第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x?y+1=0的傾斜角為(

)A.30° B.45° C.120° D.150°2.如果向量a=(2,?1,3),b=(?1,2,?3)，則|A.2 B.6 C.23.已知α，β是兩個不重合的平面，且直線l⊥α，則“α⊥β”是“l(fā)/?/β”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E是DP的中點．已知DA=a，DC=b，DP=cA.a+b+12c

B.?5.已知A(1,0,?1)、B(4,3,2)，則線段AB上靠近A的三等分點的坐標(biāo)為(

)A.(0,?1,?2) B.(2,1,0) C.(3,2,1) D.(5,4,3)6.設(shè)直線l的一個方向向量為v，平面α的一個法向量為n，平面β的一個法向量為m，則下列說法正確的是(

)

①若v,n=30°，則l與α所成的角為30°；

②若l與α所成角為60°，則v,n=30°；

③若m,n=60°，則平面α與β所成的銳二面角為60°；

④A.③ B.①③ C.②④ D.①③④7.若點(k,0)與(b,0)的中點為(?3,0)，則直線y=kx+b必定經(jīng)過點(

)A.(1,?6) B.(1,6) C.(?1,6) D.(?1,?6)8.三棱錐S?ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，SA=1，SB=SC=2，則二面角S?AB?C的余弦值為(

)A.66 B.33 C.9.三棱錐A?BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，若AB=23，BD=2，則三棱錐C?ABD的體積的最大值為(

)A.4 B.73 C.2 D.10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E、F分別是棱BC、CC1的中點，P是側(cè)面BCA.平面AB1F截正方體所得截面為等腰梯形

B.存在點P，使A1P⊥平面AEF

C.若A1P/?/平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是[32二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線l過點P(1,2)，且它的一個方向向量為(2,1)，則直線l的一般式方程為______．12.若a=(1,0,?1)，b=(0,2,1)，c=(2,m,?1)為共面向量，則m的值為______．13.正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB14.如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于點E，M是AC的中點，PB=1，則EP?EM的最小值為______．15.如圖，四棱錐S?ABCD中，底面是邊長為2的正方形，△SCD是等邊三角形，平面SCD⊥平面ABCD，M，N，P分別為棱BC，CD，DA的中點，Q為△SCD及其內(nèi)部的動點，滿足PQ//平面AMS，給出下列四個結(jié)論：

①直線SA與平面ABCD所成角為45°；

②二面角S?AB?N的余弦值為277；

③點Q到平面AMS的距離為定值；

④線段NQ長度的取值范圍是[12,1]三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

已知平行四邊形ABCD的三個頂點分別為A(?1,4)，B(?3,0)，C(1,3)．

(1)求邊CD所在直線的方程；

(2)求四邊形ABCD的面積．17.(本小題12分)

在△ABC中，b=27，B=2π3，從①c=2a；②sinA=2114；③a=2這三個條件中任選一個作為題目的已知條件．

(Ⅰ)求sinC的值；

(18.(本小題12分)

已知三棱錐P?ABC，平面PAC⊥平面ABC，點D是PC的中點，PA=PC=AC=2，AB=BC=2．

(1)求證：AC⊥PB；

(2)求直線DB與平面PAB所成角的正弦值；

(3)求點C到平面PAB的距離．19.(本小題12分)

在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點E是線段CD上靠近點D的一個三等分點，點F是線段AD上的一個動點，且DF=λDA(0≤λ≤1).如圖，將△BCE沿BE折起至△BEG，使得平面BEG⊥平面ABED．

(1)當(dāng)λ=12時，求證：EF⊥BG；

(2)是否存在λ，使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為120.(本小題12分)

已知正方體ABCD?A1B1C1D1，點E，F(xiàn)，H分別為AB，BC，D1C1的中點，直線A1D1交平面EFH于點G．

(1)證明：G為A1D1中點；

(2)求異面直線D21.(本小題12分)

對于向量X0=(a0,b0,c0)，若a0，b0，c0三個實數(shù)互不相等，令向量Xi+1=(ai+1,bi+1,ci+1)，其中ai+1=|ai?bi|，bi+1=|bi?ci|，ci+1=|ci?ai|，(i=0,1,2,…)．參考答案1.B

