秒．

當時，，旋轉速度相同，設，，，．平分，．平分，．．．當時，則，解得．．綜上，秒或30秒時，．

2．（23-24七年級上·貴州黔西·期末）如圖，大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂樂想從數(shù)學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做得更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行討論，如圖，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為，兩點，兩腳腳跟位置分別為，兩點，定義，，，平面內為定點，將手腳運動看作繞點進行旋轉：

(1)填空：如圖，，，三點共線，且，則______°；(2)第三節(jié)腿部運動中，如圖，洋洋發(fā)現(xiàn)，雖然，，三點共線，卻不在水平方向上，且，他經過計算發(fā)現(xiàn)，的值為定值，請判斷洋洋的發(fā)現(xiàn)是否正確，如果正確請求出這個定值，如果不正確，請說明理由；(3)第四節(jié)體側運動中，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開且，開始運動前、、三點在同一水平線上，、繞點順時針旋轉，旋轉速度為，旋轉速度為，當旋轉到與重合時，運動停止，如圖．運動停止時，直接寫出______；請幫助樂樂求解運動過程中與的數(shù)量關系．【答案】(1)；(2)小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個定值是；(3)；當時，；當時，．【知識點】幾何圖形中角度計算問題【分析】（）由，，三點共線，可得出，再由，即可求出；（）由，設，則，分別求出，，再代入即可求解；（）算出運動停止時間，求出運動的角度，進而求出度數(shù)；由的運動過程可知，需要分類討論，在點，，三點共線前和點，，三點共線后，分別求解即可；本題考查了角的和差運算，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)圖中角之間的和差關系．【詳解】（1）如圖，∵，，三點共線，∴，∵，∴，故答案為：；（2）小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個定值是，理由，如圖，∵，設，則，∴，，∴，∴小田的發(fā)現(xiàn)是正確的，這個定值是；（3）如圖，∵，∴，，設運動時間為，則，則，運動停止時，即時，如圖，旋轉的角度為，∴，故答案為：；當點，，三點共線時，；∴當時，，，∴；當時，，，∴，綜上，當時，；當時，．3．（23-24七年級上·浙江舟山·期末）已知是直線上的一點，是直角，平分．【猜想】如圖1，當?shù)膬蛇呍谥本€同側時，小明通過實驗測量得到與的相關數(shù)量，如下表：猜想與的數(shù)量關系．【探究】小明將圖1中的繞頂點順時針旋轉至圖2的位置．探究和的數(shù)量關系是否符合【猜想】中的結論，并說明理由．【拓展】將圖1中的邊與重合的位置開始，繞頂點順時針旋轉，旋轉的速度為每秒10度，旋轉時間秒（），為的角平分線，當時，求的值．

【答案】猜想：；探究：符合，理由見解析；拓展：的值為3或15【知識點】角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】猜想：由角平分線的定義結合角的和差運算可得，而，從而可得結論；探究：設，則，由角平分線可得，再結合角的和差運算可得結論；拓展：分兩種情況討論：①當時，，則，②當時，，則，再建立方程求解即可．【詳解】解：猜想：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，探究：符合，理由如下：如圖，

