2024-2025學(xué)年河南省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則的方程為（

）A． B．C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，直線過點且以為方向向量，為直線上的任意一點，則點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3．若圓過，兩點，則當(dāng)圓的半徑最小時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．4．在四面體中，為棱的中點，為線段的中點，若，則（

）A． B．1 C．2 D．35．若直線與圓相離，則點（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．位置不確定6．已知直線經(jīng)過點，且與圓：相交于，兩點，若，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或7．曲線的周長為（

）A． B． C． D．8．如圖，在多面體中，底面是邊長為1的正方形，為底面內(nèi)的一個動點（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點不可能在直線上B．直線恒過點C．若點到直線的距離相等，則D．直線上恒存在點，滿足11．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別為，，，的中點，是的中點，是線段上的動點，則（

）A．存在，，使得B．不存在點，，使得C．的最小值為D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題12．在空間直角坐標(biāo)系中，點與關(guān)于原點對稱，則點的坐標(biāo)為.13．若圓關(guān)于直線對稱，則點與圓心的距離的最小值是.14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)（）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點，為直線：上的動點，為圓：上的動點，則的最小值為.四、解答題15．已知圓的圓心在直線和直線的交點上，且圓過點.(1)求圓的方程；(2)若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關(guān)系.16．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知直線.(1)若直線與.平行，且之間的距離為，求的方程；(2)為上一點，點，，求取得最大值時點的坐標(biāo).18．如圖，在斜三棱柱中，平面平面是邊長為2的等邊三角形，為的中點，且為的中點，為的中點，.(1)設(shè)向量為平面的法向量，證明：；(2)求點到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值.19．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及直線上任意一點，稱的最小值為點到的“切比雪夫距離”，記作.(1)已知點和點，直線，求和.(2)已知圓和圓.①若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓和圓的位置關(guān)系；②若，圓與軸交于兩點，其中點在圓外，且，過點任作一條斜率不為0的直線與圓交于兩點，記直線為，直線為，證明.答案：題號12345678910答案BCDCBABABDABD題號11答案BCD1．B【分析】先求出直線的斜率，由點斜式方程可得直線方程.【詳解】由題意，直線的斜率為，又過點，故其方程為，即.故選：B.2．C【分析】求出向量，再利用空間向量共線的充要條件列式判斷即得.【詳解】依題意，，，則，所以點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是.故選：C.3．D【分析】根據(jù)給定條件，求出以為直徑的圓的方程即可.【詳解】依題意，線段的中點，，圓過，兩點，當(dāng)圓的半徑最小時，線段為圓的直徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D4．C【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】如圖，，又，所以，則.故選：C5．B【分析】利用點線距離公式及到的距離，即可判斷點與圓位置關(guān)系.【詳解】由題意，到的距離，即，所以在在圓內(nèi).故選：B6．A【分析】根據(jù)弦長，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離.然后分直線斜率存在與不存在兩種情況來求直線的方程.【詳解】已知弦長，半徑.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為.把，代入可得.

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心到直線的距離為，所以直線斜率不存在時不滿足條件.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.根據(jù)點到直線距離公式，由圓心到直線的距離，可得.對進(jìn)行求解.兩邊平方得，展開得.解得或.

當(dāng)時，直線的方程為，即.當(dāng)時，直線的方程為，即.

故選：A.7．B【分析】分類討論寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖得出結(jié)論.【詳解】曲線曲線的圖像如圖所示：該圖是以四個點為圓心，半徑為的四個半圓，所以該圖的周長為.故選：B8．A【分析】由題意可得兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出化簡可求得結(jié)果.【詳解】因為底面平面，所以,因為四邊形為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)或1，或1時，取得最大值4.故選：A9．BD【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理逐項判斷即得.【詳解】由構(gòu)成空間的一個基底，得向量不共面，對于A，若向量，，共面，則存在實數(shù)對使得，即，則向量共面，矛盾，，，不共面，A不是；對于C，由，得，，共面，B是；對于C，若，，共面，則存在實數(shù)對使得，于是，此方程組無解，向量，，不共面，C不是；對于D，由，得向量，，共面，D是.故選：BD10．ABD【分析】當(dāng)時，即可判斷A；將線方程可化為，即可判斷B；利用點線的距離公式計算即可判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)表示求出點的軌跡方程，證明點在圓的內(nèi)部即可判斷D.【詳解】A：當(dāng)時，，所以點不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過定點，故B正確；C：因為點到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點的軌跡方程為.又直線恒過定點，且，所以點在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點，即直線上恒存在點，滿足，故D正確.故選：ABD11．BCD【分析】以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項計算判斷得解.【詳解】在三棱錐中，平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，對于A，由，得，則，方程無解，因此不存在、使得，A錯誤；對于B，由是線段上的動點，設(shè)，則，，由，則不存在點，使得，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱性列式計算得解.【詳解】依題意，，解得，所以點的坐標(biāo)為.故13．【分析】根據(jù)題意得到，再利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.【詳解】由題意可知直線經(jīng)過圓心，所以，即，點到圓心距離最小值就是圓心到直線的距離的最小值，又圓心到直線的距離.故14．【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標(biāo)為，即可根據(jù)三點共線，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，則，依題意，圓是由點，確定的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點坐標(biāo)為，則，整理得，而該圓的方程為，則，解得，點的坐標(biāo)為，因此，當(dāng)時，最小，最小值為，所以當(dāng)時，的值最小為.故關(guān)鍵點點睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點，即可利用點到直線的距離求解.15．(1)(2)圓與圓相交.【分析】（1）先求出兩直線的交點，結(jié)合兩點的距離公式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計算即可求解；（2）由題意知的圓心為，半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.【詳解】（1）由，得，即圓心坐標(biāo)為.，圓的方程為.（2）由（1）知，圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑.，，圓與圓相交.16．(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定逆定理可證得，，然后利用線面垂直的判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.（2）解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)或；(2)【分析】（1）設(shè)出直線m的方程，利用平行線間距離公式列式求解.（2）求出點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)，結(jié)合圖形，利用線段和差關(guān)系確定點位置，進(jìn)而求出其坐標(biāo).【詳解】（1）由直線m與平行，設(shè)直線m的方程為，由m，之間的距離為，得，解得或，所以直線m的方程為或.（2）設(shè)點關(guān)于直線：的對稱點為，則，解得，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，直線的方程為，即，由，解得，點，所以取得最大值時點P的坐標(biāo).18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，進(jìn)而得出法向量,最后應(yīng)用空間向量數(shù)量積運算即可；（2）應(yīng)用空間向量法求法向量及向量應(yīng)用公式運算即可；（3）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.【詳解】（1）如圖，連接.，平面平面，平面平面平面，平面.是邊長為2的等邊三角形，.以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.是平面的一個法向量，令.，，.（2）.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個法向量為，點到平面的距離為.（3）.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個法向量為.由（2）可知平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為..19．(1)3，.(2)①圓與圓相切；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)“切比雪夫距離”定義計算；（2）①轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系判定即可；②運用直線與圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理證明即可.【詳解】（1）.設(shè)上任意一點為，