福建高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)拋物線專項(xiàng)練習(xí)〔含答

案〕

平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋

物線。其中定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫拋物線的準(zhǔn)線。

以下是拋物線專項(xiàng)練習(xí)，請(qǐng)考生認(rèn)真練習(xí)。

1.拋物線x2=ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2-x2=2的上焦點(diǎn),那

么a二()

A.1B.4C.8D.16

2.(2023遼寧，文8)點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,

記C的焦點(diǎn)為F,那么直線AF的斜率為()

A.-3B.-1C.-2D.-5

3.拋物線y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,那么點(diǎn)M的

縱坐標(biāo)是0

A.-1B.-2C.1D.2

4.(2023福建泉州模擬)拋物線y=x2上一點(diǎn)到直線

2x-y-4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是0

A.B.(1,1)C.D.(2,4)

5.拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A

在C上，且|AK|二|AF|,那么aAFK的面積為()

A.4B.8C.16D.32

6.以拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物淺的準(zhǔn)線相切

的圓的方程為.

7.拋物線x2=2py(p為常數(shù)，pH0)上不同兩點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)

恰好是關(guān)于x的方程x2+6x+4q=0(q為常數(shù))的兩個(gè)根，那么

直線AB的方程為.

8.F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn),A,B是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB

的中點(diǎn)為M(2,2),求4ABF的面積.

9.一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減

去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

(1)求曲線C的方程；

(2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0),且與曲線C有兩個(gè)交

點(diǎn)A,B的任一直線，都有&It;0?假設(shè)存在，求出m的取值范圍;

假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

能力提升組

10.拋物線y2=2px,以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線

的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交C.相切D.不確定

11.設(shè)x1,x2R,常數(shù)a>；0,定義運(yùn)算

**〃，x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,假設(shè)x20,那么動(dòng)點(diǎn)P(x,)

的軌跡是0

A.圓B.橢圓的一局部

C.雙曲線的一局部D.拋物線的一局部

12.拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是I上一點(diǎn)，Q

是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),假設(shè)=4,那么|QF|=()

A.1B.3C.4D.2

13.過(guò)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該

拋物線交于A,B兩點(diǎn),A,B在x軸上的正射影分別為D,C.假

設(shè)梯形ABCD的面積為12,那么p二.

14.(2023大綱全國(guó)，文22)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)

為F,直線廠4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且

|QF|=|PQ|.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)F的直線I與C相交于A,B兩點(diǎn)，假設(shè)AB的垂直平分

線I'與C相交于M,N兩點(diǎn)，且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上，求I

的方程.

15.拋物線C:y2=2px(p>；0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)

的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線I交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半

軸于點(diǎn)D,且有|FA|二|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，Z\ADF為

正三角形.

(1)求C的方程；

(2)假設(shè)直線11I,且11和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,

①證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

②4ABE的面積是否存在最小值?假設(shè)存在，請(qǐng)求出最小值；

假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

1.C解析:根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的上

焦點(diǎn)為(0,2)，依題意那么有二2,解得a=8.

2.C解析：由，得準(zhǔn)線方程為x=-2,

F的坐標(biāo)為(2,0).

又A(-2,3),直線AF的斜率為k=.應(yīng)選C.

3.B解析:拋物線方程可化為x2二-,其準(zhǔn)線方程為y二.

設(shè)M(x0,y0),那么由拋物線的定義，可知-yO=1?yO=-.

4.B解析:設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為(x,y),

那么由點(diǎn)到直線的距離得

d=

當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1).

5.B解析:拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線為

x--2,K(-2,0).

設(shè)A(xO,y0),過(guò)點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線AB垂足為B,那么

B(-2,y0).

|AK|=|AF|,

又|AF|二|AB|=xO-(-2)=xO+2,

由|BK|2二|AK|2-|AB|2,

得二(xO+2)2,即8x0=(xO+2)2,

解得A(2,±4).

故AAFK的面積為|KF|?|y0|

=X4X4=8.

6.x2+(y-4)2=64解析:拋物線的焦點(diǎn)為F(0,4),準(zhǔn)線為

y二-4,

那么圓心為(0,4),半徑r=8.

故圓的方程為x2+(y-4)2=64.

7.3x+py+2q=0解析：由題意知，直線AB與x軸不垂直.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立，得

x2-2pkx-2pm=0,

此方程與x2+6x+4q=0同解,

那么解得

故直線AB的方程為y=-x-,

即3x+py+2q=0.

8.解：由M(2,2)知，線段AB所在的直線的斜率存在，

設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線方程為y-2=k(x-2)(k=A0).

由消去y,

得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.①

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

那么x1+x2=,

x1x2=.

由題意知二2,

那么二4,解得k=1,

于是直線方程為y=x,x1x2=0.

因?yàn)閨AB|=|x1—x2|=4,

又焦點(diǎn)F(1,0)到直線y=x的距離d=，所以4ABF的面積是

X4=2.

9.解：(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn)，

那么點(diǎn)P(x,y)滿足-x=1(x>0),

化簡(jiǎn)得y2=4x(x>；0).

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(叫0)(m>0)的直線I與曲線C的交點(diǎn)為

A(x1,y1),B(x2,y2).

設(shè)I的方程為x=ty+m.

由得y2-4ty-4m=0,

△=16(t2+m)>；0,

于是

因?yàn)槎?x17,y1),

二(x2-1,y2),

所以二(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.

又<0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1&11;0,③

因?yàn)閤二，所以不等式③可變形為

+y1y2-+1<0,

即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1&It;0.④

將①②代入④整理得m2-6m+1<4t2.⑤

因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,

所以不等式⑤對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,

即3-20),那么FD的中點(diǎn)為.

因?yàn)閨FA|二|FD|,

由拋物線的定義知3+,

解得t=3+p或t=-3(舍去).

由二3,解得p=2.

所以拋物線C的方程為y2=4x.

⑵①由⑴知F(1,0).

設(shè)A(xO,yO)(xOyO*O),D(xD,0)(xD>0),

因?yàn)閨FA|二|FD|,

那么|xD7|=x0+1.

由xD>0得xD=xO+2,

故D(x0+2,0).

故直線AB的斜率kAB=一.

因?yàn)橹本€11和直線AB平行，設(shè)直線11的方程為尸-x+b,

代入拋物線方程得y2+y-=0,

由題意△=(),

得b二-.

設(shè)E(xE,yE),

那么yE二一，xE二.

當(dāng)于4時(shí)，kAE==",

可得直線AE的方程為y-yO=(x-xO),

由二4x0,整理可得尸(x-1),

直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0).

當(dāng)二4時(shí)，直線AE的方程為x=1,過(guò)點(diǎn)F(1,0).

所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0).

②由①知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0),

所以|AE|二|AF|+|FE|二(x0+1)+=x0++2.

設(shè)直線AE的方程為x=my+1,

因?yàn)辄c(diǎn)A(xO,yO)在直線AE上，

故m