設，則，∵平分，∴，∵，∴，∴，拓展：①當時，，則，

∵為的角平分線，，∴，∵平分，∴，∴，∴，②當時，，則，

∵為的角平分線，，∴，∵平分，∴，∴，∴．綜上所述，的值為3或15．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，角的和差運算，一元一次方程的應用，熟練的利用方程解決問題是解本題的關鍵．4．（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）【思路導引】幾何圖形的運動中伴隨著一定的圖形位置、數(shù)量關系的“變”與“不變”．遇這類問題的分析思路是：了解圖形運動的全過程，“動中見靜”，尋找運動變化的過程中不變性及變化規(guī)律．如“角”，可以看成是由一條射線繞它的端點旋轉而成的．【問題情境】已知：是由射線繞點O旋轉而成，始邊與終邊所成的角的度數(shù)為α（α為銳角），射線，繞點O運動．【特例感知】（1）如圖1，射線是的角平分線，若，求∠AOE的度數(shù)；（2）如圖2，射線OE在的內部時，射線平分，射線平分，求的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【探索發(fā)現(xiàn)】（3）射線、射線繞點O運動到直線上方，且射線與射線在射線的兩側，的度數(shù)為，射線在的內部，的度數(shù)為m，平分，求的度數(shù)．（用含m，n，α的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）或或．【知識點】角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，分類討論思想，觀察圖形得出角之間的數(shù)量關系是解題的關鍵。（1）根據(jù)角平分線的定義計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定得出，即可得出，從而求出的度數(shù)。（3）先求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)圖形分情況討論計算即可【詳解】解：（1）射線是的角平分線，，，，；（2）射線平分，射線平分∠BOE，，，；（3）如圖3，，，，平分，，，；如圖4，，，，平分，，，；如圖5，，，，平分，，，；綜上，的度數(shù)為或或．幾何圖形中動角求運動時間問題1．（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）如圖，點O在直線上，，把直角三角板按如圖位置放置，和重合．(1)求的度數(shù)．(2)把三角板繞點O逆時針旋轉，轉速是秒，求旋轉5秒時的度數(shù)．(3)在（2）的情況下，射線同時以秒的速度逆時針轉動，當和第一次重合停止轉動，求當時，時間t是多少？【答案】(1)(2)(3)或27【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、幾何圖形中角度計算問題【分析】本題考查的是幾何圖形中角的和差關系，角的動態(tài)定義的理解，一元一次方程的應用，“數(shù)形結合與利用一元一次方程解決動態(tài)幾何問題”是解本題的關鍵．（1）根據(jù)平角的概念求解即可；（2）根據(jù)題意列式求解即可；（3）根據(jù)題意分還沒追上和追上后兩種情況討論，然后分別列出一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：由題意得；（3）解：當還沒追上時，，解得；當追上后，，解得；綜上所述，或27．2．（23-24七年級上·江蘇南京·期末）如圖，，射線從開始，繞點以每分鐘的速度逆時針旋轉，射線從開始，繞點以每分鐘的速度逆時針旋轉，和同時旋轉，設旋轉時間為分鐘．(1)當為何值時，射線與重合；(2)當為何值時，射線；(3)若在射線與旋轉的過程中，射線同時繞著點以每分鐘的速度順時針旋轉，是否存在某個時刻，使射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)當為時，射線與重合(2)當為或時，(3)、或【知識點】角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題由角的邊的旋轉考查了角的和差運算，角平分線的定義；（1）當與重合時，根據(jù)角度關系可知，利用題中射線的旋轉速度，由角度時間旋轉速度，列出方程，求解即可得到射線與重合時的時間；（2）當時，可分為兩種情況，當位于的右邊時：；當位于左邊時：，列出對應的方程，求解即可；（3）分三種情況來考慮，當為角平分線時，當為角平分線時，當為角平分線時，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，解得，即當分鐘時，射線與重合；（2）當位于的右邊時：，則可得，解得分鐘；當位于左邊時：，則可得，解得分鐘；故當或時，∠；（3）存在，依題意，當為角平分線時：，則可得，解得分鐘；當為角平分線時：，則可得，解得分鐘；當為角平分線時：，則可得，解得分鐘故當或或分鐘時，射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線3．（23-24七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）游樂園的摩天輪深受學生們的喜愛，如圖1是某游樂園的摩天輪的結構圖，16個座艙均勻分布在圓形轉輪邊緣，摩天輪以固定的速度繞中心逆時針方向轉動，轉一周需要30分鐘．如圖2是摩天輪的主視圖，座艙與圓形轉輪邊緣的連接點按順時針依次標注為表示的是摩天輪的支架，且．(1)摩天輪每分鐘轉動____________°，____________°；(2)如圖2，在某一時刻，連接點轉動到的內部，此時．①求此時的的度數(shù)；②求當?shù)谝淮纹椒謺r，摩天輪的轉動時間以及此時的度數(shù)；③設摩天輪轉動的時間為t，在連接點到達到最高處前，是否存在的時刻？