第2課時等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．掌握等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增．共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？解說：這是明朝著名數(shù)學(xué)家吳敬在《九章算法比類大全》中編寫的一道著名詩題，文字優(yōu)美，讀來瑯瑯上口，算來頗具趣味．題目的意思是有一座高大雄偉的寶塔，共有七層．每層都掛著紅紅的大燈籠，各層的盞數(shù)雖然不知道是多少，但知道從上到下的第二層開始，每層盞數(shù)都是上一層盞數(shù)的2倍，并知道總共有燈381盞．問：這個寶塔最上面一層有多少盞燈？[討論交流]

問題1．等比數(shù)列前n項和有哪些性質(zhì)？問題2．運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么？[自我感知]

經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)探究問題在等比數(shù)列{an}中，你能否用Sm，Sn來表示Sm＋n?[提示]

思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.

qnSm3．?dāng)?shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，____________仍構(gòu)成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q＝－1時除外)，公比是____．【教用·微提醒】

當(dāng)q＝－1且n為偶數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比數(shù)列；當(dāng)q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比數(shù)列．S3n－S2nqn【鏈接·教材例題】例9已知等比數(shù)列{an}的公比q≠－1，前n項和為Sn.證明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比．[證明]

當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，公比為1.

[典例講評]

1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(1)若Sn＝48，S2n＝60，求S3n的值；(2)若a1＝1，項數(shù)為偶數(shù)，且S奇＝85，S偶＝170，求公比與項數(shù)．

[母題探究]1．將本例(1)中的條件“Sn＝48，S2n＝60”改為“各項均為正項的等比數(shù)列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．

2．將本例(1)中條件“Sn＝48，S2n＝60”改為“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．

qS2nqS偶S2n＋1qn

√120

探究2等比數(shù)列前n項和的實(shí)際應(yīng)用【鏈接·教材例題】例12某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，….(1)寫出一個遞推公式，表示cn＋1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn＋1－k＝r(cn－k)的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求S10＝c1＋c2＋c3＋…＋c10的值(精確到1)．分析：(1)可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立cn＋1與cn的關(guān)系；(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式的形式，通過比較系數(shù)，得到方程組；(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答．

反思領(lǐng)悟

與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的實(shí)際問題解題方法(1)構(gòu)建數(shù)列模型．(2)根據(jù)題意將實(shí)際問題直接轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，或?qū)ふ疫f推公式，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．(3)利用等比數(shù)列前n項和公式進(jìn)行計算．

探究3等比數(shù)列的前n項和在幾何圖形中的應(yīng)用【鏈接·教材例題】例10如圖4.3-2，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．

(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近于多少？分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列．

[典例講評]

3．(源于北師大版教材)如圖所示，作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，求前n個內(nèi)切圓的面積和．

反思領(lǐng)悟

解決與等比數(shù)列前n項和公式有關(guān)問題時應(yīng)注意的問題(1)首先將題目問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題．(2)當(dāng)題中有多個數(shù)列出現(xiàn)時，既要研究單一數(shù)列項與項之間的關(guān)系，又要關(guān)注各數(shù)列之間的相互聯(lián)系．[學(xué)以致用]

3．如圖，畫一個邊長為2的正方形，再將此正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個正方形，以此類推，記第n個正方形的面積為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求{an}的通項公式及S2025.

243題號1應(yīng)用遷移√1．已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為1013，偶數(shù)項之和為2026，則這個數(shù)列的公比為(

)A．8

B．－2

C．4

D．2

23題號142．設(shè)數(shù)列{xn}滿足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項和為Sn，則S20等于(

)A．1025 B．1024C．10250 D．20240√C

[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0，∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250，故選C.]23題號41√3．某人的月工資由基礎(chǔ)工資和績效工資組成，2014年每月的基礎(chǔ)工資為2100元，績效工資為2000元．從2015年起每月基礎(chǔ)工資比上一年增加210元，績效工資為上一年的110%.照此推算，此人2025年的年薪為(參考數(shù)據(jù)：1.111≈2.853，1.110≈2.594)(

)A．9.3萬元 B．10.4萬元C．12.14萬元 D．14萬元

243題號14．一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，則數(shù)列{an}的通項公式an＝______________．

1．知識鏈：(1)等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)．(2)等比數(shù)列前n項和公式的實(shí)際應(yīng)用．(3)等比數(shù)列前n項和公式的綜合應(yīng)用．2．方法鏈：公式法、分類討論法、轉(zhuǎn)化法．3