第22頁/共23頁銀川一中2024屆高三年級第五次月考理科數(shù)學一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義求集合，根據(jù)一元二次不等式的解法及自然數(shù)集求集合，然后利用集合的交集運算求解即可.【詳解】，，.故選：B.2.歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞土著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（）A. B.C.在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限 D.【答案】D【解析】【分析】由歐拉公式，代入對應的值，即可判斷A和C；由得，兩式聯(lián)立，解出即可判斷B；由二倍角公式即可判斷D．【詳解】對于A：由歐拉公式得，所以，故A錯誤；對于B：由得，兩式聯(lián)立得，兩式相減消去得，，所以，故B錯誤；對于C：由歐拉公式得，，在復平面對應點的坐標為，因為，所以，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，故C錯誤；對于D：，故D正確，故選：D．3.若“，”是假命題，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定對于恒成立，變換，根據(jù)三角函數(shù)的值域得到答案.【詳解】“，”是假命題，即對于恒成立，即，，，故.故選：B4.已知函數(shù)，是函數(shù)導函數(shù)，則的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對函數(shù)求導得，易知為奇函數(shù)，排除B、D選項；再對求導，易得在是遞減，即可求解.【詳解】，為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，排除選項B、D，令，，當，，也就是在遞減，排除A，故C正確.故選：C．5.如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（）A.-16 B.16 C.-20 D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的新定義和向量數(shù)量積計算即可.【詳解】由于，，，，則，則所以，則.故選：B6.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則必為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理得到，得出，進而，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，又因為，所以，即，因為，所以，所以，所以為鈍角三角形.故選：A.7.已知不等式組表示的平面圖形為，則按斜二測畫法，平面圖形的直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式組畫出平面圖形，再根據(jù)斜二測畫法得出直觀圖，根據(jù)梯形的面積公式計算即可.【詳解】解：根據(jù)不等式組，作出如圖所示的平面圖，在平面圖中，，根據(jù)斜二測畫法，作出直觀圖，則在四邊形中，,則.所以平面圖形的直觀圖的面積為.故選：A.8.如圖，的頂點都在坐標軸上，直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】由題可得，又，得，，得，.故選：C.9.在正項等比數(shù)列中，若，，則（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)有，代入計算即可得.【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，故，所以，又，所以.故選：C.10.近來汽油價格起伏較大，假設第一周、第二周的汽油價格分別為m元/升，n元/升()，甲和乙購買汽油的方式不同，甲每周購買40元的汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.，的大小無法確定【答案】C【解析】【分析】分別計算出，關(guān)于，的表達式，再根據(jù)基本不等式即可求解．【詳解】由題意得，，，則，，所以．故選：C．11.已知函數(shù)．若為偶函數(shù)，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱軸可得，進而可知在上為增函數(shù)，令，利用導數(shù)可得，以及，進而分析得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，可知的對稱軸為，又因為均只有一條對稱軸，可知只有一條對稱軸，則，可得，所以，當時，，因為在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，可得，即，則；由，可得，則；即，可得，所以．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點睛：構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，過程中用到了函數(shù)，對應的不等式為，以及變形的．此類不等式常用的有，，，，加強記憶，方便碰到此類問題后直接使用．12.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，下列說法正確的是（）A.三棱錐的體積不是定值B.直線到平面的距離是C.存在點，使得D.面積的最小值是【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定判斷A；根據(jù)等體積法求得點到平面的距離判斷B；建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積運算解決垂直問題判斷C；求出面積的表達式，再求得面積的最小值判斷D.【詳解】對于A，分別是棱的中點，則，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，因為在上，所以點在平面的距離不變，而面積是定值，則三棱錐的體積不變，即三棱錐的體積不變，故A錯誤；對于B，因為，平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點到平面的距離h，，，，，由，得，則，B錯誤；對C，以A原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，,設，則，，，，由，得，解得，由于，因此存在點，使得，C正確；對于D，由選項C得在的投影點為，則P到距離，面積為，所以當時，取得最小值為，D錯誤.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是利用線面平行的判定來判定A，再通過等體積法求出距離從而判斷B，C,D選項通過建立合適的空間直角坐標系解決.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分.共20分）13.已知角的終邊與單位圓交于點，則__________.【答案】##-0.5【解析】【分析】根據(jù)任意角三角比的定義和誘導公式求解.【詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，所以，故答案為：.14.已知圓臺的上?下底面半徑分別為1和2，體積為，則該圓臺的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用圓臺體積公式可得其高為，即可知母線長為，利用側(cè)面展開圖面積求出圓臺的側(cè)面積為.【詳解】根據(jù)題意可知，圓臺上底面面積為，下底面面積為；設圓臺的高為，由體積可得，解得，所以可得圓臺母線長為，根據(jù)側(cè)面展開圖可得圓臺側(cè)面積為.故答案為：15.