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)12；45(2)①；②轉動時間為，；③存在，t的值為或【知識點】角平分線的有關計算、實際問題中角度計算問題、幾何問題(一元一次方程的應用)【分析】本題考查角度的和差計算，一元一次方程的幾何應用，角平分線的相關計算等知識，理解各角之間的數(shù)量關系和正確表示出各角是解題的關鍵．（1）利用轉動一周的時間和周角的大小即可求出摩天輪每分鐘轉動的角度，根據(jù)周角平分成16份，而占其中的兩份即可得解；（2）①結合圖形，利用角度的和差關系即可得解；②作的角平分線交AB于，則，從而求出轉動的角度，繼而求出轉動時間，同時轉動的角度也是，從而求出；③用t表示出和，再利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：依題意得：摩天輪每分鐘轉動的角度是：，，故答案為：12；45；（2）①∵，，∴，又∵，∴；②作的角平分線交AB于，則，∴，即轉動的角度是，∴轉動時間為，轉動的角度也是，∴等于轉動的角度減去原來的角度，即；③存在，t的值為或，理由如下：∵是的角平分線，∴，∴，∴點到達到最高處時，時間為：，∴．依題意得：，，∵，即，解得：或，∴存在，t的值為或．線段與角中動態(tài)的新定義型問題1．（23-24七年級上·陜西漢中·期末）【問題背景】如圖1，已知射線在的內部，若，和三個角中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“量尺金線”．【問題感知】（1）一個角的平分線________這個角的“量尺金線”；（填“是”或“不是”）【問題初探】（2）如圖2，．若射線是的“量尺金線”，則的度數(shù)為________；【問題推廣】（3）在（2）中，若，，射線從位置開始，以每秒旋轉的速度繞點P按逆時針方向旋轉，當首次等于時停止旋轉，設旋轉的時間為．當t為何值時，射線是的“量尺金線”？（用含x的式子表示出t即可）【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；【知識點】角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題、列代數(shù)式【分析】本題主要考查新定義下的角的計算，幾何圖形中的角度計算，理解題意，列出相應的式子求解，是解題關鍵．（1）根據(jù)“量尺金線”的定義進行判斷即可；（2）根據(jù)“量尺金線”的定義分三種情況討論計算即可；（3）射線是的“量尺金線”，在的內部，在的外部，然后分三種情況求解即可．【詳解】解：（1）一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足“量尺金線”的定義，故答案為：是；（2），射線是的“量尺金線”，根據(jù)“量尺金線”的定義分三種情況討論：當時，如圖，∵，∴；當時，如圖，∵∴；當時，如圖，∵，∴；綜上：當為，，時，射線是的“量尺金線”．（3）∵射線是的“量尺金線”，∴在的內部，∴在的外部；分三種情況：①如圖，當時，如圖所示：∴，∴；②如圖，當時，如圖所示：∴，∴；③當時，如圖所示：∵，∴，∴；綜上：當t為或或時，射線是的“量尺金線”．2．（23-24七年級上·江西上饒·期末）如圖1，射線在的內部，圖中共有3個角：，和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“倍角線”．(1)一個角的平分線________這個角的“倍角線”；（填“是”或“不是”）(2)平面內，若射線繞點O從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉．當與首次成時停止旋轉，旋轉的時間為t秒．①如圖2，若，求當t為何值時，射線是的“倍角線”；②如圖3，若，射線同時從原的位置繞點O以每秒的速度逆時針旋轉并與同時停止，請直接寫出當射線是的“倍角線”時t的值．【答案】(1)是(2)①；②t為或10【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算【分析】本題考查了角的“倍角線”的定義，一元一次方程的應用，正確理解角的“倍角線”的定義、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義、角的“倍角線”的定義解答；（2）分、、三種情況，根據(jù)角的“倍角線”的定義解答；（3）仿照（2）的作法解答即可．【詳解】（1）如果平分，那么，∴一個角的平分線是這個角的“倍角線”，故答案為：是；（2）①由題意得：，當（或）時，，解得：；當時，，解得：；當時，，解得：；綜上所述：當時，射線是的“倍角線”；②當t為或10時，射線是的“倍角線”．由題意得：，，當時，，解得：；當時，，解得：；當時，，解得：（不合題意）；綜上所述：當t為或10時，射線是的“倍角線”．3．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【概念學習】點在線段上，若，則稱是點在線段上的“分點值”，記作．例如，如圖1，若，則點在線段上的“分點值”是，記作；若，則，故點在線段上的“分點值”是，記作．【理解與應用】(1)已知點在線段上．若，，則________；若，，則_________．(2)如圖2，線段，是線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以，的速度同時向點運動，運動的時間為，當其中一點到達點時，兩點都停止運動．①若點在上運動時，總有，求出的值；②若，則當為何值時，；③若時，，則___________．【答案】(1)；18(2)①；②；③或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段的和與差【分析】本題考查了一元一次方程的應用，線段的數(shù)量關系，解題關鍵在于理解新定義，根據(jù)新定義列出方程即可．