第1頁/共1頁2023屆北海市高三第一次模擬考試數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運算求解.【詳解】∵，∴．故選：D.2.已知復數(shù)z滿足，若z為純虛數(shù)，則（）A.-3 B. C.3 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義列關(guān)系式求即可.【詳解】因為為純虛數(shù)，所以且，所以．故選：C.3.在等差數(shù)列中，，，則（）A19 B.18 C.17 D.20【答案】C【解析】【分析】利用已知條件列方程組求出，從而可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，所以，故選：C.4.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)．當時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為800．當時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為（）A.12800 B.24800 C.25600 D.51200【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合對數(shù)運算解方程即可.【詳解】解：因為時，，所以，解得，所以，時，，即，所以，解得．故選：D．5.如圖所示幾何體是底面直徑為2，高為3的圓柱的上底面挖去半個球，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，該幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積，圓柱的一個底面面積和半個球面面積的和，再依次計算求和即可.【詳解】解：根據(jù)題意，該幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積，圓柱的一個底面面積和半個球面面積的和.因為圓柱底面直徑為2，高為3，所以，圓柱的側(cè)面積為，一個底面面積為，半個球面的面積為，所以，該幾何體的表面積為．故選：B6.如圖所示，陰影部分由四個全等的三角形組成，每個三角形是腰長等于圓的半徑，頂角為的等腰三角形．如果在圓內(nèi)隨機取一點，那么該點落到陰影部分內(nèi)的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合三角形的面積公式，根據(jù)幾何概型的面積型問題求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的半徑為，則圓的面積為，所以，四個三角形的面積為，因為，在圓內(nèi)隨機取一點，那么該點落到陰影部分內(nèi)的概率為所以，，解得，因為，所以．故選：A7.已知角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩角差的正切公式求得，直接二倍角公式及同角關(guān)系將轉(zhuǎn)化為含的形式，由此可得結(jié)果．【詳解】因為，化簡得，所以，又，所以，故選：A．8.已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．若，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖象，從圖象上觀察的解集.【詳解】奇函數(shù)的定義域為，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可作出的大致圖象：由圖象可知解集為．故選：B9.已知，若，恒成立，則正數(shù)m的最小值是（）A. B.1 C. D.e【答案】B【解析】【分析】不等式化簡可得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件和函數(shù)的單調(diào)性可求m的最小值.【詳解】由，化簡可得，即．令，則原不等式可化為，由已知在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當時，，當時，．故當時，，當時，．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以．所以正數(shù)m的最小值是1，故選：B．10.已知函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，換元轉(zhuǎn)化為在上恰有5個不相等的實根，結(jié)合的性質(zhì)列出不等式求解.【詳解】，令，由題意在上恰有5個零點，即在上恰有5個不相等的實根，由的性質(zhì)可得，解得．故選：D．11.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的前81項的和為（）A.1640 B.1660 C.1680 D.1700【答案】A【解析】【分析】由得到數(shù)列的特征，再求數(shù)列的前81項的和.【詳解】由，有，有．又由，可得，可得，則數(shù)列的前81項的和為．故選：A12.已知拋物線的焦點為F，拋物線上的任意一點P到焦點F的距離比到直線的距離少，過焦點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線，與直線分別相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，則直線的斜率為（）A.1或 B.1或2 C.或2 D.【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合拋物線定義求出拋物線方程，設(shè)直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標的關(guān)系，再通過聯(lián)立方程組求出的坐標，結(jié)合的坐標的關(guān)系列方程求出直線的斜率.【詳解】因為拋物線的焦點為，拋物線上的任意一點到焦點的距離比到直線的距離少，所以拋物線上的任意一點到焦點的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，即，所以拋物線的方程為．，當直線的斜率為時，直線與拋物線有且只有一個交點，不滿足要求，故可設(shè)的方程為，，．聯(lián)立方程組整理得，方程的判別式，由韋達定理知，．直線的方程為，聯(lián)立方程組所以，因為，所以點的坐標為，同理，．因為都在直線上，所以，又由，有，解得或，故直線的斜率為1或．故選：A．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量是單位向量，向量，且，則與的夾角為_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律得，進而得，再根據(jù)向量夾角范圍即可得答案.【詳解】解：由題意可知，，所以，，所以，解得，因為所以，，即和的夾角為．故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為_____________．【答案】9【解析】【分析】利用二項式定理求指定項的系數(shù).【詳解】，展開式中的系數(shù)為．故答案為：915.如圖，已知雙曲線的左，右焦點分別為，，正六邊形的一邊的中點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是_____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點為，連接，，進而根據(jù)正六邊形的幾何關(guān)系得，，進而根據(jù)余弦定理得，再結(jié)合雙曲線的定義得，再求離心率即可.