第六章不定積分兩個(gè)方面數(shù)學(xué)上很多方面都存在逆運(yùn)算：1、加減乘除開方乘方求導(dǎo)？2、實(shí)際問(wèn)題：相反的問(wèn)題：已知瞬時(shí)速度V=V（t）求運(yùn)動(dòng)規(guī)律：這就是求微商運(yùn)算的反問(wèn)題。前面，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律S=S（t），求瞬間的速度V=V（t），只需將S=S（t）對(duì)t求微商就可以了。第一節(jié)不定積分的概念

一、原函數(shù)定義1例1

問(wèn)題一存在性：哪些函數(shù)一定存在原函數(shù)？問(wèn)題二唯一性：由定義，顯然不唯一，且有：若F（x）為f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)C，F(xiàn)（x）+C也是f（x）的一個(gè)原函數(shù)。這也說(shuō)明，若f（x）存在一個(gè)原函數(shù)，則其必有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。問(wèn)題三若F（x）為f（x）的一個(gè)原函數(shù)，F(xiàn)（x）+C是否所有的原函數(shù)？即：是否f（x）的每一個(gè)原函數(shù)都具有F（x）+C的形式？回答：下面的定理：例2

這里沒(méi)有注明x的變化范圍，通常都理解為使等式成立的x的全體。不定積分不是一個(gè)函數(shù)，而是一族函數(shù)，在幾何上他是一族曲線，稱為積分曲線，只要畫出其中的一條，其它曲線可通過(guò)平移而得到。

定義6.2f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為從而,若F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)，則有

,C為任意常數(shù)

二、不定積分的概念注意

由定義知：或或1）求不定積分運(yùn)算與微分（微商）運(yùn)算是互逆的。2）根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表，可以得到基本積分公式表：三、基本積分公式表注意強(qiáng)調(diào)1、背熟2、積分常數(shù)不能丟四、不定積分的運(yùn)算法則微商運(yùn)算法則不定積分的運(yùn)算法則（線形運(yùn)算法則）1、2、證明：說(shuō)明一下法則的體系（極限

求導(dǎo)

……定理6.2例3.求解:例4.求解:例5.求解：例6.求解：前面給出了基本積分表和分部積分的性質(zhì)，但所能計(jì)算的積分非常有限，且不能總用定義求。例：第二節(jié)換元積分法與分部積分法一.換元積分法

先看例子：求公式表中只有比較兩積分：湊一個(gè)因子2一般情況：

（湊微分法或第一換元法）設(shè)具有原函數(shù),即

可導(dǎo),記，則有證明：與復(fù)合函數(shù)的微分法則對(duì)應(yīng)例：定理6.3求解:例1求解：例3例2求解:例4.求解法2:由例2得，增加例5

求解法1：由例3得解法2：增加有些積分不能直接湊出微分.而是選擇變量替換

（第二換元法）

設(shè)可導(dǎo)，且又設(shè)則

證：定理6.4例9求（a>0）令,則其中例10求解：設(shè)則

于是作輔助三角形得到因此：原式其中總結(jié)上面幾例，我們利用三角公式，對(duì)一些無(wú)理式作了如下代換：，令對(duì)于，令對(duì)于，令目的在于消去根號(hào)，因?yàn)樗鼈儽容^典型，故特別稱之為三角代換。對(duì)于由乘積的微商公式：故這個(gè)公式稱為分部積分公式?；蜿P(guān)鍵：適當(dāng)選取

和，使容易求。2．分部積分法例13選冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的積分總結(jié)：冪函數(shù)與正（余）弦函數(shù)乘積的積分例14例15總結(jié)：選

有時(shí)分部積分后會(huì)遇到原來(lái)的不定積分。注意加c

例17

求解：原式=所以例18解：原式=移項(xiàng)即得求例20解：下面求兩種方法求：類似的方法2

從出發(fā)分部積分

類似的

前面介紹了兩種重要的積分方法，利用它們可以求出許多初等函數(shù)的不定積分。但是要靈活地運(yùn)用這些方法，它不象求導(dǎo)數(shù)那樣簡(jiǎn)單和易掌握。另外，任一初等函數(shù)總可按一定的步驟求得它的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)還是初等函數(shù)。而求初等函數(shù)的積分不僅無(wú)一定的步驟可循，更有所不同的是初等函數(shù)的原函數(shù)有可能不再是初等函數(shù)，這時(shí)我們也說(shuō)積分積不出來(lái)。

總結(jié)：一些特殊類型的函數(shù)的積分：1.有理函數(shù)的積分：若真分式之和。因此有理函數(shù)的積分只需討論真分式的積分：有理函數(shù)不是真分式，用多項(xiàng)式除法可將其寫成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)多項(xiàng)式的積分和有理真分式的積分思路：把被積函數(shù)（真分式）分解為簡(jiǎn)單分式的和。兩個(gè)多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù),即變量和常數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算得到的式子。所以歸納為簡(jiǎn)單分式的積分：

都可以分解為有限個(gè)簡(jiǎn)單分式的和。每個(gè)真分式根據(jù)代數(shù)基本定理，1、簡(jiǎn)單分式有四種（兩類）（1）（2）（3）（4）其中代數(shù)基本定理:代數(shù)基本定理﹝FundamentalTheoremofAlgebra﹞是指：對(duì)于復(fù)數(shù)域，每個(gè)次數(shù)不少于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一根。由此推出，一個(gè)n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個(gè)根，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。因此，任意次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域都能夠分解成一次和二次因式的乘積

則有分解式：下面逐個(gè)求不定積分：（1）（2）（3）要求只需求即可下面求（4）,只需求即可.其中而解：設(shè)，A，B，C是待定系數(shù)。比較兩端同次冪的系數(shù)得線性方程組解得：例21求方法1:(比較系數(shù)法)下面介紹兩種確定待定系數(shù)的方法。在等式右邊通分后,令等式兩邊的分子相等得方法2：（取特殊值法）在等式兩邊同乘以后令，得等式兩邊同乘以后，令得令得將A，C的值代入，即得于是2.三角函數(shù)有理式的積分：變換稱為萬(wàn)能公式例24.求解：例26.求解法一：解法二：解法三：利用萬(wàn)能公式,例27.求解：此外，還可以利用其它技巧:例29.求解法一：利用萬(wàn)能公式解法二：3.某些無(wú)理函數(shù)的積分：（1）例30.求解：3.某些無(wú)理函數(shù)的積分：（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的積分當(dāng)時(shí)，例32.求解法一：解法二：習(xí)題例1.

求解:原式例2.

求解:原式分部積分例3.

求解:取說(shuō)明:

此法特別適用于如下類型的積分:例4.

求解:設(shè)則因連續(xù),得記作得利用補(bǔ)充題例1.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又例2.

求解:

令則原式例3.

求解:

令比較同類項(xiàng)系數(shù),故∴