已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則實數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】變形后得到表示的圖象為以為圓心，1為半徑的上半圓，則關(guān)于直線的對稱圖象也是一個半圓，圓心為，半徑1，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到當直線斜率位于直線與直線之間（含，不含）時，滿足要求，求出，得到不等式，求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】，變形得到，故表示的圖象為以為圓心，1為半徑的上半圓，則關(guān)于直線的對稱圖象也是一個半圓，圓心為，半徑為1，且該圓與軸交于兩點，如圖所示：直線恒過點，設直線與半圓相切時，切點為，故當直線斜率位于直線與直線之間（含，不含）時，滿足函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，其中，設直線，則，解得：或0（舍去），故，解得：，實數(shù)k的取值范圍是.故答案為：16.已知關(guān)于x的不等式恰有2個不同的整數(shù)解，則k的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】將不等式化為，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出答案.【詳解】變形為，因為，所以，令，，，，當時，，當時，，所以在上取得極大值，也是最大值，，且當時，畫出的圖象如下：而過定點，且當直線位于如圖所示的兩條直線與之間（包含，不包含）時，滿足恰有兩個整數(shù)解，其中，故答案為：【點睛】對于不等式整數(shù)解個數(shù)問題，通常可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象問題，數(shù)形結(jié)合來求解.三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：（共60分）17.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出,再由即可寫出的通項公式；(2)根據(jù)的通項公式，找到其正負臨界的值，去掉絕對值符號再求和.【小問1詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為，則，所以當時，又也符合上式，故數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】當時，，數(shù)列的前n項和；當時，，數(shù)列的前n項和，.綜上所述：18.已知圓：，直線：.（1）若直線與圓相切，求的值；（2）若，過直線上一點作圓的切線，，切點為，，求四邊形面積的最小值及此時點的坐標，【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）由圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可，（2）當時，直線的方程為，而四邊形的面積，由圓的性質(zhì)可得當最小時，切線長最短，此時，求出直線的方程，聯(lián)立兩直線方程可得點的坐標.【小問1詳解】由已知，圓心到直線：的距離等于半徑，即.解得：或.【小問2詳解】當時，直線的方程為，四邊形的面積∵為直角三角形，當最小時，切線長最短，顯然當時，∴四邊形的面積最小值為.此時，，，∴直線：，即.由，解得，即.19.在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足_____.（從以下兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，將其序號寫在答題卡的橫線上并作答.）條件①：條件②：（1）求角；（2）若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）選擇①，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得；選擇②，利用誘導公式及同角公式求解即得.（2）利用正弦定理求出邊的范圍，再利用三角形面積公式求解即得.【小問1詳解】選擇①，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.選擇②，由，得，即，解得，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由正弦定理得，即，而是銳角三角形，則，解得，，即，因此，，所以面積的取值范圍是.20.如圖，在四棱錐中，面，且，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，說明理由；（3）在平面內(nèi)是否存在點，滿足，若不存在，請簡單說明理由；若存在，請寫出點的軌跡圖形形狀.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析；（3）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）過E作交于點G,連接,由線線平面證明面面平行，再由面面平行的性質(zhì)即可得出線面平行的證明；（2）先求出面的法向量，設,利用向量法結(jié)合線面角得正弦值求解即可;（3）由點在空間內(nèi)軌跡為以中點為球心,為半徑的球,而中點到平面的距離為,即可求解.【小問1詳解】如圖，過E作交于點G,連接,面，面，則，又面，面，且不共線，故，因為為的中點，所以也為中點，又為的中點，所以，而平面，平面，所以平面，同理平面，又因為，平面，所以平面平面，而平面,所以平面；【小問2詳解】設如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,則，故，則，設平面的法向量,則有,取,整理得,解得或(舍去)，所以當時,直線與平面所成角的正弦值是.【小問3詳解】由（2）知，平面的一個法向量，點中點，則,則中點到平面的距離為，由，即故在以中點為球心，半徑為的球面上，而，故在面上的軌跡是半徑為的圓，故存在符合題意的，此時軌跡是半徑為的圓.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，根據(jù)題設有則在以中點為球心，半徑為的球面上，再求中點到面距離，結(jié)合直觀想象及計算確定在面上的軌跡.21.已知函數(shù)且函數(shù)有兩個極值點.（1）求的范圍;（2）若函數(shù)的兩個極值點為且，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函數(shù)極值點問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)零點問題處理.構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性與最值及圖象趨勢，找到方程有兩個正實數(shù)根的充要條件；（2）整體換元法，令，再結(jié)合（1）結(jié)論得，將都轉(zhuǎn)化表示，從而將多元最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，求其最大值即可.【小問1詳解】由題得，，令，則函數(shù)有兩個極值點，即方程有兩個正實數(shù)根.因為，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，，且當時，，時，.所以方程有兩個正實數(shù)根，只需，解得，即函數(shù)有兩個極值點時，的范圍為.【小問2詳解】由且，令，則，由（1）知，，即，則，即，解得，所以.則，令，則，令，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，則.當時，，所以在上單調(diào)遞增，則當時，.即的最大值為.（二）選考題（共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做.則按所做的第一題記分.）[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)為的傾斜角，且，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，點恰為線段的三等分點，求【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）化簡曲線的極坐標方程為，結(jié)合極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解；（2）把直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，求得，設，得到，化簡得，即可求解.【詳解】（1）由曲線的極坐標方程為，可得，又由，代入可得，即曲線的直角坐標方程