【詳解】解：設(shè)的中點為，連接，，因為是正六邊形，所以，，，所以，，所以，在中，由余弦定理得，解得，所以，所以雙曲線的離心率．故答案為：16.如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，由已知得是外心，為三棱錐外接球的球心，求出外接球半徑的最小值可得球體積最小值，為此設(shè)，，，，由棱錐體積得的關(guān)系，利用基本不等式得出的最小值即可得體積最小值．【詳解】如圖，設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，，，，，由，有，由可知，為三棱錐外接球的球心，有，解得(當且僅當時取等號)，故三棱錐外接球體積的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求棱錐外接球體積的最小值，解題關(guān)鍵是確定外接球的球心，設(shè)出棱長，由棱錐體積得出棱長關(guān)系，求得外接球半徑，并用基本不等式求得最小值．確定體積的最小值．結(jié)論：三棱錐外接球的球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分、17.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理轉(zhuǎn)化后，整理化簡得從而求出角的大??；（2）利用余弦定理可得關(guān)系，利用基本不等式求的最大值，由此可求周長的最大值.【小問1詳解】由及正弦定理得，因為，所以，因為，，所以，，又，解得；【小問2詳解】∵，，即，所以，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立．所以周長的最大值為．18.如圖，在直三棱柱中，，E為中點，F(xiàn)為的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形即可；（2）建立坐標系，求出兩個平面的法向量即可求得兩平面所成二面角的余弦值，再求正弦值即可.【小問1詳解】證明：取的中點O，連接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，平面，平面，∴平面.【小問2詳解】因為，，兩兩垂直，故以為原點，,,分別為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標系，各點坐標如下：，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，，，可得平面的一個法向量為，有，，，可得，故平面與平面的二面角的正弦值為．19.某校為了了解學生每天完成數(shù)學作業(yè)所需的時間收集了相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，學生完成數(shù)學作業(yè)的時間的范圍是．其統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，．（1）求直方圖中x的值；（2）以直方圖中的頻率作為概率，從該校學生中任選4人，這4名學生中完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望為1.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；（2）由題意可知，隨機變量X服從二項分布.小問1詳解】由直方圖小矩形面積之和為1，可得:，解得；【小問2詳解】X的可能取值為0，1，2，3，4．由直方圖可知，每位學生完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的概率為，則，，，，．所以的分布列為：01234因為所以．20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過點，直線與橢圓相交于、兩點，直線與橢圓相交于、兩點，點為線段的中點，點為線段的中點，證明：直線過定點．【答案】（1）.（2）直線過定點，證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓過點及離心率為，列方程組求解；(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到二次方程，用韋達定理表示出中點、的坐標，由對稱性可知直線所過x軸上的定點，由三點共線列出方程可解出為定值.【小問1詳解】設(shè)點，的坐標分別為、，由題意有解得故橢圓的標準方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)直線的斜率為，可得直線的斜率為，設(shè)點的坐標為，點的坐標為，直線的方程為，聯(lián)立方程消除后有，有，可得，，同理，，由對稱性可知直線所過的定點必定在軸上，設(shè)點的坐標為，有，有，化簡得，解得，故直線過定點．21.已知函數(shù)．（1）當時，求過點且和曲線相切的直線方程；（2）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得時的解析式，設(shè)出切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解；（2）對原不等式進行配湊，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式并分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】當時，，，因為點沒有在曲線上，故不是切點，設(shè)切點為，直線斜率為，則切線方程為，又因為該直線過點，所以，即，記，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，故切線方程為；【小問2詳解】當時，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，即，其中，令，其中，則．當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，其中第二問中處理問題的關(guān)鍵是對原不等式，經(jīng)過配湊后構(gòu)造函數(shù)，從而簡化問題，屬綜合中檔題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求曲線C的標準方程與直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求A，B兩點的極坐標．【答案】（1）曲線C的標準方程為，直線l的極直角坐標方程為；（2）點A的極坐標為，點B的極坐標為【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程、極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的知識即可求解；（2）根據(jù)極坐標的定義，結(jié)合的直角坐標求極徑、極角，寫出極坐標即可【小問1詳解】因為曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線C的普通方程為，因為直線l的極坐標方程為，且所以直線l的直角坐標方程為；【小問2詳解】依題意得，聯(lián)立方程解得或故點直角坐標分別為，，設(shè)點的極坐標分別為，，(其中，，，)則，；，；因為點在第四象限，點在軸的正半軸，所以，