期末綜合題之代數(shù)推理（教案）教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)研究三階幻方的共性，經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證、歸納的過(guò)程，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題的能力，感悟代數(shù)推理的必要性。2.經(jīng)歷分析幻方問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)量間的邏輯關(guān)系，感悟代數(shù)推理的過(guò)程。3.通過(guò)具體的數(shù)運(yùn)算到未知設(shè)元，字母參與運(yùn)算，運(yùn)用代數(shù)推理的形式解決其他簡(jiǎn)單的幻方問(wèn)題，提升推理能力和運(yùn)算能力。重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：代數(shù)推理的基本方法。難點(diǎn)：代數(shù)推理的一般推廣應(yīng)用。教學(xué)過(guò)程神話情境引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣相傳大禹治水期間，洛水中浮出一只神龜，受龜背上神秘圖案的啟發(fā)，找到治水的方法。我們揭開(kāi)神龜背上神秘的外衣，用今天的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)三階幻方圖。（二）探究三階幻方，代數(shù)推理論證問(wèn)題1：將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入3×3的格子，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的數(shù)字和都相等.如下是同學(xué)們填好的三階幻方的方案。為了表達(dá)方便，我們將三階幻方不同位置給予不同的名稱(chēng)，如左圖。通過(guò)觀察各種方案，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特性。預(yù)設(shè)學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)：1.3階幻方的中心格數(shù)都是5。2.3階幻方中如圖三角形所對(duì)應(yīng)的數(shù)，角格數(shù)×2=與其不相鄰的兩個(gè)邊格數(shù)之和于是提出問(wèn)題：1.3階幻方的中心格數(shù)為什么都是5呢？2.3階幻方中如圖三角形所對(duì)應(yīng)的數(shù)，為什么“角格數(shù)×2=與其不相鄰的兩個(gè)邊格數(shù)之和”？現(xiàn)在我就開(kāi)始解決剛才的兩個(gè)問(wèn)題。1.3階幻方的中心格數(shù)為什么都是5呢？請(qǐng)同學(xué)們想一想：1.每行、每列、每斜對(duì)角三個(gè)數(shù)的和多少？2.與中心格數(shù)有涉及的是哪些行、列、斜對(duì)角呢？3.上述所有涉及的行、列、斜對(duì)角，三數(shù)為一組，共四組，分別相加，求得和與1至9的自然數(shù)和相等嗎？由什么引起的呢？哪個(gè)數(shù)重復(fù)加了？多加了幾次？解：設(shè)3階幻方的中心格數(shù)為x1+2+3+4+……+8+9=4545÷3=1545+3x=15×4X=5若將9個(gè)不同的整數(shù)分別填入3×3的格子，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的數(shù)字和都相等.填好后，上面的發(fā)現(xiàn)還成立嗎？3階幻方的中心格數(shù)與哪個(gè)量存在關(guān)系呢？解：設(shè)3階幻方的中心格數(shù)為x，每行、每列、每斜對(duì)角三個(gè)數(shù)的和為S。3S+3x=4S2.3階幻方中如圖三角形所對(duì)應(yīng)的數(shù)，為什么“角格數(shù)×2=與其不相鄰的兩個(gè)邊格數(shù)之和”？請(qǐng)同學(xué)們想一想：與三角位置的數(shù)有涉及的是哪些行、列、斜對(duì)角？在所涉及的行、列、斜對(duì)角中，你選擇哪些行、列、斜對(duì)角進(jìn)行優(yōu)化研究？根據(jù)上述所涉及的行、列、斜對(duì)角的數(shù)，你能列出哪些等式？由這些等式你能列出什么關(guān)鍵性等式？因?yàn)?，e+c+x=15,d+f+x=15,e+a+d=15,c+f+b=15所以，e+c+d+f+2x=30,e+a+d+c+f+b=30,得：e+c+d+f+2x=e+a+d+c+f+b2x=a+b若將9個(gè)不同的整數(shù)分別填入3×3的格子，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的數(shù)字和都相等.填好后，上面的發(fā)現(xiàn)還成立嗎？因?yàn)?，e+c+x=S,d+f+x=S,e+a+d=S,c+f+b=S所以，e+c+d+f+2x=S,e+a+d+c+f+b=S得：e+c+d+f+2x=e+a+d+c+f+b2x=a+b（三）幻方填寫(xiě)再探，推理方法應(yīng)用問(wèn)題2：同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進(jìn)變成“幻圓”游戲，將-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圓上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，則a+b的值為_(kāi)________.請(qǐng)同學(xué)們想一想：橫、豎以及內(nèi)外兩個(gè)圓上，每4個(gè)數(shù)字之和為多少？四個(gè)未知數(shù)中哪個(gè)相對(duì)容易得出？四個(gè)未知數(shù)中哪幾個(gè)是可以確定的？哪幾個(gè)是需要分類(lèi)討論的？這四個(gè)未知數(shù)從哪幾個(gè)數(shù)中選？解：-1+2-3+4-5+6-7+8=44÷2=2由-7+6+b+8=2，得：b=-5再由6+4-5+x=2，得：x=-3再由a-3+4+y=2，得：a+y=1當(dāng)a=-1時(shí)，a+b=-6當(dāng)a=2時(shí)，a+b=-3問(wèn)題3：把數(shù)字1-10的自然數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓內(nèi)，要求每邊上的三個(gè)圓內(nèi)數(shù)字之和都相等，你能否填出一種符合要求的填法？若能,請(qǐng)?zhí)钌蠑?shù)字;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.假設(shè)能，請(qǐng)同學(xué)們想一想：1.若將每邊上三個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字為一組，可得幾組？各組相加求得和與1至10的自然數(shù) 和相等嗎？2.上述不相等是什么引起的？哪些位置數(shù)字重復(fù)加了？多加了幾次？3.根據(jù)上述分析，你能通過(guò)設(shè)元列出等式嗎？解：假設(shè)能，設(shè)每邊三個(gè)圓內(nèi)數(shù)字和為S，如圖所示