2.D

3.B

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

9.D

10.B

11.x?2y+3=0

12.2

13.2514.?115.②③④

16.解：平行四邊形ABCD的三個頂點分別為A(?1,4)，B(?3,0)，C(1,3)．

(1)因為直線AB的斜率為k=4?0?1+3=2，又平行四邊形ABCD，

所以直線CD的斜率為2，

所以直線CD的方程為y?3=2(x?1)，即2x?y+1=0．

(2)因為|AB|=(?1+3)2+(4?0)2=25，

點17.解：(I)由題知，三角形為鈍角三角形，

選①，由余弦定理得：cosB=a2+c2?b22ac=a2+4a2?282a?2a=?12，解得a=2，c=4，

由正弦定理得：csinC=bsinB，所以sinC=csinBb=4×3227=217；

選②，因為sinA=2114，所以cosA=5714，

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2114×(?12)+5714×32=18.(1)證明：取AC的中點O，連接PO，BO，

因為PA=PC=AC=2，所以△PAC為正三角形，所以PO⊥AC，

因為AB=BC=2，所以BO⊥AC，

又PO∩BO=O，PO，BO?平面POB，

所以AC⊥平面POB，

因為PB?平面POB，所以AC⊥PB．

(2)解：由(1)知PO⊥AC，BO⊥AC，

因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO?平面PAC，

所以PO⊥平面ABC，

又OB、OC?平面ABC，

所以PO⊥OB，PO⊥OC，

所以O(shè)B，OC，OP兩兩互相垂直，

以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,?1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,3)，D(0,12,32)，

所以DB=(1,?12,?32)，AB=(1,1,0)，AP=(0,1,3)，

設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z)，則AB?n=0AP?n=0，即x+y=0y+3z=0，

令z=?1，則x=?3，y=3，所以n=(?319.解：(1)當(dāng)λ=12時，點F是AD的中點．

∴DF=12AD=1，DE=13CD=1．

∵∠ADC=90°，∴∠DEF=45°．

∵CE=23CD=2，BC=2，∠BCD=90°，

∴∠BEC=45°．

∴BE⊥EF．

又平面GBE⊥平面ABED，平面GBE∩平面ABED=BE，EF?平面ABED，

∴EF⊥平面BEG．

∵BG?平面BEG，∴EF⊥BG．

(2)以C為原點，CD,CB的方向為x軸，y軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C?xyz．

則E(2,0,0)，D(3,0,0)，F(xiàn)(3,2λ,0)．

取BE的中點O，

∵GE=BG=2，∴GO⊥BE，

∴易證得OG⊥平面BCE，

∵BE=22，∴OG=2，∴G(1,1,2)．

∴FG=(?2,1?2λ,2)，EG=(?1,1,2)，DG=(?2,1,2)．

設(shè)平面DEG的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?DG=?2x+y+2z=0,20.解：(1)證明：連接GH，GE，

因為平面ABCD//平面A1B1C1D1，EF?平面ABCD，

所以EF/?/平面A1B1C1D1，

又因為EF?平面EFHG，平面EFHG∩平面A1B1C1D1=GH，

所以EF/?/GH，

又因為EF/?/AC，AC/?/A1C1，所以GH/?/A1C1，

又因為H為D1C1的中點，所以G為A1D1中點；

(2)以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1所在的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系：

設(shè)正方體的棱長為2，

則D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,2,0)，E(2,1,0)，H(0,1,2)，

則D1F=(1,2,?2),EH=(?2,0,2)，

所以cos?D1F,EH?=D1F?EH|D1F|?|EH|=?63?22=?22，

設(shè)異面直線D1F與EH所成角為θ∈(0,π2],

則cosθ=22，所以θ=21.解：(Ⅰ)當(dāng)X0=(5,2,1)時，

X4=(1,1,0)，X5=(0,1,1)，X6=(1,0,1)，X7=(1,1,0)；

(Ⅱ)證明：假設(shè)ai，bi，ci三個數(shù)中有2個為0，或三個數(shù)均為0，

當(dāng)ai，bi，ci三個數(shù)中有2個為0時，由題意得i≥1，

設(shè)ai=bi=0，(i≥1)，ci≠0，

則ai=|ai?1?bi?1|=0，bi=|bi?1?ci?1|=0，即ai?1=bi?1=ci?1，

這與ci=|ai?1?bi?1|≠0矛盾；

(2)ai，bi，ci三個數(shù)均為0時，由題意得i≥1，

則ci=|ai?1?bi?1|=0，bi=|bi?1?ci?1|=0，ci=|ci?1?ai?1|=0，

∴ai?1=bi?1=ci?1=w(定值)，

由a0，b0，c0三個數(shù)互不相等，得i≥2，且ai?1=|ai?2?bi?2|=w，

bi?1=